1、第九章 梁的应力,9-1 梁横截面的正应力和正应力强度条件,9-2 梁横截面的切应力和切应力强度条件,9-3 薄壁截面梁弯曲切应力的进一步分析,9-4 提高梁承载能力的措施,.纯弯曲梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲（横截面上只有正应力而无切应力的弯曲）。,剪力“Fs”切应力“t ”； 弯矩“M”正应力“s ”,2.横力弯曲（剪切弯曲）,梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲（横截面上既有正应力又有切应力的弯曲）。,一、 纯弯曲和横力弯曲的概念,9-1 梁横截面的正应力和正应力强度条件,二 、纯弯曲梁横截面上的正应力公式,（一）变形几何关系：由纯弯曲的变形规律纵向线应变的变化规律。,1、观察实验：
2、,2、变形规律：,(2)、横向线：仍为直线，只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。,(1)、纵向线：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸长。,3、假设：,（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转动了一个角度。,凹入一侧纤维缩短,突出一侧纤维伸长,根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层-称为中性层 。,中间层与横截面的交线 中性轴,（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。,梁的弯曲变形实际上是各截面
3、绕各自的中性轴转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。,4、纵向线应变的变化规律（纵向线段的变化规律）,中性层曲率半径,横截面上各点的纵向线应变与它到中性轴的距离成正比,4、纵向线应变的变化规律（纵向线段的变化规律）,在弹性范围内，,（二）物理关系：,横截面上各点的正应力沿截面高度按线性规律变化,中性层曲率半径,梁弯曲时横截面上正应力分布图：,中性轴的位置？,中性层,横截面上各点的正应力沿截面高度按线性规律变化,（中性轴 z 轴为形心轴）,（y 、z 轴为形心主轴）,弯曲变形计算的基本公式,（三）、静力平衡条件由横截面上的弯矩和正应力的关系 正应力的计算公式。,梁横截面上内力已知：,纯
4、弯曲时梁横截面上正应力的计算公式。,弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。当 M 0 时，下拉上压；当 M 0 时，上拉下压。,将上式代入式 得：,弯曲变形计算的基本公式,反映梁变形的剧烈程度,中性轴 z 为横截面的对称轴时,称为截面的抗弯截面系数,梁横截面上的最大正应力发生在距中性轴最远的地方,纯弯曲时梁横截面上正应力的计算公式,中性轴 z 不是横截面的对称轴时,M,纯弯曲时梁横截面上正应力的计算公式：,几种简单截面的抗弯截面系数, 矩形截面, 圆形截面, 空心圆截面,(4) 型钢截面：参见型钢表,式中,几种简单截面的抗弯截面系数,三、纯弯曲理论的推广,横力弯曲时 1、由于切应力的存在，
5、梁的横截面发生翘曲； 2、横向力还使各纵向线之间发生挤压。平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。,纯弯曲时梁横截面上正应力的计算公式,实验和弹性理论的研究结果表明：对于细长梁（跨高比 l / h 5 ），剪力的影响可以忽略，纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。,弯曲正应力公式,可推广应用于横力弯曲和小曲率梁（曲率半径大于5倍梁截面高度的曲杆),例：厚为t = 1.5 mm的钢带，卷成直径D3m 的圆环。 。求：钢带横截面上的最大正应力,解：1）研究对象：单位宽条,2）曲率公式：,3）求应力：,例：求图示悬臂梁的最大拉、压应力。已知：,10槽钢,解：1）画弯矩
6、图,2）查型钢表：,3）求最大拉、压应力应力：,四、梁的弯曲正应力强度条件,材料的许用弯曲正应力,中性轴为横截面对称轴的等直梁,拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁,为充分发挥材料的强度，最合理的设计为,M,弯曲正应力强度条件,解：1、求约束反力,例：矩形截面梁 b= 60 mm、h=120mm，s =160MPa, 求：Fmax,M max = 0.5F,3、强度计算,2、画M图，求Mmax,M,解：1)求约束反力,例、T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的t = 30 M Pa， c = 60 M Pa.其截面形心位于C点，y1= 52 mm， y2= 88 mm， Iz =763 cm
7、4 ，试校核此梁的强度。,1,m,1,m,1,m,A,B,C,D,2）画弯矩图定危险截面,3）求应力,B截面（上拉下压）,M,C截面（下拉上压）,为什么？,C截面（下拉上压）:,1,m,1,m,1,m,A,B,C,D,F,2,=,4,kN,F,1,=,9,kN,4 ) 强度校核,46.2MPa,27.3MPa,28.2MPa,B截面（上拉下压）:,最大拉、压应力不在同一截面上,结论 对Z轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面： 对Z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面：,M,M,1,m,1,m,1,m,A,B,C,D,F,2,=,4,kN,F,1,=,9,kN,例 跨长 l= 2m 的铸铁梁受力
8、如图，已知铸铁的许用拉应力 st =30 MPa，许用压应力 sc =90 MPa。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁横截面的尺寸d ，并校核梁的强度 。,解：,根据截面最为合理的要求,得,截面对中性轴的惯性矩为,例 跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力 st =30 MPa，许用压应力 sc =90 MPa。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁横截面的尺寸d ，并校核梁的强度 。,梁上的最大弯矩,最大压应力为,梁满足强度要求。,例 图示槽形截面铸铁梁，已知：b = 2m，截面对中性轴的惯性矩 Iz=5493104mm4， 铸铁的许用拉应力 st =30 MPa，许用压应力 sc =90 MPa。试求梁的许可荷载F 。,解：1、梁的支反力为,2、作梁的弯矩图如下,发生在截面C,发生在截面B,例 图示槽形截面铸铁梁，已知：b = 2m，截面对中性轴的惯性矩 Iz=5493104mm4， 铸铁的许用拉应力 st =30 MPa，许用压应力 sc =90 MPa。试求梁的许可荷载F 。,3、计算最大拉、压正应力,可见：压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度条件则B、C截面都要考虑。,C截面,B截面,压应力,拉应力,拉应力,压应力,考虑截面B ：,考虑截面C：,因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制,
