1、第一部分 函数图象中点的存在性问题 1 1 因动点产生的相似三角形问题 例 1 2014 年衡阳市中考第 28 题 例 2 2014 年益阳市中考第 21 题 例 3 2015 年湘西州中考第 26 题 例 4 2015 年张家界市中考第 25 题 例 5 2016 年常德市中考第 26 题 例 6 2016 年 岳阳市 中考第 24 题 例 7 2016 年上海市崇明县中考模拟第 25 题 例 8 2016 年上海市黄浦区中考模拟第 26 题 1 2 因动点产生的等腰三角形问题 例 9 2014 年长沙市中考 第 26 题 例 10 2014 年张家界市第 25 题 例 11 2014 年邵
2、阳市中考第 26 题 例 12 2014 年娄底市中考第 27 题 例 13 2015 年怀化市中考第 22 题 例 14 2015 年长沙市中考第 26 题 例 15 2016 年娄底市中考第 26 题 例 16 2016 年上海市长宁区金山区中考模拟第 25 题 例 17 2016 年河南省中考第 23 题 例 18 2016 年重庆市中考第 25 题 1 3 因动点产生的直角三角形问题 例 19 2015 年益阳市 中考 第 21 题 例 20 2015 年湘潭市中考第 26 题 例 21 2016 年郴州市中考第 26 题 例 22 2016 年上海市松江区中考模拟第 25 题 例 2
3、3 2016 年义乌市绍兴市中考第 24 题 1 4 因动点产生的平行四边形问题 例 24 2014 年岳阳市中考第 24 题 例 25 2014 年益阳市中考第 20 题 例 26 2014 年邵阳市中考第 25 题 例 27 2015 年郴州市中考第 25 题 例 28 2015 年黄冈市中考第 24 题 例 29 2016 年衡阳市中考第 26 题 例 30 2016 年上海市嘉定区宝山区中考模拟中考第 24 题 例 31 2016 年上海市徐汇区中考模拟 第 24 题 1 5 因动点产生的面积问题 例 32 2014 年常德市中考第 25 题 例 33 2014 年永州市中考第 25
4、题 例 34 2014 年怀化市中考第 24 题 例 35 2015 年邵阳市中考第 26 题 例 36 2015 年株洲市中考第 23 题 例 37 2015 年衡阳市中考第 28 题 例 38 2016 年益阳市中考第 22 题 例 39 2016 年永州市中考第 26 题 例 40 2016 年邵阳市中考第 26 题 例 41 2016 年陕西省中考第 25 题 1 6 因动点产生的相切问题 例 42 2014 年衡阳市中考 第 27 题 例 43 2014 年株洲市中考第 23 题 例 44 2015 年湘潭市中考第 25 题 例 45 2015 年湘西州中考第 25 题 例 46 2
5、016 年娄底市中考第 25 题 例 47 2016 年湘潭市中考第 26 题 例 48 2016 年上海市闵行区中考模拟第 24 题 例 49 2016 年上海市普陀区中考模拟中考第 25 题 1 7 因动点产生的线段和差问题 例 50 2014 年郴州市中考第 26 题 例 51 2014 年湘西州中考第 25 题 例 52 2015 年岳阳市中考第 24 题 例 53 2015 年济南市中考第 28 题 例 54 2015 年沈阳市中考第 25 题 例 55 2016 年福州市中考第 26 题 例 56 2016 年张家界市中考第 24 题 例 57 2016 年益阳市中考第 21 题
6、第二部分 图形运动中的函数关系问题 2 1 由比例线段产生的函数关系问题 例 1 2014 年常德市中考第 26 题 例 2 2014 年湘潭市中考第 25 题 例 3 2014 年郴州市中考第 25 题 例 4 2015 年常德市中考第 25 题 例 5 2015 年郴州市中考第 26 题 例 6 2015 年邵阳市中考第 25 题 例 7 2015 年娄底市中考第 26 题 例 8 2016 年郴州市中考第 25 题 例 9 2016 年湘西州中考第 26 题 例 10 2016 年上海市静安区青浦区中考模拟第 25 题 例 11 2016 年哈尔滨市中考第 27 题 第三部分 图形运动中
7、的计算说理问题 3 1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例 1 2014 年长沙市中考第 25 题 例 2 2014 年怀化市中考第 23 题 例 3 2014 年湘潭市中考第 26 题 例 4 2014 年株洲市中考第 24 题 例 5 2015 年衡阳市中考第 27 题 例 6 2015 年娄底市中考第 25 题 例 7 2015 年永 州市中考第 26 题 例 8 2015 年长沙市中考第 25 题 例 9 2015 年株洲市中考第 24 题 例 10 2016 年怀化市中考第 22 题 例 11 2016 年邵阳市中考第 25 题 例 12 2016 年株洲市中考第 26 题 例
8、13 2016 年长沙市中考第 25 题 例 14 2016 年长沙市中考第 26 题 3 2 几何证明及通过几何计算进行说理问题 例 15 2014 年衡阳市中考第 26 题 例 16 2014 年娄底市中考第 26 题 例 17 2014 年岳阳市中考第 23 题 例 18 2015 年常德市中考第 26 题 例 19 2015 年益阳市中考第 20 题 例 20 2015 年永州市中考第 27 题 例 21 2015 年岳阳市中考第 23 题 例 22 2016 年常德市中考第 25 题 例 23 2016 年衡阳市中考第 25 题 例 24 2016 年永州市中考第 27 题 例 25
9、 2016 年岳阳市中考第 23 题 例 26 2016 年株洲市中考第 25 题 例 27 2016 年湘潭市中考第 25 题 第四部分 图形的平移、翻折与旋转 4 1 图形的平移 例 1 2015 年泰安市中考第 15 题 例 2 2015 年咸宁市中考第 14 题 例 3 2015 年株洲 市中考第 14 题 例 4 2016 年上海市虹口区中考模拟第 18 题 4 2 图形的翻折 例 5 2016 年上海市奉贤区中考模拟第 18 题 例 6 2016 年上海市静安区青浦区中考模拟第 18 题 例 7 2016 年上海市闵行区中考模拟第 18 题 例 8 2016 年上海市浦东新区中考模
10、拟第 18 题 例 8 2016 年上海市普陀区中考模拟第 18 题 例 10 2016 年常德市中考第 15 题 例 11 2016 年张家界市中考第 14 题 例 12 2016 年淮安市中考第 18 题 例 13 2016 年金华市中考第 15 题 例 14 2016 年雅安市中考第 12 题 4 3 图形的旋转 例 15 2016 年上海昂立教育中学生三模联考第 18 题 例 16 2016 年上海市崇明县中考模拟第 18 题 例 17 2016 年上海市黄浦区中考模拟第 18 题 例 18 2016 年上海市嘉定区宝山区中考模拟第 18 题 例 19 2016 年上海市闸北区中考模拟
11、第 18 题 例 20 2016 年邵阳市中考第 13 题 例 21 2016 年株洲市中考第 4 题 4 4 三角形 例 22 2016 年安徽省中考第 10 题 例 23 2016 年武汉市中考第 10 题 例 24 2016 年河北省中考第 16 题 例 25 2016 年娄底市中考第 10 题 例 26 2016 年苏州市中考第 9 题 例 27 2016 年台州市中考第 10 题 例 28 2016 年陕西省中考第 14 题 例 29 2016 年内江市中考第 11 题 例 30 2016 年上海市中考第 18 题 4 5 四边形 例 31 2016 年湘西州中考第 11 题 例 3
12、2 2016 年益阳市中考第 4 题 例 33 2016 年益阳市中考第 6 题 例 34 2016 年常德市中考第 16 题 例 35 2016 年成都市中考第 14 题 例 36 2016 年广州市中考 第 13 题 例 37 2016 年福州市中考第 18 题 例 38 2016 年无锡市中考第 17 题 例 39 2016 年台州市中考第 15 题 4 6 圆 例 40 2016 年滨州市中考第 16 题 例 41 2016 年宁波市中考第 17 题 例 42 2016 年连云港市中考第 16 题 例 43 2016 年烟台市中考第 17 题 例 44 2016 年烟台市中考第 18
13、题 例 45 2016 年无锡市中考第 18 题 例 46 2016 年武汉市中考第 9 题 例 47 2016 年宿迁市中考第 16 题 例 48 2016 年衡阳市中考第 17 题 例 49 2016 年邵阳市中考第 18 题 例 50 2016 年湘西州中考第 18 题 例 51 2016 年永州市中考第 20 题 4 7 函数的图象及性质 例 52 2015 年荆州市中考第 9 题 例 53 2015 年德州市中考第 12 题 例 54 2015 年烟台市中考第 12 题 例 55 2015 年中山市中考第 10 题 例 56 2015 年武威市中考第 10 题 例 57 2015 年
14、呼和浩特市中考第 10 题 例 58 2016 年湘潭市中考第 18 题 例 59 2016 年衡阳市中考第 19 题 例 60 2016 年岳阳市中考第 15 题 例 61 2016 年株洲市中考第 9 题 例 62 2016 年永州市中考第 19 题 例 63 2016 年岳阳市中考第 8 题 例 64 2016 年岳阳市中考第 16 题 例 65 2016 年益阳市中考第 14 题 例 66 2016 年株洲市中考第 10 题 例 67 2016 年株洲市中考第 17 题 例 68 2016 年东营市中考第 15 题 例 69 2016 年成都市中考第 13 题 例 70 2016 年泰
15、州市中考第 16 题 例 71 2016 年宿迁市中考第 15 题 例 72 2016 年临沂市中考第 14 题 例 73 2016 年义乌市绍兴市中 考第 9 题 例 74 2016 年淄博市中考第 12 题 例 75 2016 年嘉兴市中考第 16 题 1 1 因动点产生的相似三角形问题 课前导学 相似三角形的判定定理有 3 个，其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等 判定定理 2 是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验 如果已知 A D，探求 ABC 与 DEF
16、相似，只要把夹 A 和 D 的两边表示出来，按照对应边成比例 ，分 AB DEAC DF和 AB DFAC DE两种情况列方程 应用判定定理 1 解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等 应用判定定理 3 解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组） 还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题 求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错理解记忆比较好 如图 1，如果已知 A、 B 两点的坐标，怎样求 A、 B 两点间的距离呢？ 我们以 AB 为斜边构造直角三角形
17、，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边 AB 的长了水平距离 BC 的长就是 A、 B 两点间的水平距离，等于 A、 B 两点的横坐标相减；竖直距离 AC 就是 A、 B 两点间的竖直距离，等于 A、 B 两点的纵坐标相减 图 1 例 1 2014 年湖南省衡阳市中考第 28 题 二次函数 y ax2 bx c（ a 0）的图象与 x 轴交于 A( 3, 0)、 B(1, 0)两点，与 y 轴交于点 C(0, 3m)（ m 0），顶点为 D （ 1）求该二次函数的解 析式（系数用含 m 的代数式表示）； （ 2）如图 1，当 m 2 时，点 P 为第三象限内抛物线上的一个动点，设 A
18、PC 的面积为 S，试求出 S 与点 P 的横坐标 x 之间的函数关系式及 S 的最大值； （ 3）如图 2，当 m 取何值时，以 A、 D、 C 三点为顶点的三角形与 OBC 相似？ 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“ 14 衡阳 28”，拖动点 P 运动，可以体验到，当点 P 运动到 AC的中点的正下方时， APC 的面积最大拖动 y 轴上表示实数 m 的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到， ACD 和 ADC 都可以成为直角 思路点拨 1用交点式求抛物线的解析式比较简便 2连结 OP， APC 可以割补为： AOP 与 COP 的和，再减去 AOC 3讨论 ACD 与
19、OBC 相似，先确定 ACD 是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似 4直角三角形 ACD 存在两种情况 图文解析 （ 1）因为抛物线与 x 轴交于 A( 3, 0)、 B(1, 0)两点，设 y a(x 3)(x 1) 代入点 C(0, 3m)，得 3m 3a解得 a m 所以该二次函数的解析式为 y m(x 3)(x 1) mx2 2mx 3m （ 2）如图 3，连结 OP 当 m 2 时， C(0, 6)， y 2x2 4x 6，那么 P(x, 2x2 4x 6) 由于 S AOP 1 ()2 POA y 32(2x2 4x 6) 3x2 6x 9， S COP 1 ()2 POC
20、x 3x， S AOC 9， 所以 S S APC S AOP S COP S AOC 3x2 9x23 2 73( )24x 所以当 32x时， S 取得最大值，最大值为 274 图 3 图 4 图 5 （ 3）如图 4，过点 D 作 y 轴的垂线，垂足为 E过点 A 作 x 轴的垂线交 DE 于 F 由 y m(x 3)(x 1) m(x 1)2 4m，得 D( 1, 4m) 在 Rt OBC 中， OB OC 1 3m 如果 ADC 与 OBC 相似，那么 ADC 是直角三角形，而且两条直角边的比为 1 3m 如 图 4，当 ACD 90时， OA OCEC ED所以 331mm解得 m
21、 1 此时 3C A O CC D ED， 3OCOB所以 CA OCCD OB所以 CDA OBC 如图 5，当 ADC 90时， FA FDED EC所以 421m m解得 22m 此时 2 22D A F DD C E C m ， 而 3232OC mOB 因此 DCA 与 OBC 不相似 综上所述，当 m 1 时， CDA OBC 考点伸展 第（ 2）题还可以这样割补： 如图 6，过点 P 作 x 轴的垂线与 AC 交于点 H 由直线 AC： y 2x 6，可得 H(x, 2x 6) 又因为 P(x, 2x2 4x 6)，所以 HP 2x2 6x 因为 PAH 与 PCH 有公共底边
22、HP，高的和为 A、 C两点间的水平距离 3，所以 S S APC S APH S CPH 32( 2x2 6x) 23 2 73( )24x 图 6 例 2 2014 年湖南省益阳市中考第 21 题 如图 1， 在直角梯形 ABCD 中， AB/CD， AD AB， B 60， AB 10， BC 4，点 P沿线段 AB 从点 A 向点 B 运动，设 AP x 21cnjy （ 1）求 AD 的长； （ 2）点 P 在 运动过程中，是否存在以 A、 P、 D 为顶点的三角形与以 P、 C、 B 为顶点的三角形相似？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由； （ 3）设 ADP 与 PCB
23、 的外接圆的面积分别为 S1、 S2，若 S S1 S2，求 S 的最小 值 . 动感体验 图 1 请打开几何画板文件名“ 14 益阳 21”，拖动点 P 在 AB 上运动，可以体验到，圆心 O的 运动轨迹是线段 BC 的垂直平分线上的一条线段观察 S 随点 P 运动的图象，可以看到，S 有最小值，此时点 P 看上去象是 AB 的中点，其实离得很近而已 思路点拨 1第（ 2）题先确定 PCB 是直角三角形，再验证两个三角形是否相似 2第（ 3）题理解 PCB 的外接圆的圆心 O 很关键，圆心 O 在确定的 BC 的垂直平分线上，同时又在不确定的 BP 的垂直平分线上而 BP 与 AP 是相关的
24、，这样就可以以 AP 为自变量，求 S 的函数关系式 图文解析 （ 1）如图 2，作 CH AB 于 H，那么 AD CH 在 Rt BCH 中， B 60， BC 4，所 以 BH 2， CH 23所以 AD 23 （ 2）因为 APD 是直角三角形，如果 APD 与 PCB 相似，那么 PCB 一定是直角三角形 如图 3，当 CPB 90时， AP 10 2 8 所以 APAD 823 433， 而 PCPB 3 此时 APD 与 PCB 不相似 图 2 图 3 图 4 如图 4，当 BCP 90时， BP 2BC 8所以 AP 2 所以 APAD 223 33所以 APD 60此时 AP
25、D CBP 综上所述，当 x 2 时， APD CBP （ 3）如图 5，设 ADP 的外接圆的圆心为 G，那么点 G 是斜边 DP 的中点 设 PCB 的外接圆的圆心为 O，那么点 O 在 BC 边的垂直平分线上，设这条直线与 BC交于点 E，与 AB 交于点 F 设 AP 2m作 OM BP 于 M，那么 BM PM 5 m 在 Rt BEF 中， BE 2， B 60，所以 BF 4 在 Rt OFM 中， FM BF BM 4 (5 m) m 1， OFM 30， 所以 OM 3 ( 1)3 m 所以 OB2 BM2 OM2221( 5 ) ( 1 )3mm 在 Rt ADP 中， D
26、P2 AD2 AP2 12 4m2所以 GP2 3 m2 于是 S S1 S2 (GP2 OB2) 2 2 213 ( 5 ) ( 1 )3m m m 2( 7 3 2 8 5 )3 mm 所以当 167m时， S 取得最小值，最小值为 1137 图 5 图 6 考点伸展 关于第（ 3）题，我们再讨论个问题 问题 1，为什么设 AP 2m 呢？这是因为线段 AB AP PM BM AP 2BM 10 这样 BM 5 m，后续可以减少一些分数运算这不影响求 S 的最小值 问题 2，如果圆心 O 在线段 EF 的延长线上， S 关于 m 的解析式是什么？ 如图 6，圆心 O 在线段 EF 的延长线
27、上时，不同的是 FM BM BF (5 m) 4 1 m 此时 OB2 BM2 OM2221( 5 ) (1 )3mm 这并不影响 S 关于 m 的解析式 例 3 2015 年湖南省湘西市中考第 26 题 如图 1， 已知直线 y x 3 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点，抛物线 y x2 bx c经过 A、 B 两点，点 P 在线段 OA 上，从 点 O 出发，向点 A 以 每 秒 1 个单位的速度匀速运动；同时，点 Q 在线段 AB 上，从点 A 出发，向点 B 以 每 秒 2 个单位的速度匀速运动，连结 PQ，设运动时间为 t 秒 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）问：当
28、t 为何值时， APQ 为直角三角形； （ 3）过点 P 作 PE/y 轴，交 AB 于点 E，过点 Q 作QF/y 轴，交抛物线于点 F，连 结 EF，当 EF/PQ 时，求点 F 的坐标； （ 4）设抛物线顶点为 M，连 结 BP、 BM、 MQ，问：是否存在 t 的值，使以 B、 Q、 M 为顶点的三角形与以 O、B、 P 为顶点的三角形相似？若存在， 请求出 t 的值；若不存在，请说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名 “15湘西 26”，拖动点 P 在 OA 上运动，可以体验到， APQ 有两个时刻可以成为直角三角形，四边形 EPQF 有一个时刻可以成为平行四边形， MBQ
29、 与 BOP 有一次机会相似 思路点拨 1在 APQ 中， A 45，夹 A 的两条边 AP、 AQ 都可以 用 t 表示，分两种情况讨论直角三角形 APQ 2 先用含 t 的式子表示点 P、 Q 的坐标，进而表示点 E、 F 的坐标，根据 PE QF 列方程就好了 3 MBQ 与 BOP 都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论 图文解析 （ 1） 由 y x 3，得 A(3, 0)， B(0, 3) 将 A(3, 0)、 B(0, 3)分别代入 y x2 bx c，得 9 3 0 ,3.bcc 解得 2,3.bc所以抛物线的解析式为 y x2 2x 3 （ 2） 在 APQ 中，
30、 PAQ 45， AP 3 t， AQ 2 t 分两种情况讨论直角三角形 APQ： 当 PQA 90时， AP 2 AQ解方程 3 t 2t，得 t 1（如图 2） 当 QPA 90时， AQ 2 AP解方程 2 t 2 (3 t)，得 t 1.5（如图 3） 图 2 图 3 （ 3）如图 4，因为 PE/QF， 当 EF/PQ 时，四边形 EPQF 是平行四边形 所以 EP FQ所以 yE yP yF yQ 因为 xP t， xQ 3 t，所以 yE 3 t， yQ t， yF (3 t)2 2(3 t) 3 t2 4t 因为 yE yP yF yQ，解方程 3 t ( t2 4t) t，得
31、 t 1，或 t 3（舍去）所以点 F的坐标为 (2, 3) 图 4 图 5 （ 4） 由 y x2 2x 3 (x 1)2 4，得 M(1, 4) 由 A(3, 0)、 B(0, 3)，可知 A、 B两点间的水平距离、竖直距离相等， AB 3 2 由 B(0, 3)、 M(1, 4)，可知 B、 M两点间的水平距离、竖直距离相等， BM 2 所以 MBQ BOP 90因此 MBQ与 BOP相似存在两种可能： 当 BM OBBQ OP时， 233 2 2 tt 解得 94t（如图 5） 当 BM OPBQ OB时， 233 2 2 tt 整理， 得 t2 3t 3 0此方程无实根 考点伸展 第
32、（ 3）题也可以用坐标平移的方法 ：由 P(t, 0)， E(t, 3 t)， Q(3 t, t)，按照 P E方向，将点 Q向上平移，得 F(3 t, 3)再将 F(3 t, 3)代入 y x2 2x 3，得 t 1，或 t 3 1 2 因动点产生的等腰三角形问题 课前导学 我们先回顾两个画图问题： 1已知线段 AB 5 厘米，以线段 AB 为腰的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？ 2已知线段 AB 6 厘米，以线段 AB 为底边的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？ 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点 C 已知底边画等腰三角形
33、，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外 在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类 如果 ABC 是等腰三角形，那 么存在 AB AC， BA BC， CA CB 三种情况 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快 几何法一般分三步：分类、画图、计算 哪些题目适合用几何法呢？ 如果 ABC 的 A（的余弦值）是确定的，夹 A 的两边 AB 和 AC 可以用含 x 的式子表示出来，那么就用几何法 如图 1，如果 AB AC，直接列方程；如图 2，如果 BA BC，那么 1 c o s2 A C A B A；如图 3，如果 CA CB，那么
34、 1 c o s2 A B A C A 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验 如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含 x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来 图 1 图 2 图 3 例 9 2014 年长沙市中考第 26 题 如图 1，抛物线 y ax2 bx c（ a、 b、 c 是常数， a 0）的对称轴为 y 轴，且经过 (0,0)和 1( , )16a两点，点 P 在 该抛物线上运动，以点 P 为圆心的 P 总经过定点 A(0, 2) （ 1）求 a、 b、 c 的值； （ 2）求证：在点 P 运动的过程中，
35、P 始终与 x 轴相交； （ 3）设 P 与 x 轴相交于 M(x1, 0)、 N(x2, 0)两点，当 AMN 为等腰三角形时，求圆心 P的纵坐标 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“ 14 长沙 26”，拖动圆心 P 在抛物线上运动，可以体验到，圆与 x 轴总是相交的，等腰三角形 AMN 存在五种情况 思路点拨 1不算不知道，一算真奇妙，原来 P 在 x 轴上截得的弦长 MN 4 是定值 2等腰三角形 AMN 存在五种情 况，点 P 的纵坐标有三个值，根据对称性， MA MN和 NA NM 时，点 P 的纵坐标是相等的 图文解析 （ 1）已知抛物线的顶点为 (0,0)，所以 y ax2
36、所以 b 0， c 0 将 1( , )16a代入 y ax2，得2116a解得 14a（舍去了负值） （ 2）抛物线的解析式为214yx，设点 P 的坐标为21( , )4xx 已知 A(0, 2)，所以2 2 2 411( 2 ) 44 1 6P A x x x 214x 而圆心 P 到 x 轴的距离为214x，所以半径 PA圆心 P 到 x 轴的距离 所以在点 P 运动的过程中， P 始终与 x 轴相交 （ 3）如图 2，设 MN 的中点为 H，那么 PH 垂直平分 MN 在 Rt PMH 中，2 2 41 416P M P A x ，2 2 411()4 1 6P H x x，所以 M
37、H2 4 所以 MH 2 因此 MN 4，为定值 等腰 AMN 存在三种情况： 如图 3，当 AM AN 时，点 P 为原点 O 重合，此时点 P 的纵坐标为 0 图 2 图 3 如图 4，当 MA MN 时，在 Rt AOM 中， OA 2， AM 4，所以 OM 2 3 此时 x OH 2 32 所以点 P 的纵坐标为2 2 211 ( 2 3 2 ) ( 3 1 ) 4 2 344x 如图 5，当 NA NM 时，根据对 称性，点 P 的纵坐标为也为 4 2 3 图 4 图 5 如图 6，当 NA NM 4 时，在 Rt AON 中， OA 2， AN 4，所以 ON 2 3 此时 x
38、OH 2 32 所以点 P 的纵坐标为2 2 211 ( 2 3 2 ) ( 3 1 ) 4 2 344x 如图 7，当 MN MA 4 时，根据对称性，点 P 的纵坐标也为 4 2 3 图 6 图 7 考点伸展 如果 点 P 在抛物线214yx上运动，以点 P 为圆心的 P 总经过定点 B(0, 1)，那么在点P 运动的过程中， P 始终与直线 y 1 相切这是因为： 设点 P 的坐标为21( , )4xx 已知 B(0, 1)，所以2 2 2 2 2 21 1 1( 1 ) ( 1 ) 14 4 4P B x x x x 而圆心 P 到直线 y 1 的距离也为21 14x ，所以半径 PB
39、圆心 P 到直线 y 1 的距离所以在点 P 运动的过程中， P 始终与直线 y 1 相切 例 10 2014 年湖南省张家界市中考第 25 题 如图 1， 在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，抛物线 y ax2 bx c（ a 0）过 O、 B、C 三点， B、 C 坐标分别为 (10, 0)和 18 24( , )55，以 OB 为直径的 A 经过 C 点，直线 l 垂直x 轴于 B 点 （ 1）求直线 BC 的解析式； （ 2）求抛物线解析式及顶点坐标； （ 3）点 M 是 A 上一动点（不同于 O、 B），过点 M 作 A 的切线，交 y 轴于点 E，交直线 l 于点 F，设线段 M
40、E 长为 m， MF 长为 n，请猜想 mn 的值，并证明你的结论； （ 4）若点 P 从 O 出发，以每秒 1 个单位的速度向点 B 作直线运动，点 Q 同时从 B 出发，以相同速度向点 C 作直线运动，经过 t（ 0 t 8）秒时恰好使 BPQ 为等腰三角形，请求出满足条件的 t 值 图 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“ 14 张家界 25”，拖动点 M 在圆上运动，可以体验到， EAF保持直角三角形的形状， AM 是斜边上的高拖动点 Q 在 BC 上运动，可以体验到， BPQ有三个时刻可以成为等腰三角形 思路点拨 1从直线 BC 的解析式可以得到 OBC 的三角比，为讨论等腰三角
41、形 BPQ 作铺垫 2设交点式求抛物线的解析式比较简便 3第（ 3）题连结 AE、 AF 容易看到 AM 是直角三角形 EAF 斜边上的高 4第（ 4）题的 PBQ 中， B 是确定的，夹 B 的两条边可以用含 t 的式子表示分三种情况讨论等腰三角形 图文解析 （ 1）直线 BC 的解析式 为 3 1542yx （ 2） 因为抛物线与 x 轴交于 O、 B(10, 0)两点，设 y ax(x 10) 代入点 C 18 24( , )55，得 2 4 1 8 3 2()5 5 5a 解得 524a 所以225 5 2 5 5 1 2 5( 1 0 ) ( 5 )2 4 2 4 1 2 2 4 2
42、 4y x x x x x 抛物线的顶点为 125(5, )24 （ 3）如图 2，因为 EF 切 A 于 M，所以 AM EF 由 AE AE， AO AM，可得 Rt AOE Rt AME 所以 1 2 同理 3 4 于是可得 EAF 90 所以 5 1由 tan 5 tan 1，得 MA MEMF MA 所以 MEMF MA2，即 mn 25 图 2 （ 4） 在 BPQ 中， cos B 45， BP 10 t， BQ t 分三种情况讨论等腰三角形 BPQ： 如图 3，当 BP BQ 时， 10 t t解得 t 5 如图 4，当 PB PQ 时， 1 c o s2 B Q B P B解
43、方程 14(10 )25tt，得 8013t 如图 5，当 QB QP 时， 1 c o s2 B P B Q B解方程 14(10 )25tt，得 5013t 图 3 图 4 图 5 考点伸展 在第（ 3）题条件下，以 EF 为直径的 G 与 x 轴相切于点 A 如图 6，这是因为 AG 既是直角三角形 EAF 斜边上的中线，也是直角梯形 EOBF 的中位线，因此圆心 G 到 x 轴的距离等于圆的半径，所以 G 与 x 轴相切于点 A 图 6 例 11 2014 年湖南省邵阳市中考第 26 题 在平面直角坐标系中，抛物线 y x2 (m n)x mn（ m n）与 x 轴相交于 A、 B 两
44、点（点A 位于点 B 的右侧），与 y 轴相交于点 C （ 1）若 m 2， n 1，求 A、 B 两点的坐标； （ 2）若 A、 B 两点分别位于 y 轴的两侧， C 点坐标是 (0, 1)，求 ACB 的大小； （ 3）若 m 2， ABC 是等腰三角形，求 n 的值 动感体验 请打开几何画板文件名“ 14 邵阳 26”，点击屏幕左下方的按钮（ 2），拖动点 A 在 x 轴正半轴上运动，可以体验到， ABC 保持直角三角 形的形状点击屏幕左下方的按钮（ 3），拖动点 B 在 x 轴上运动，观察 ABC 的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形 ABC 有 4 种情况 思路点
45、拨 1抛物线的解析式可以化为交点式，用 m， n 表示点 A、 B、 C 的坐标 2第（ 2）题判定直角三角形 ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比 3第（ 3）题讨论等腰三角形 ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程 图文解析 （ 1） 由 y x2 (m n)x mn (x m)(x n)，且 m n， 点 A 位于点 B 的右侧 ， 可知 A(m, 0)， B(n, 0) 若 m 2， n 1，那么 A(2, 0)， B(1, 0) （ 2）如图 1， 由于 C(0, mn)，当 点 C 的 坐标是 (0, 1)， mn 1， OC 1 若 A、 B 两点分别位于 y 轴的两侧，那么 OAOB m( n) m
