1、注册岩土工程师（基础考试-上午-高等数学）模拟试卷 3 及答案与解析一、单项选择题共 120 题，每题 1 分。每题的备选项中只有一个最符合题意。1 微分方程(3+2y)xdx+(1+x 2)dy=0 的通解为( )。（A）1+x 2=Cy（B） (1+x2)(3+2y)=C（C）（D）(1+x 2)2(3+2y)=02 微分方程 cosydx+(1+e-x)sinydy=0 满足初始条件 的特解是( )。（A）（B） cosy=1+ex（C） cosy=4(1+ex)（D）cos 2y=1+ex3 方程 ysinx=ylny，满足定值条件 的特解是( )。4 微分方程 y“=y2 的通解是(
2、 )。（A）1nx+C（B） In(x+C)（C） C2+Inx+C 1（D）C 2 一 Inx+C 15 微分方程 y“=x+sinx 的通解是( ) 。(C 1，C 2 为任意常数 )6 微分方程 y“+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为( )。（A）y *=Ax2+Bx+C+x(Asinx+Bcosx) （B） y*=x(Ax2+Bx+C+Asinx+Bcosx)（C） y*=Ax2+Bx+C+Asinx（D）y *=Ax2+Bx+C+Acosx7 函数 y=C1ex+C2e-2x+xex 满足的一个微分方程是( )。（A）y“一 y一 2y=3xex（B） y“一 y一 2y=3
3、ex（C） y“+y一 2y=3xex（D）y“+y一 2y=3ex8 具有特解 y1=e-x，y 2=2xe-x，y 3=3ex 的 3 阶常系数齐次线性微分方程是( )。（A）y“-y“ 一 y+y=0（B） y“+y“一 yy=0（C） y“-6y“+11y6y=0（D）y“-2y“一 y+2y=09 设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+py+qy=e3x 满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 的极限( )。（A）不存在（B）等于 1（C）等于 2（D）等于 310 要使得二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+2tx1x2+x22 一 2x1x
4、3+2x2x3+2x32 为正定的，则 t 的取值条件是( ) 。2012 年真题（A）一 1t1（B）一 1t0（C） t0（D）t一 111 已知 的值为( )。（A）2（B）一 2（C） 0（D）412 f(x)= 是 x 的多项式，其可能的最高方次是 ( )。（A）1 次（B） 2 次（C） 3 次（D）4 次13 设 A 是 3 阶矩阵，矩阵 A 的第 1 行的 2 倍加到第 2 行，得矩阵 B，则下列选项中成立的是( ) 。（A）B 的第 1 行的-2 倍加到第 2 行得 A（B） B 的第 1 列的一 2 倍加到第 2 列得 A（C） B 的第 2 行的一 2 倍加到第 1 行得
5、 A（D）B 的第 2 列的一 2 倍加到第 1 列得 A14 设 A，B 为 n 阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 对应的伴随矩阵，分块矩阵，则 C 的伴随矩阵 C*=( )。15 设 n 阶矩阵 A 非奇异(n2)，A *是矩阵 A 的伴随矩阵，则( )。（A）(A *)*=A n-1A（B） (A*)*=A n+1A（C） (A*)*=A n-2A（D）(A *)*=A n+2A16 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是( )。（A） 1+2， 2+3， 3 一 1（B） 1+2， 2+3， 1+22+3（C） 1+22，2 2+33，3 3+1（D） 1
6、+2+3，2 132+223，3 1+52 一 5317 设有向量组 1=(1，一 1，2，4)， 2=(0，3，1， 2)， 3=(3，0，7，14)， 4=(1，一 2，2，0) ， 5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是( )。（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4 （C） 1， 2， 5（D） 1， 2， 4， 518 设 n 维行向量 ，矩阵 A=E 一 T，B=E+2 T，其中 E 为n 阶单位矩阵，则 AB 等于( )。（A）0（B）一 E（C） E（D）E+ T19 设齐次线性方程组 ，当方程组有非零解时，后值为( )。（A）一 2 或 3（B） 2 或
7、3（C） 2 或一 3（D）一 2 或一 320 设 1， 2 是线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1， 2 是导出组 Ax=0 的基础解系，k 1、k 2 是任意常数，则 Ax=b 的通解是( )。21 设 A 是 mn 阶矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )。（A）若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有惟一解（B）若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多个解（C）若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解（D）若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 有非零解22 齐次线性方程组 的系数矩阵记为 A。若存在三阶
8、矩阵 B0 使得 AB=0，则( )。（A）=一 2 且B=0（B） =一 2 且B 0（C） =1 且B =0（D）=1 且B023 已知 3 维列向量 ， 满足 T=3，设 3 阶矩阵 A=T，则( )。（A） 是 A 的属于特征值 0 的特征向量（B） 是 A 的属于特征值 0 的特征向量（C） 是 A 的属于特征值 3 的特征向量（D） 是 A 的属于特征值 3 的特征向量24 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值， ， 是 A 的分别属于 1， 2 的特征向量，则以下选项中正确的是( )。（A）对任意的 k10 和 k20，k 1+k2 都是 A 的特征向量（B）存在常数 k
9、10 和 k20，使得 k1+k2 是 A 的特征向量（C）对任意的 k10 和 k20，k 1+k2 都不是 A 的特征向量（D）仅当 k1=k2=0 时，k 1+k2 是 A 的特征向量25 下列矩阵中不能对角化的是( )。26 设 A 是 n 阶矩阵，且 Ak=0(k 为正整数)，则( )。（A）A 一定是零矩阵（B） A 有不为 0 的特征值（C） A 的特征值全为 0（D）A 有 n 个线性无关的特征向量27 已知二阶实对称矩阵 A 的一个特征向量为(2，一 5)T，并且A0，则以下选项中为 A 的特征向量的是( )。28 二次型 Q(x1，x 2，x 3)=x12+2x1x2+2x
10、22+4x2x3+4x32 的标准形为( )。（A）y 12 一 y22 （B） y12+y22+y32 （C） y12+y22 一 y32 （D）y 12+y2229 n 元二次型 XTAX 是正定的充分必要条件是 ( )。（A）A0（B）存在 n 维非零向量 X，使得 XTAX0（C） f 的正惯性指数 p=n（D）f 的负惯性指数 q=030 已知 A 为奇数阶实矩阵，设阶数为 n，且对于任一 n 维列向量 X，均有XTAX=0，则有( ) 。（A）A0（B） A=0 （C） A0（D）以上三种都有可能31 二次型 f(x1，x 2，x 3)= 的秩为( )。（A）0（B） 1（C） 2
11、（D）332 已知矩阵 ，那么与 A 既相似又合同的矩阵是 ( )。注册岩土工程师（基础考试-上午-高等数学）模拟试卷 3 答案与解析一、单项选择题共 120 题，每题 1 分。每题的备选项中只有一个最符合题意。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 原方程可整理为： ，两边取不定积分得：其中 C 为任意常数。将初始条件代入，可知 C=14。【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】
12、 A【试题解析】 对应齐次方程 y“+y=0 的特征方程为 2+1=0，特征根为 =i，对y“+y=x2+1=e0(x2+1)而言，因 0 不是特征根，从而其特解形式可设为：y1*=Ax2+Bx+C。y“+y=sinx，因 i 为特征根，从而其特解形式可设为：y2*=x(Asinx+Bcosx)。从而 y“+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为：y*=Ax2+Bx+C+x(Asinx+Bcosx)。【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 D【试题解析】 y=C 1ex+C2e-2x+xex 是某二阶线性常系数非齐次方程的通解，相应的齐次方程的特征根 1=1， 2=一 2，特征方程应是( 一
13、 1)(+2)=0，于是相应的齐次方程是 y“+y一 2y=0。 CD 两项中，方程 y“+y一 2y=3ex，有形如 y*=Axex 的特解(此处 eax 中 a=1 是单特征根)。【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 B【试题解析】 由特解知，对应特征方程的根为： 1=2=一 1， 3=1。于是特征方程为：(+1) 2(一 1)=3+2 一 一 1=0。故所求线性微分方程为：y“+y“一 y一y=0。【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 C【试题解析】 由 y“+py+qY=e3x 及 y(0)=y(0)=0，知)y“(0)=1，则：【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 B【试题解
14、析】 该方程对应的二次型的矩阵为： 。若二次型为正定，其各阶顺序主子式均大于零，由二阶主子式大于零，有 1-t2O，求得一1t 1。三阶主子式也大于零，得-1t0。【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 D【试题解析】 令 ，观察矩阵 B，容易发现 B正是 A 的伴随矩阵，即 B=A*，故由 AA*=AE，得：A *=A n-1=23-1=4。【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 A【试题解析】 第二行、第三行都减去第一行后，再按第一行展开，知 f(x)的可能的最高方次是一次。【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 A【试题解析】 设矩阵 ，则：【知识模块】 高等数学14 【正确答案】
15、 D【试题解析】 若 A、B 可逆，则 C 可逆，且 C*=C .C -1，可求得 C*。若 A、B不全可逆，则对四个选项验证：C.C *=CE。若 A、B 均可逆，则 A*=AA -1，B *=BB -1， 对比四个选项知，只有 D 项成立。当 A 或 B 不可逆时，利用定义可证 D 项仍成立。【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 C【试题解析】 涉及伴随矩阵 A*，联想到公式 AA*=A*A=AE。A *=AA -1，于是【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 C【试题解析】 A 项，( 1+2)一( 2+3)+(3 一 1)=0； B 项， ( 1+2)+(2+3)一(1+22+3
16、)=0； 可见 AB 两项中向量组线性相关。CD 两项不能直接观察出， C项，令 k1(1+22)+k2(22+33)+k3(33+1)=0，即(k 1+k3)1+(2k1+2k2)2+(3k2+3k3)3=0。由于 1， 2， 3 线性无关，故 。因上述齐次线性方程组的系数行列式 ，故方程组有惟一零解，即 k1=k2=k3=0，故 C 项中向量组线性无关。【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 B【试题解析】 对以 1， 2， 3， 4， 5 为列向量的矩阵施以初等行变换：由于不同阶梯上对应向量组均线性无关，而含有同一个阶梯上的两个以上的向量必线性相关，对比四个选项知，B 项成立。【知识模
17、块】 高等数学18 【正确答案】 C【试题解析】 注意利用 T 为一个数来简化计算。 AB=(ET)(E+2T)=E+2T一 T一 2TT=【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 A【试题解析】 当方程组有非零解时，系数矩阵的行列式为 0，即，k 2 一 k 一 6=0，所以 k=3 或 k=一 2。【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 C【试题解析】 非齐次线性方程组 Ax=b 的通解由导出组 Ax=0 的基础解系与某一特解构成。A 项， 、 1-2 都是导出组 Ax=0 的一个解，该选项中不包含特解；B 项， 1-2 是导出组 Ax=0 的一个解，该选项也不包含特解；C 项， 是Ax
18、=b 的特解， 1-2 与 1 线性无关，可作为导出组 Ax=0 的基础解系； D 项，包含特解，但 1-2 与 1 未必线性无关，不能作为导出组 Ax=0 的基础解系。【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 D【试题解析】 由解的判定定理知，对 Ax=b，若有 r(A)= =r，则 Ax=b 一定有解。进一步，若 r=n，则 Ax=b 有惟一解；若 r n，则 Ax=b 有无穷多解。而对Ax=0 一定有解，且设 r(A)=r，则若 r=n，Ax=0 仅有零解；若 rn ，Ax=0 有非零解。因此，若 Ax=b 有无穷多解，则必有 r(A)= =rn，Ax=0 有非零解，所以D 项成立。但反
19、过来，若 r(A)=r=n(或n)，并不能推导出 r(A)= ，所以 Ax=b可能无解，更谈不上有惟一解或无穷多解。【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AB=0，所以 r(A)+r(B)3，又 A0，B0，所以 1r(A)3，1r(B) 3，故B =0。又因为 =一 2 时， ，即此时 r(A)=3。事实上，当 =1时， 。【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 C【试题解析】 由题意可得 A=T=3，所以 是 A 的属于特征值 3 的特征向量。【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 C【试题解析】 ， 是 A 的分别属于 1， 2 的特征向量，则：A=1，A=
20、 2，A(k 1+k2)=k1A+k2A=k11+k22，当 12 时，k 1+k2就不是矩阵 A 的特征向量。【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 C【试题解析】 设 是 A 的特征值，对应的特征向量为 ，则有 A= A k=k=0 由 0，有 k=0，即 =0，故 A 的特征值全为 0。 令 ，则 A2=0。若 A有 n 个线性无关的特征向量，则 A 可对角化，即存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=0，则必有 A=0，与题意矛盾。【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 D【试题解析】 设 A 的特征值为 1， 2，因为A0，所
21、以 120，即 A 有两个不同的特征值。又 ，且在 D 项中，k 1 与 k2 不同时为零。c 项， k1 与 k2 都可以等于 0，如当 k1=0，k 20时，k 2(5，2) T 也是 A 的特征向量，所以排除。【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 D【试题解析】 用配方法，有：Q(x 1，x 2，x 3)=x12+2x1x2+2x22+4x2x3+4x32=(x1+x2)2+(x2+2x3)2 X=PY=y12+y22。【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 C【试题解析】 A0 是 A 正定的必要条件，不是充分条件，必须保证 A 的所有顺序主子式全大于 0，才能推出 XTAX 是
22、正定的，排除 A。二次型 XTAX 正定的充分必要条件是对任意的 n 维非零向量 X，均有 XTAX0，而并非仅仅是存在，排除 B。在 D 中，f 的负惯性指数等于 0，可保证 XTAX 为非负定二次型，但不能确保是正定二次型。【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 B【试题解析】 由于对任一 n 维列向量均有 XTAX=0，两边转置，有 XTATX=0，从而 XT(A+AT)X=0。显然有(A+A T)T=A+AT，即 A+AT 为对称矩阵。从而对任一 n 维列向量均有：X T(A+AT)X=0，且 A+AT 为实对称矩阵，从而有 A+AT=0。即 AT=一A，从而 A 为实反对称矩阵，且 A 为奇数阶，故A=0。【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 B【试题解析】 令 ，则二次型矩阵 。故二次型的秩为 1。【知识模块】 高等数学32 【正确答案】 D【试题解析】 两个实对称矩阵如果相似必然合同，因为两个实对称矩阵相似，则它们有相同的特征值，从而有相同的正、负惯性指数，因此它们必然合同。但合同不能推出相似，故本题只要找出与 A 相似的矩阵即可，也就是求 A 的特征值。【知识模块】 高等数学
