1、注册环保工程师基础考试上午（高等数学）历年真题试卷汇编 12 及答案与解析一、单项选择题1 2 下列方程中代表单叶双曲面的是：3 下面算式中哪一个是正确的?4 设 f(x)= ，f(x)在点 x=1 处：（A）不连续（B）连续但左、右导数不存在（C）连续但不可导（D）可导5 函数 f(x)= 的可去间断点的个数为：（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）无穷多个6 若函数 f(x)在点 x0 间断，g(x) 在点 x0 连续，则 f(x)g(x)在点 x0：（A）间断（B）连续（C）第一类间断（D）可能间断可能连续7 若有 =0，则当 xa 时，f(x)是：（A）有极限的函数（B）有界函
2、数（C）无穷小量（D）E(x-a)高阶的无穷小8 设函数 f(x)= ，要使 f(x)在 x=0 处连续，则 a 的值是：（A）0（B） 1（C） -1（D）9 下列广义积分中发散的是：10 下列广义积分中收敛的是：11 在区间0 ，2上，曲线 y=sinx 与 y=cosx 之间所围图形的面积是：12 下列结论中，错误的是：（A） -f(x2)dx=20f(x2)dx（B） 02sin10xdx=02cos10xdx（C） -cos5xsin7xdx=0（D） 0110xdx=913 下列各点中为二元函数 z=x3-y3-3x2+3y-9x 的极值点的是：（A）(3 ，-1)（B） (3，1
3、)（C） (1，1)（D）(-1，-1)14 设 D 是由 y=x，y=0 及 y= (x0)所围成的第一象限区域，则二重积分dxdy 等于：15 曲面 x2+y2+z2=2z 之内以及曲面 z=x2+y2 之外所围成的立体的体积 V 等于：16 级数（A）当 1p2 时条件收敛（B）当 p2 时条件收敛（C）当 p1 时条件收敛（D）当 p1 时条件收敛17 下列各级数中发散的是：18 已知函数 (u2n-1-u2n)是收敛的，则下列结果成立的是：19 微分方程 xy-y=x2e2x 通解 y 等于：（A）x( e2x+C)（B） x(e2x+C)（C） x( x2e2x+C)（D）x 2e
4、2x+C20 微分方程 y“+2y=0 的通解是：（A）y=Asin2x（B） y=Acosx（C）（D）21 微分方程 y“=x+sinx 的通解是：(C 1，C 2 为任意常数 )22 已知 n 元非齐次线性方程组 Ax=B，秩 r(A)=n-2， 为其线性无关的解向量，k 1，k 2 为任意常数，则 Ax=B 通解为：23 设 3 阶矩阵 A= ，已知 A 的伴随矩阵的秩为 1，则 a=（A）-2（B） -1（C） 1（D）224 设 A 是 mn 的非零矩阵，B 是 nl 非零矩阵，满足 AB=0，以下选项中不一定成立的是：（A）A 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关（C
5、） B 的行向量组线性相关（D）r(A)+r(B)n25 设 1， 2 是线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1、 2 是导出组 Ax=0 的基础解系，k 1、k 2 是任意常数，则 Ax=b 的通解是：（A） +k11+k2(1-2)（B） 1+k1(1-2)+k2(1-2)（C） +k11+k2(1-2)（D） +k11+k2(1-2)26 设 A= ，且 |A|=5，|B|=1，则|A+B|的值是：（A）24（B） 36（C） 12（D）4827 若随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 在区间0， 2上服从均匀分布，Y 服从参数为 3 的指数分布，则数学期望 E(XY)等于：（A）
6、43（B） 1（C） 23（D）1328 设随机变量(X，Y) 服从二维正态分布，其概率密度为 f(x，y)= ，则 E(X2+Y2)等于：（A）2（B） 1（C） 12（D）1429 离散型随机变量 X 的分布为 P(X=k)=ck(k=0， 1，2)，则不成立的是：（A）c0（B） 0 1（C） c=1-（D）c=30 设 A、B、C 为三个事件，则 A、B、C 中至少有两个发生可表示为：（A）AB C（B） A(BC)（C） ABACBC（D）注册环保工程师基础考试上午（高等数学）历年真题试卷汇编 12 答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 已知 由向量积的运算性质可
7、知，【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 单叶双曲面的标准方程 所以 -z2=1 为单叶双曲面。【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 本题检查向量代数的基本概念，用到两向量的加法、数量积、向量积的定义。选项 A： 错误在于两向量相加，利用平行四边形法则得到平行四边形的对角线向量，而不等于 选项 B： 错误在于两向量的数量积得一数量， =0。选项 D： 错误在于等号左边由向量积定义求出，为一向量；右边由数量积定义求出，为一数量。因而两边不等。选项C 正确。 cos0=1，左边等于右边。【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 f+(1)f-(1)
8、，在x=1 处不可导，所以 f(x)在 x=1 处连续不可导。【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 使分母为 0 的点为间断点，令 sinx=0，得 x=0，1，2，为间断点，再利用可去间断点定义，找出可去间断点。计算当 x=0 时，极限存在，可知 x=0 为函数的一个可去间断点。同样可计算当 x=1 时，极限存在为 ，因而 x=1 也是一个可去间断点。其余点求极限均不满足可去间断点定义。【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 D【试题解析】 通过举例来说明。连续的例题：设 x0=0，f(x)= ，在 x0=0 间断，g(x)=0，在 x0=0 连续，而 f(x)g(x)=0
9、 ，在 x0=0 连续。间断的例题：设x0=0， f(x)= ，在 x0=0 间断，g(x)=1，在 x0=0 连续，而 f(x)g(x)=，在 x0=0 间断。【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 D【试题解析】 由极限运算法则，答案 A、B、C 均不成立，利用两个无穷小比较知识，当 xa 时，0，0。若 =0，称在 xa 时， 是 的高阶无穷小，所以答案 D 成立。f(x)是比 (x=a)高阶的无穷小。【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 A【试题解析】 分段函数在分界点连续，要满足 f(x)=f(x0)。求出 f(0)=1+a， ln(1+x)+1=1 所以 a=0。【知识模块】 高
10、等数学9 【正确答案】 C【试题解析】 A 项： 0+e-xdx=-0+e-xd(-x)=-e-x|0+=-( e-x-1)=1【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 B【试题解析】 利用广义积分的方法计算。选项 B 的计算如下：【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 B【试题解析】 画出 y=sinx，y=cosx 图形，在0 ，2上求出交点x，x+dx：dA=(sinx-cosx)dxA= (sinx-cosx)dx【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 D【试题解析】 直接计算选项 A、B、C 较复杂，可先从简单选项入手，计算选项D， 0110xdx= ，选项 D 错误。选项 A、
11、B、C 经计算，均成立。【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 A【试题解析】 利用多元函数极值存在的充分条件确定。求出驻点(3，1)，(3，-1)，(-1 ，1)，(-1，-1)。求出分别代入每一驻点，得到 A，B，C 的值。当 AC-B20 取得极点，再由 A0 取得极小值，A0 取得极大值。 将x=3，y=-1 代入得 A=12，B=0 ，C=6，AC-B=72 0，A 0，所以在(3，-1)点取得极小值。极值点为(3，-1)，其他点均不能取得极值。【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 A【试题解析】 D： 如图所示。【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 D【试题解析】 利用柱
12、面坐标计算三重积分。立体体积 V=1dV，联立消 z 得 Dxy：x 2+y21，由 x2+y2+z2=2z，x 2+y2+(z-1)2=1，(z-1) 2=1-x2-y2， z-1= 积分区域 在柱面坐标下的不等式组为 ，dV=rdrddz ，写成三次积分。先对 z 积，再对 r 积，最后对 积，即得选项 D。【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 A【试题解析】 级数条件收敛应满足条件：取绝对值后级数发散；原级数收敛。 当 0p-11 时，即 1p2，取绝对值后级数发散，原级数 为交错级数。当 p-10 时，即 p1，取绝对值后级数发散： 综合以上结论 1p2 和 p1，应为1p2 。【
13、知识模块】 高等数学17 【正确答案】 A【试题解析】 利用交错级数收敛法可判定选项 B 的级数收敛；利用正项级数比值法可判定选项 C 的级数收敛；利用等比级数收敛性的结论知选项 D 的级数收敛，故发散的是选项 A 的级数。或直接通过正项级数比较法的极限形式判定，因级数【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 B【试题解析】 举反例说明，符合题目条件的级数有两种不同的结果，一种可能收敛，另一种可能发散。 而 un 收敛，说明选项 D 错误。 而 un 发散，说明选项 A、C 错误。综合以上两例，满足条件的级数未必收敛。【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 A【试题解析】 xy-y=x 2e
14、2x =elnx(xe2xe-lnxdx+C)=x(e2xdx+C)=x( e2x+C)。【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 D【试题解析】 写出微分方程对应的特征方程 r2+2=0，r 2=-2，r=写出通解，y=Asin【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 B【试题解析】 本题为可降阶的高阶微分方程，连续积分二次，得通解。y“=x+sinx，y=(x+sinx)dx= x3-sinx+c1x+c2。【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 C【试题解析】 已知 72 元非齐次线性方程组 Ax=B，r(A)=n-2，对应 n 元齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系的个数为 n-(n
15、-2)=2，可验证 2-1， 2-3 为齐次线性方程组的解析： A( 2-1)=A2-A1=B-B=0，A( 2-3)=A2-A3=B-B=0；还可验 2-1， 2-3 线性无关。 所以 k1(2-1)+k2(2-3)为 n 元齐次线性方程组 Ax=0 的通解，而 1 为 n 元非齐次线性方程组 Ax=B 的一特解。 因此，Ax=B；的通解为 x=k1(2-1)+k2(2-3)+1。【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 A【试题解析】 求出 A*= ，将选项 A、B、C、D 值分别代入，当 a=-2 代入时，R(A *)=1。【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 A【试题解析】 A、B
16、 为非零矩阵且 AB=0，由矩阵秩的性质可知 r(A)+r(B)n，而A、B 为非零矩阵，则 r(A)1，r(B)1 ，又因 r(A)n，r(B)n，则由 1r(A)n，知 Amn 的列向量相关，1r(B)n，B nl 的行向量相关，从而选项 B、C、D均成立。【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 C【试题解析】 非齐次方程组的通解 y=y(齐次方程的通解 )+y*(非齐次方程的一个特解)，可验证 (1+2)是 Ax=b 的一个特解。因为 1， 2 是线性方程组 Ax=b 的两个不同的解 又已知 1， 2 为导出组 Ax=0的基础解系，可知 1， 2 是 Ax=0 解，同样可验证 1-2
17、也是 Ax=0 的解，A( 1-2)=A1-A2=0-0=0。还可验证 1， 1-2 线性无关。设有任意两个实数 K11，K 22 使K111+K22(1-2)=0，即(K 11+K22)1-K222=0，因 1， 2 线性无关，所以 1， 2 的系数，K 11+K22=0，-K 22=0。即 解得 K11=0，K 22=0；因此 1， 1-2线性无关。故齐次方程组 Ax=0 的通解为 y=K11+K2(1-2)。又 y*= (1+2)是Ax=b 的一个特解；所以 Ax=b 的通解为 y= +K11+K2(1-2)。【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数
18、学27 【正确答案】 D【试题解析】 X 与 Y 独立时，E(XY)=E(X)E(Y) ， X 在a，b 上服从均匀分布时，E(X)= ，Y 服从参数为 的指数分布时，E(Y)=1。【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 A【试题解析】 因 f(x，y)= 所以 XN(0，1)，YN(0 ，1) ， X，Y 相互独立。E(X 2+Y2)=E(X2)+E(Y2)=D(X)+(E(X)2)+D(Y)+(E(Y)2=1+1=2 或 E(X2+Y2)=-+-+(x2+y2) dxdy【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 D【试题解析】 由分布律性质(1)：p(x=k)=c 20，k=0，1，2，得 c0，0。由分布律性质(2)： ck=1 知等比函数 ck 收敛，则有|1；因为 =1，c=1-；所以 c0，01，c=1-，选项 D 不成立。【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 C【知识模块】 高等数学
