1、2014 年考研（数学三）真题试卷及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 且 a0，则当 n 充分大时有2 下列曲线中有渐近线的是（A）y=x+sinx（B） y=x2+sinx（C） y=x+sin(1/x)（D）y=x 2+sin(1/x)3 设 p(x)=a+bx+cx2+dx3当 x0 时，若 p(x)-tanx 是比 x3 高阶的无穷小，则下列选项中错误的是（A）a=0 （B） b=1（C） c=0（D）d=1/6 4 设函数 f(x)具有 2 阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x ，则在区间 0，1 上（A）当 f(x)0 时，
2、f(x)g(x)（B）当 f(x)0 时，f(x)g(x)（C）当 f(x)0 时，f(x)g(x)（D）当 f(x)0 时，f(x)g(x)5 行列式（A）(ad-bc) 2（B） -(ad-bc)2（C） a2d2-b2c2（D）b 2c2-a2d26 设 a1，a 2，a 3 均为 3 维向量，则对任意常数 k，向量组 a1+ka3，a 2+a3。线性无关是向量组 a1，a 2，a 3 线性无关的（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件7 设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P(B)=05，P(A-B)=03，则 P(B-A)= （A）01（
3、B） 02（C） 03（D）048 设 X1，X 2，X 3 为来自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本，则统计量 S=服从的分布为（A）F(1，1)（B） F(2，1)（C） t(1)（D）t(2)二、填空题9 设某商品的需求函数为 Q=402P(P 为商品的价格) ，则该商品的边际收益为_10 设 D 是由曲线 xy+1=0 与直线 y+x=0 及 y=2 围成的有界区域，则 D 的面积为_11 设 0axe2xdx=1/4，则_ 12 二次积分 =_13 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3，的负惯性指数为 1，则 a 的取值范围是_14 设总
4、体 X 的概率密度为 f(x；)= 其中 是未知参数，X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本若 ，则c=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 设平面区域 D=(x，y)1x 2+y24，x0，y0，计算17 设函数 f(u)具有连续导数，且 z=f(excosy)满足若 f(0)=0，求 f(u)的表达式18 求幂级数 的收敛域及和函数19 设函数 f(x)，g(x) 在区间 0，b上连续，且 f(x)单调增加， 0g(x)1证明：20 设 ，E 为 3 阶单位矩阵21 证明 n 阶矩阵 相似22 设随机变量 X 的概率分布为 PX=1=PX=2=1/2
5、在给定 X=i 的条件下，随机变量 Y 服从均匀分布 U(0，i)(i=1，2) ()求 Y 的分布函数 Fy(y)； ()求 EY23 设随机变量 X，Y 的概率分布相同，X 的概率分布为 PX=0=1/3，PX=1=2/3，且 X 与 Y 的相关系数 xy=1/2 ()求(X ， Y)的概率分布； ()求PX+Y12014 年考研（数学三）真题试卷答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 【分析一】 根据极限定义， 对任意 0，存在N0，当 nN 时，有a n-a，取 =a/2，从而有不等式 -( a/2) a n-aa/2【
6、分析二】 用排除法，令 an 为简单数列的通项2 【正确答案】 C【试题解析】 (A) 、(B)、 (C)、(D)四条曲线均无水平渐近线也无铅直渐近线y=x 是(C)的斜渐近线，故选(C) 3 【正确答案】 D【试题解析】 由于 tanx=x+(1/3)x 3+o(x3) 是 tanx 的马克劳林展开式，p(x)-tanx 是比 x3 高阶的无穷小，比较 x 同次幂的系数，得 a=0，b=1，c=0，d=1/3 ， 因此只有(D)是错误的，故选 (D)4 【正确答案】 D【试题解析】 【分析一】 由 g(x)的表达式可知，g(0)=f(0)，g(1)=f(1)即 f(x)与g(x)在区间0，1
7、的端点函数值相等 g(x)=f(0)+f(1)-(0)x 是一条直线，斜率k=f(1)-f(0) 当 f(x)0 时，说明 f(x)单调不减，无法判定 f(x)与 g(x)的大小 当f0 时，f(x)在区间0，1上是上凹的，g(x) 是连接 f(x)两个端点的弦，故 g(x)f(x) 正确选项为 (D) 【分析二】令 (x)：f(x)-g(x)=(0)=f(0)-f(0)=0，(1)=f(1)-f(1)=0 在 0，1上，当 f(x)0 时， (x)=f(x)-g(x)=f(x)0=(x)0，即f(x)g(x)选(D)5 【正确答案】 B【试题解析】 计算出这个行列式比较好的方法为先交换第 2
8、，3 两行，再把第 1列和第 2，3 列邻换：计算出这个行列式比较好的方法为先交换第 2，3 两行，再把第 1 列和第 2，3 列邻换：(此题也可用排除法：4 个选项中都有 a2d2 和 b2c2，但是前面的符号不同，(A)都是+，(B) 都是-，(C)+ ，- ，(D)- ，+观察完全展开式中它们的系数都是一，可排除(A)、(C)、(D)6 【正确答案】 A【试题解析】 从 a1，a 2，a 3 线性无关容易得到 a1+ka3，a 2+a3 线性无关( 可用定义或计算秩)，因此是必要条件当 a1，a 2 线性无关，并且 a33=0 时对于任意常数k，a 1+ka3，a 2+a3 线性无关，而
9、 a1，a 2，a 3 线性相关，因此不是充分条件7 【正确答案】 B【试题解析】 由于事件 A 与 B 独立，故有P(AB)： P(A)P(AB)=P(A)P(A)P(B)=05P(A)=03从而 P(A)=0.6P(BA)=P(B)P(AB)=P(B)P(A)P(B)=0503=02所以选(B) 8 【正确答案】 C【试题解析】 由于 X1，X 2，X 3 相互独立，且均服从正态分布 N(0， 2)，二、填空题9 【正确答案】 MR=R (Q)=20-Q【试题解析】 由 Q=40-2p，得 p=20-(Q/2)， 收益函数 R(Q)=pQ=20Q-(Q 2/2)， 边际收益 MR=R (Q
10、)=20-Q10 【正确答案】 (3/2)-ln2【试题解析】 D 的图形如右图，D 的面积与 D1 的面积相等11 【正确答案】 1/2【试题解析】 12 【正确答案】 1/2(e-1)【试题解析】 分项，交换积分次序13 【正确答案】 -2a 2【试题解析】 【解法一】 用配方法：f(x 1，x 2，x 3) =x12-x22+2ax1x3+4x2x3 =(x1+ax3)2-(x2-2x3)2+(4-a2)x32由负惯性指数为 1，得(4-a2)0，-2a2【解法二】 此二次型的矩阵 设 A 的 3 个特征值按照大小顺序为 123则 1+2+3=0负惯性指数为 1 即 10 23则A 0
11、反之，如果A 0，则特征值一定是 2 正 1 负，如果A =0，则特征值一定 1 正 1 负 1 个 0于是负惯性指数为 A0计算出A=a2-4，得-2a214 【正确答案】 1/2【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 由 x，y 的对称性，有17 【正确答案】 令 u=excosy，则18 【正确答案】 由于 所以收敛半径 R=1，当 x=1 时级数发散，故收敛域为(-1 ，1)19 【正确答案】 () 由定积分的估值定理：若 f(x)在区间a，b上可积，其最大值与最小值分别为 M 与 m，则有 m(ba) ab(x)dxM(
12、b-a) g(x)在a，b上连续一定可值，且 0g(x)1，根据估值定理，当 xa，b时，一定有 0axg(t)dtx-a20 【正确答案】 () 用初等行变换化 A 为简单阶梯形矩阵：得 Ax=0 的同解方程组：求得一个非零解 a=(-1，2，3，1) T，它构成 Ax=0 的基础解系 ()所求矩阵 B 应该是 43 矩阵一种做法是把 B 的 3 个列向量分别作为 3 个线性方程组 AX=(1，0，0) T，AX=(0 ，1，0) T 和 AX=(0，0，1) T 的解来计算下面的方法比较简单 思路：满足 AB=E 的任何两个解的差都是 AB=0 的解先求出AB=0 的所有解，再求 AB=E
13、 的一个特解，就可以得到满足 AB=E 的所有矩阵 AB=0 的解是一个 43 矩阵，他的每一列都是 Ax=0 的解，因此是 a 的倍数，通解为 (c 1a，c 2a，c 3a)，c 1，c 2，c 3 为任意常数 求 AB=E 的一个特解用初等行变换化(AE)为简单阶梯形矩阵：AB=E 的通解为 B0+(c1a，c 2a，c 3a)，c 1，c 2，c 3 为任意常数21 【正确答案】 说明 A 和 B 都相似于对角矩阵，并且特征值一样，因此相似 (1)求出E-A= n-1(-n)，A 的特征值为 0(n-1 重)和 n(1 重)B 是上三角矩阵，特征值为对角线元素，也是 0(n-1 重)和 n(1 重) (2)A 是实对称矩阵，相似于对角矩阵 B 的 n-l 重特征值 0 满足等式 重数=n-r(B-0E)=(n-1)，因此它也相似于对角矩阵 由相似关系的传递性，得到 A 和 B 相似22 【正确答案】 () FY(y)=PYy=PYy，X=1+PYy，X=2 =PX=1PYyX=1+PX=2PYyX=2 当 y0 时，F y(y)=0，当 0y1 时，F y(y)=当 0y2 时，F y(y)= 当 y2 时，F y(y)=123 【正确答案】 根据已知边缘分布的条件，可设联合分布为
