1、考研数学二（二次型）模拟试卷 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列矩阵中，正定矩阵是2 矩阵 A= 合同于3 设 A= ，则 A 与 B（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D）不合同也不相似4 设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充要条件是（A）A，B 有相同的特征值（B） A，B 有相同的秩（C） A，B 有相同的行列式（D）A，B 有相同的正负惯性指数5 二次型 xTAx 正定的充要条件是（A）负惯性指数为零（B）存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=E（C） A 的特征值全大于零（D）存在厅阶矩阵 C
2、，使 A=CTC二、填空题6 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(a1x1+a2x2+a3x3)2 的矩阵是_7 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x2+2x1x3 的负惯性指数 g=_8 若二次型 2x12+x22+x32+2x1x2+2tx2x3 的秩为 2，则 z=_9 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+cx32+2ax1x2+2x1x3 经正交变换化为标准形y12+2y32，则 a=_.10 设三元二次型 x12+x22+5x32+2tx1x2-2x1x3+4x2x3 是正定二次型，则 t_11 已知 A= ，矩阵 B=A+Ek 正定，则 k 的取值为_三、解
3、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 在正交变换 X=QY 下化为 y12+y22，Q 的第 3 列为求 A证明 A+E 是正定矩阵13 证明对于任何 mn 实矩阵 A，A TA 的负惯性指数为 0如果 A 秩为 n，则 ATA是正定矩阵14 如果 A 正定，则 Ak，A -1，A *也都正定15 设 A 是正定矩阵，B 是实对称矩阵，证明 AB 相似于对角矩阵16 设 A，B 都是 n 阶正定矩阵，则：AB 是正定矩阵 A，B 乘积可交换17 设 A 是一个 n 阶实矩阵，使得 AT+A 正定，证明 A 可逆18 设 A 是一个 n
4、阶正定矩阵，B 是一个 n 阶实的反对称矩阵，证明 A+B 可逆19 求正交变换化二次型 x12+x22+x32+4x1x2-4x2x3-4x1x3 为标准形20 二次型 f(x1，x 2，x 3)=5x12+5x22+cx32-2x1x2-6x2x3+6x1x3 的秩为 2，求 c 及此二次型的规范形，并写出相应的变换21 设 A 是 n 阶实对称矩阵，若对任意的 n 维列向量 恒有 TA=0，证明 A=022 若 A 是 n 阶正定矩阵，证明 A-1A*也是正定矩阵23 设 A 是 m尼实矩阵，r(A)=n，证明 ATA 是正定矩阵24 设 A 是 n 阶正定矩阵，证明A+2E2 n25
5、已知 A= 是正定矩阵，证明 = 0考研数学二（二次型）模拟试卷 17 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 正定的必要条件 aij0，可排除(A)、 (D) (B)中 2=0 与顺序主子式全大于 0 相矛盾，排除(B)故应选(C)【知识模块】 二次型2 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵 A 的特征多项式E-A= =(-1)(-3)(+2)，知矩阵 A 的特征值为 1，3，-2即二次型正惯性指数 p=2，负惯性指数1=1故应选(B)【知识模块】 二次型3 【正确答案】 A【试题解析】 由E-A = 3-32，知矩阵 A 的
6、特征值为 3，0，0又因 A 是实对称矩阵，A 必能相似对角化，所以 AB因为 A，B 有相同的特征值，从而有相同的正、负惯性指数，所以 A B故应选(A)【知识模块】 二次型4 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 是充分条件特征值一样 有相同的正、负惯性指数 合同但不是必要条件例如 A= ，特征值不同，但 A B(B)是必要条件由 CTAC=B，C 可逆 r(A)=r(B)，但不是充分条件例如 A=，B= ，虽 r(A)=r(B)，但正负惯性指数不同故 A 与 B 不合同(C)既不必要也不充分例如 A= ，行列式不同但合同，又如 A= ，B= ，虽行列式相同但不合同故应选(D)【知识模块】
7、 二次型5 【正确答案】 C【试题解析】 (A) 是正定的必要条件若 f(x1，x 2，x 3)=x1+5x3，虽 q=0，但 f 不正定(B) 是充分条件正定并不要求特征值全为 1虽 A= 不和单位矩阵层相似，但二次型 xTAx 正定(D)中没有矩阵 C 可逆的条件，也就推导不出 A 与 E 合同，例如 C= ，A=C TC= ，则 xTAx 不正定故应选(C)【知识模块】 二次型二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 f(x 1，x 2，x 3)=a12x12+a22x22+a32x32+2a1a2x1x2+2a1a3x1x3+2a2a3x2x3，二次型矩阵【知识模块】 二次型7 【正确
8、答案】 1【试题解析】 令() ，故()是坐标变换，那么经此变换二次型化为 f=y22+2(y1+y3)(y1-y3)=2y12+y22-2y32所以负惯性指数q=1【知识模块】 二次型8 【正确答案】 【试题解析】 r(f)=2，即 r(A)=2因A中有 2 阶子式 0，故 r(A)=2 A=0由 =1-2t2=0 .【知识模块】 二次型9 【正确答案】 0【试题解析】 二次型及其标准形的矩阵分别是 A=在正交变换下二次型矩阵 A 和标准形矩阵 A 不仅合同，而且相似于是由【知识模块】 二次型10 【正确答案】 【试题解析】 二次型矩阵 A= ，顺序主子式 1=1， 2= =1-t20， 3
9、= A=-5t 2-4t0，所以 t .【知识模块】 二次型11 【正确答案】 0【试题解析】 由矩阵 A 的特征值为 3，0，0，知矩阵 B 的特征值为k+3，k ，k又 B 正定 .【知识模块】 二次型三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 条件说明 Q-1AQ=QTAQ= 于是 A 的特征值为1，1，0，并且 Q 的第 3 列= (1，0，1) T 是 A 的特征值为 0 的特征向量记1=(1， 0，1) T，它也是 A 的特征值为 0 的特征向量 A 是实对称矩阵，它的属于特征值 1 的特征向量都和 1 正交，即是方程式 x1+x3=0 的非零解 2=(1
10、，0，-1)T， 3=(0，1，0) T 是此方程式的基础解系，它们是 A 的特征值为 l 的两个特征向量建立矩阵方程 A( 1， 2， 3)=(0， 2， 3)，两边做转置，得解此矩阵方程A+E 也是实对称矩阵，特征值为 2，2，1，因此是正定矩阵【知识模块】 二次型13 【正确答案】 只用证明 ATA 的特征值都不为负数，并且在 A 秩为 n 时 ATA 的特征值都大于 0 设 A 是 A 的一个特征值， 是属于它的一个特征向量，即有ATA=，于是 TATA=T，即 (A，A)=(， )则 =(A ，A) (，)0 如果 A 秩为 n，则 AX=0 没有非零解，从而 A0，(A，A) 0，
11、因此 =(A， A)( ，) 0【知识模块】 二次型14 【正确答案】 从特征值看 设 A 的特征值为1， 2， n i0，i=1，2，n 则 Ak 的特征值为1k， 2k， nk ik0，i=1，2，n 设 A-1 的特征值为 1-1， 2-1， n-1 i-10，i=1，2，n 设 A*的特征值为A 1，A 2，A nA i0，i=1，2，n【知识模块】 二次型15 【正确答案】 A 是正定矩阵，存在可逆实矩阵 C，使得 A=CCT，则AB=CCTB于是 C -1ABC=C-1CCTBC=CTBC 即 AB 相似于 CTBC而 CTBC 是实对称矩阵，相似于对角矩阵由相似的传递性，AB 也
12、相似于对角矩阵.【知识模块】 二次型16 【正确答案】 “ ”先证明 AB 对称(AB) T=BTAT=BA=AB再证明 AB 的特征值全大于 0存在可逆实矩阵 C，使得 A=CCT则 AB=CCTB，相似于 CTBC，特征值一样，而 CTBC 是正定的，特征值全大于 0“ ”AB 正定，则对称于是BA=BTAT=(AB)T=AB【知识模块】 二次型17 【正确答案】 矩阵可逆，有好几个充分必要条件，本题从哪个条件着手呢?行列式不好用，虽然 AT+A 正定可得A T+A0，但是由此不能推出A0用秩也不好下手用“AX=0 没有非零解”则切合条件 设 n 维实列向量 满足 A=0，要证明 =0 T
13、(AT+A)=TAT+TA=(A)T+TA=0 由 AT+A 的正定性得到=0【知识模块】 二次型18 【正确答案】 证明(A+B)X=0 没有非零解 设 n 维实列向量 满足(A+B)=0，要证明 =0 注意 B 是反对称矩阵， TB=0(因为 TB=(TB)T=-TB) TA=TA+TB=T(A+B)=0 由 A 的正定性得到 =0【知识模块】 二次型19 【正确答案】 二次型矩阵 A= ，由特征多项式E-A=(+3)(-3)2，得特征值为 1=2=3， 3=-3由(3E-A)x=0得基础解系 1=(-1，1，0)T， 2=(-1，0，1) T，即 =3 的特征向量是 1， 2由(-3E-
14、A)x=0 得基础解系 3=(1，1，1) T对 1， 2 经 Schmidt 正交化，有1=1， 2=2- 单位化，得那么，令 x=Qy，其中Q=(1， 2， 3)，则有 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=yTAy=3y12+3y22-3y32【知识模块】 二次型20 【正确答案】 二次型矩阵 A= ，由二次型的秩为 2，即矩阵A 的秩 r(A)=2，则有 A=24(c-3)=0 c=3用配方法求规范形和所作变换 f(x1，x 2，x 3)=5x12+5x22+3x32-2x1x2+6x1x3-6x2x3=3(x3+x1-x2)2-3(x1-x2)2+5x12+5x22-2x1x2=3(
15、x1-x2+x3)2+2x1+2x22+4x1x2=3(x1-x2+x3)2+2(x1+x2)2 令则 f(x1，x 2，x 3)=y12+y22，为规范二次型所作变换为【知识模块】 二次型21 【正确答案】 维向量 恒有 TA=0，那么令 1=(1，0，0，0) T，有1TA1=(1，0，0，0) =a11=0类似地，令i=(0， 0，0，1，0，0) T(第 i 个分量为 1)，由 iTAi=aii=0 (i=1，2，n)令 12=(1，1，0，0) T，则有 12TA12=(1，1，0，0)=a11+a22+2a12=0故 a12=0类似可知aij=0(i，j=1，2，n)所以 A=0.
16、【知识模块】 二次型22 【正确答案】 因 A 正定，所以 AT=A那么(A -1)T=(AT)-1=A-1，即 A-1 是实对称矩阵设 A 的特征值是 1， 2， n，那么 A-1 的特征值是 ，由A 正定知 i0(i=1，2，n)因此 A-1 的特征值 0(i=1，2，n)从而 A-1 正定A *=AA -1，A0，则 A*也是实对称矩阵，并且特征值为都大于 0从而 A*正定【知识模块】 二次型23 【正确答案】 由(A TA)T=AT(AT)T=ATA，知 ATA 是实对称矩阵又 r(A)=n， 0，恒有 A0从而 T(ATA)=(A)T(A)=A20故 ATA 正定【知识模块】 二次型24 【正确答案】 设矩阵 A 的特征值是 1， 2， n因为 A 正定，故特征值i0(t=1，2，n)又 A+2E 的特征值是 1+2， 2+2， N+2，所以 A+2E=( 1+2)(2+2)( N+2)2 n【知识模块】 二次型25 【正确答案】 令 C1= ，C 2= ，C=C 1C2，则 C 是可逆矩阵，且 CTAC=C2TC1TAC1C2=C2T B，则AB由于 A 正定，故 B 正定，从而 B 的顺序主子式 0【知识模块】 二次型
