1、考研数学二（二重积分）模拟试卷 12 及答案与解析一、填空题1 设 D 为两个圆：x 2+y21 及(x-2) 2+y24 的公共部分则 I= ydxdy=_2 设 D 为 y=x3 及 x=-1，y=1 所围成的区域，则 I= xydxdy=_3 I= xydxdy=_4 设 D：0x1，0y1 ，则 I= =_.5 设 I1= (x4+y4)d，I 2= (x4+y4)d，I 3= 2x2y2d，则这三个积分的大小顺序是_.6 设 D 为圆域 x2+y2x，则 I= =_.二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 设 f(x)在区间0，1上连续，证明： 01f(x)dxx1f(
2、y)dy= 01f(x)dx28 计算 ，其中 D 为曲线 y=lnx 与两直线 y=0，y=(e+1)-x 所围成的平面区域9 计算 I= x2e-y2dxdy，其中 D 是以 O(0，0)，A(1，1)，B(-1，1)为顶点的三角形区域10 计算 ，其中 D：1x 2+y29，11 计算 sin(x-y)dxdy，其中 D：0xy212 计算 (x+y)2dxdy，其中 D：x+y113 计算 ，其中 D：x0，y0，x+y114 设 a0 为常数，求积分 I= xy2d，其中 D：x 2+y2ax15 设 D=(x， y)x 2+y22x+2y，求 I= (x+y2)dxdy16 设 D
3、=(x， y)x+y1，x 2+y21，求 I= (x2+y2)d17 01dx0x2f(x，y)dy+ 13dx f(x，y)dy18 -10dx-x2-x2f(x，y)dy+ 01dxx2-x2f(x，y)dy19 0t2dx f(x，y)dy(t0)20 极坐标系下的累次积分 f(rcos，rsin)rdr21 01dx22 0Rdx ln(1+x2+y2)dy(R0)23 01dyy124 01dx25 设 f(u)可导，f(0)=0，f(0)= 26 设 f(x)在a，b连续，且 f(x)0， abf(x)dx=A D 为正方形区域：axb，ayb，求证：( ) ()I(b-a)(b
4、-a+A)考研数学二（二重积分）模拟试卷 12 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 0【试题解析】 D 关于 x 轴对称，被积函数对 y 为奇函数 I=0【知识模块】 二重积分2 【正确答案】 0【试题解析】 D 如图 81 所示添加辅助线 y=-x3(x0)，将 D 分解成 D=D1D2，其中 D1 关于 y 轴对称，D 2 关于 x 轴对称，被积函数对 x，y 均为奇函数【知识模块】 二重积分3 【正确答案】 【试题解析】 区域如图 82 所示，由对称性与奇偶性 其中D1：0y1-x，0x1于是 I=401dx01-xxydy=401 x(1-x)2dx= 01xd(1-x)3= 01(
5、1-x)3dx【知识模块】 二重积分4 【正确答案】 【试题解析】 D 关于直线 y=x 对称 与原式相加【知识模块】 二重积分5 【正确答案】 I 3I 1I 2【试题解析】 比较 I1 与 I2，被积函数是相同的连续非负函数，积分区域圆域(x2+y21)包含在正方形区域(x1，y1)中 I1I 2 比较 I1 与 I3，积分区域相同，被积函数均是连续的，比较它们知 x4+y4 2x2y2 I1I 3因此I3I 1I 2【知识模块】 二重积分6 【正确答案】 【试题解析】 D 如图 83用极坐标变换，D 的极坐标表示：于是【知识模块】 二重积分二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
6、。7 【正确答案】 先将累次积分表示成二重积分，则有 I=01f(x)dxx1f(yy)dy= f(x)f(y)dxdy，其中 D=(x，y)0x1，xy1 ，如图 828，它与D=(x，y)0x1 ，0yx关于 y=x 对称于是 I= f(x)f(y)dxdy，2I= f(x)f(y)dxdy+ f(x)f(y)dxdy=01dx01f(x)f(y)dy=01f(x)dx.01f(y)dy=01f(y)dx2，因此，I= 01f(x)dx2【知识模块】 二重积分8 【正确答案】 y=lnx 与 y=(e+1)-x 的交点是(e，1)，D 如图 84 所示，在 Oxy 坐标系中选择先 x 后
7、y 的积分顺序(D 不必分块)得【知识模块】 二重积分9 【正确答案】 D 如图 85 所示，D 关于 y 轴对称，被积函数对 x 为偶函数I=2x2e-y2dxdy其中 D1=Dx0选择先 x 后 y 的积分顺序 I=201dy0yx2e-y2dx= 01y3e-y2dx= 01y2de-y2= y2e-y2 01+ 01e-y2dy2= e-1- e-y2 01= e-1.【知识模块】 二重积分10 【正确答案】 令 x=rcos，y=rsin ，则 D：1r3， 于是【知识模块】 二重积分11 【正确答案】 (分块积分法)D 如图 86-(a)，被积函数分块表示，要分块积分，将 D 分成
8、 D=D1D2，以 y-x= 为分界线(如图 86-(b) 在 D1 上，y-x2；在 D2 上，0y-x ，则 在 D2 上边界分段表示(如图 86-(c) ，也要分块积分 I=-0dxx+2sin(y-x)dy+0dxxx+sin(y-x)dy+2dxx2sin(y-x)dy=0cos(y-x) y=1+2dx-0cos(y-x)y=xx+dx-2cos(y-x) y=x2dx=0(cosx+1)dx+02dx-2(cosx-1)dx=4【知识模块】 二重积分12 【正确答案】 D 关于 x，y 轴均对称，它在第一象限部分记为 D1，如图 87I= (x2+y2)+2xyd= x2dxdy
9、+0=8 x2dxdy=801dx01-xx2dy=801x2(1-x)dx【知识模块】 二重积分13 【正确答案】 极坐标变换 x=rcos，y=rsin 于是【知识模块】 二重积分14 【正确答案】 D 是圆域(如图 89)： 作极坐标变换x=rcos，y=rsin，并由 D 关于 x 轴对称，x 轴上方部分为D1：0 ，0racos于是【知识模块】 二重积分15 【正确答案】 D 是圆域：(x-1) 2+(y-1)22，也考虑到被积函数的情形，先作平移变换 u=x-1，v=y-1，则 I= (2+u+2v+v2)dudv，其中 D：u 2+v22于是由 D 的对称性及被积函数的奇偶性得
10、I= (2+v2)dudv=2.2+ v2dudv余下求 I1= v2dudv利用直角坐标系中的公式 I1=4 v2dudv，其中 D1=(u，v)0u是 D 的第一象限部分【知识模块】 二重积分16 【正确答案】 D 由直线 x+y=1 与圆周 x2+y2=1 所围成，如图 810记 D1=(x，y)x 2+y21，x0，y0，D2=(x，y) x+y1，x0，y0 ， D=D1D 2，从而 I= (x2+y2)d- (x2+y2)d=(x2+y2)d-2 x2d= d01r2.rdr-201dx01-xx2dy= -201x2(1-x)dx其中由于 D2 关于直线 y=x 对称，所以y2d
11、= x2d【知识模块】 二重积分17 【正确答案】 如图 811 所示【知识模块】 二重积分18 【正确答案】 如图 812 所示 原式= f(x，y)d=01dy-yyf(x，y)dx+ 12dy f(x，y)dx【知识模块】 二重积分19 【正确答案】 如图 813 所示当 z0，t 2时， t(t0)，于是原式=- 0t2-0tdy0y2f(x，y)dx= 0tdyy20f(x，y)dx【知识模块】 二重积分20 【正确答案】 在直角坐标系 Or 中画出 D的草图(如图 814)原积分= f(rcos，rsin)rdrd由 r= 得r2=sin2当 0 arcsinr2；当 ，r2=si
12、n2=sin(-2)于是 -2=arcsinr2，= arcsinr2因此原积分【知识模块】 二重积分21 【正确答案】 如图 815 所示=01sinydy+01ydcosy=-cos 01+cos1-01cosydy=1-8iny 01=1-sin1【知识模块】 二重积分22 【正确答案】 如图 816 所示 I= ln(1+x2+y2)dd0Rln(1+r2)rdr= R2ln(1+R2)-R2+ln(1+2)= (1+R2)ln(1+R2)-R2【知识模块】 二重积分23 【正确答案】 表成 D 的二重积分，确定 D，再交换积分次序原式=D 如图 817【知识模块】 二重积分24 【正
13、确答案】 计算这类累次积分的方法，常常是先确定积分区域 D，化成二重积分 f(x，y)dxdy，然后改换积分顺序再求解，或改用极坐标变换再求解由本题的特点选用后一种方法D 是圆域的一部分，如图 818 所示，则作极坐标变换，圆周方程为(y+1) 2+x2=1，即 x2+y2=-2y，即 r=-2sin，积分区域 D： 0，0r-2sin，于是【知识模块】 二重积分25 【正确答案】 t0化二重积分为定积分作极坐标变换 I(t)= 02d0tf(R)rdr=0tf(r)rdr【知识模块】 二重积分26 【正确答案】 ()D 关于直线 y=x 对称，利用二重积分的有关性质：得 相加得由初等不等式：()由不等式 et1+t(t0)及题( )=(b-a)2+(b-a)abf(x)dx=(b-a)(b-a+A)【知识模块】 二重积分
