1、考研数学二（二重积分）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设平面区域 D 由曲线 围成，则等于 ( )（A）2（B）一 2（C） （D）一 2 累次积分 化为极坐标形式的累次积分为 ( ) 3 设 D：|x|+|y|1，则 ( )（A）0（B）（C）（D）14 设 D 由直线 x=0，y=0 ，x+y=1 围成，已知 则( )（A）2（B） 0（C）（D）15 设积分 区域 D1=(x， y)|(x 一 2)2+(y1)22，D 2=(x，y)|x 2+(y+1)22)，下列选项正确的是 ( )（A）I 1I 2 I3I 4（B） I4
2、I 3I 2I 1（C） I4I 3I 1I 2（D）I 1I 3 I2I 4二、填空题6 设 f(x)是 D 上连续的奇函数，其中 D 由 y=4 一 x2，y= 一 3x，x=1 所围成，则 I=7 8 交换二次积分次序：9 设 f(x)为连续函数，a 与 m 是常数且 a0，将二次积分化为定积分，则 I=_10 11 设 D=(x， y)|x2+y21， x0，则二重积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 证明：13 设 在 D=a，bc，d上连续，求 并证明：I2(Mm)，其中 M 和 m 分别是 f(x，y)在 D 上的最大值和最小值14 设函数 f(x)在0，1
3、上连续，证明：15 交换二次积分的积分次序：16 交换二次积分的积分次序：17 交换二次积分的积分次序： 18 求 其中 D=(x，y)|0x3，0y119 计算 其中 a，b020 计算 其中 D：x 2+y2121 计算22 设函数 f(x)，g(x) 在a，b上连续且单调递增，证明： 23 设 D=(x， y)|0x1，0y2e，计算二重积分24 计算 其中 D=(x，y)|0y1 一 x，yx25 计算二重积分 其中 D 在极坐标系统中表示为26 设平面区域 求二重积分 27 求 其中 D 是由曲线 xy=2，直线 y=x 一 1 及 y=x+1所围成的区域28 设 D=(x， y)|
4、0x，0y2，求28 设常数 a 0，函数 g(x)在区间一 a，a上存在二阶导数，且 g“(x)029 令 h(x)=g(x)+g(一 x)，证明：在区间0，a上 h(x)0，且仅当 x=0 时，h(x)=0；30 证明：考研数学二（二重积分）模拟试卷 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 如图 153 所示，用曲线 将区域 D划分为 D1 和 D2 两部分，则 D1 关于 x 轴对称，D 2 关于 y 轴对称， 于是有 从而 由于区域 D 的面积与直线y=0，y=1， 所围成的矩形面积相等，故 SD=，故应选(D)【
5、知识模块】 二重积分2 【正确答案】 C【试题解析】 积分区域 D 为： 0y2R，如图 154 所示在极坐标系下 D 可表示为：0r2Rsin， 故 【知识模块】 二重积分3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 D 关于 x，y 轴都对称，故 且有 其中 D1=(x，y)|x+y1，x0，y0 于是 【知识模块】 二重积分4 【正确答案】 B【试题解析】 由 于是 【知识模块】 二重积分5 【正确答案】 C【试题解析】 如图 1511 所示， 积分域 D1 的边界为圆周(x 一 2)2+(y 一 1)2=2，它与 x 轴交于点(1，0)，与直线 x+y=1 相切而区域 D1 位于直线的上方，
6、故在 D1 内 x+y1，从而 (x+y)10(x+y)11，因此有 同样，在 D1 上 x+y1，从而(x+y) 10(x+y)11，因此有 又 画的(x+y) 10。草图如图 1512 所示； 侧视如图 1513 所示(垂直于 x+y=0 看进去)显然： 因此有 因此选(C)【知识模块】 二重积分二、填空题6 【正确答案】 0【试题解析】 令 D=D1D2，如图 156 所示 显然，在 D1 上， g(一 x，y)= 一 g(x，y) 在D2 上， 因此 g(x，一 y)=一g(x，y)，所以 【知识模块】 二重积分7 【正确答案】 【试题解析】 令 x=rsin，y=rcos ，则 【知
7、识模块】 二重积分8 【正确答案】 【试题解析】 由已知有，所求积分区域为 所围成的区域，所以 【知识模块】 二重积分9 【正确答案】 【试题解析】 被积函数仅是 x 的函数，交换积分次序即可化为定积分由二次积分的积分上、下限可知积分区域为 D：0xy，0ya，故 【知识模块】 二重积分10 【正确答案】 【试题解析】 所以原式= (e 一 1)【知识模块】 二重积分11 【正确答案】 【试题解析】 对于积分 用极坐标 对于 用直角坐标， 故原积分= (+4)【知识模块】 二重积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 本题看似是二重积分问题，事实上，用代换 t=
8、xy 可将累次积分化为定积分 在 视 x 为常数，令 t=xy，dt=xfy ，当 y 从 0 变到 1 时，t从 0 变到 x，则 从而 也就是要证明 移项后就是要证明 事实上， t t(1+lnt)dt=etlnt(1+lnt)dt=etlntd(tlnt)=d(etlnt)，故 证毕【知识模块】 二重积分13 【正确答案】 显然 I2(M 一m)【知识模块】 二重积分14 【正确答案】 方法一 显然积分区域 D=(x，y)|0x1，0y1 由对称性，知 方法二 由泰勒公式知，对任意的 xR，恒有 所以，有 ef(x)-f(y)1+f(x)一 f(y)从而 【知识模块】 二重积分15 【正
9、确答案】 【知识模块】 二重积分16 【正确答案】 【知识模块】 二重积分17 【正确答案】 如图 1510 所示，D=D 1D2，其中 【知识模块】 二重积分18 【正确答案】 由题设知： 其中 D1=(x，y)|0y1，yx3，D 2=(x，y)|0y1 ，0xy 所以 【知识模块】 二重积分19 【正确答案】 【知识模块】 二重积分20 【正确答案】 【知识模块】 二重积分21 【正确答案】 由题意知所以 【知识模块】 二重积分22 【正确答案】 设 其中D：axb，ayb因为 D 关于 y=x 对称，所以 故 由 f(x)，g(x)在a，b上单调递增，得 2I0，即 I0，故 【知识模
10、块】 二重积分23 【正确答案】 如图 1514 所示，将 D 分成 D1D2，D 1 与 D2 除边界之外无公共部分 【知识模块】 二重积分24 【正确答案】 积分区域 D 如图 1515 所示，在极坐标中， 【知识模块】 二重积分25 【正确答案】 改用直角坐标， 其中 D=(x，y)|0yx1， 于是 【知识模块】 二重积分26 【正确答案】 由 D 关于 y 轴对称，令 有 再令 D 2=(x，y)|x2+y28，yx0， 用极坐标分别计算 D2 与 D3 上的上述二重积分 【知识模块】 二重积分27 【正确答案】 作出 D 的平面图形如图 1516 所示因积分区域关于原点 O对称，被
11、积函数又是 x 与 y 的偶函数，故 这里 D 1=(x，y)|0x1，x 一 1y0)， D 2=(x，y)|0x1，0yx+1)， D 3=(x，y)|1x2,x-1y 于是 【知识模块】 二重积分28 【正确答案】 将 D 分成两块： D 1=(x，y)|0x，sinxy2， D 2=(x，y)1 0x，0ysinx， 【知识模块】 二重积分【知识模块】 二重积分29 【正确答案】 h(x)=g(x)一 g(一 x)，h(0)=0，h“(x)=g“(x)+g“( 一 x)0，由拉格朗日中值定理，有 h(x)=h(0)+h“()(x 一 0)=h“()x0，x(0，a【知识模块】 二重积分30 【正确答案】 因为当 0xa 时，h(x)0，h(x) 单调增加； f(x)=e-x2 在 0xa 时单调减少，所以不论 0xya 还是 0yxa，均有h(x)一 h(y)e-x2 一 e-y20，即只要(x，y)D=(x ，y)|0xa，0ya，有 h(x)e -x2+h(y)e-y2)h(x)e-y2+h(y)e-x2 于是有 即有 又因为 h(x)与 e-y2 都是偶函数，所以 再以 h(x)=g(x)+g(一 x)代入，并注意到 同理从而式(*)成为 证毕【知识模块】 二重积分
