1、考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设当 x0 时，f(x)=ax 3+bx 与 g(x)=0sinx 等价，则 ( )（A）（B） a=3，b=0（C）（D）a=1 ，b=02 设当 x0 时，f(x)=ln(1+x 2)一 ln(1+sin2x)是 x 的 n 阶无穷小，则正整数 n 等于 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）43 若 f(x)= 在(一，+)上连续，且 ，则 ( )（A）A0，k0（B） 0，k0（C） 0，k 0（D）0，k04 设 f(x)=*21，则( )（A）x=0，x=1
2、都是 f(x)的第一类间断点（B） x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点（C） x=0 是 f(x)的第一类间断点， x=1 是 f(x)的第二类间断点（D）x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点5 设 f(x)= ，则 f(x)有 ( )（A）1 个可去间断点，1 个跳跃间断点（B） 1 个跳跃间断点，1 个无穷间断点（C） 2 个可去间断点（D）2 个无穷间断点6 设 f(x)= ，则下列结论中错误的是 ( )（A）x=一 1，x=0 ，x=1 为 f(x)的间断点（B） x=一 1 为无穷间断点（C） x=0 为可去间断点（D）x=1 为第一类间断
3、点7 若 f(x)在(a,b)内单调有界，则 f(x)在(a ，b)内间断点的类型只能是 ( )（A）第一类间断点（B）第二类间断点（C）既有第一类间断点也有第二类间断点（D）结论不确定8 设 f1(x)= ，f 2(x)=f1f1(x)，f k+1(x)=f1fk(x)，k=1，2，则当 n1 时，fn(x)= ( )二、填空题9 当 x1 时，无穷小 A(x+1) k，则 A=_，k=_10 当 x 时，若有 则 A=_，k=_ 11 若 f(x)= 是(-，+)上的连续函数，则 a=_12 已知数列三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 14 15 利用夹逼准则证明：16
4、 设 f(x)在 x=0 处二阶导数连续，且 试求 f(0)，f(0)，f“(0) 以及极限17 18 设 a0， x10，19 试讨论函数 g(x)= 在点 x=0 处的连续性20 求函数 F(x)= 的间断点，并判断它们的类型21 求函数 f(x)= 的间断点并指出其类型22 已知 f(x)= 是连续函数，求 a，b 的值23 设 f(x)= 求 f(x)的间断点并判定其类型24 设函数 f(x)连续可导，且 f(0)=0，F(x)= 0xtn-1f(x“一 tn)dt，求25 设 f(x)= 为了使 f(x)对一切 x 都连续，求常数 a 的最小正值26 设 f(x)= 求 f(x)的间
5、断点，并说明间断点的类型，如是可去间断点，则补充或改变定义使它连续27 求 f(x)= 的连续区间、间断点并判别其类型28 设 f(x；t)= (x 一 1)(t 一 1)0，xt)，函数 f(x)由下列表达式确定，求出 f(x)的连续区间和间断点，并研究 f(x)在间断点处的左右极限29 设函数 f(x)在a，b上连续，x 1，x 2，x n，是a，b上一个点列，求30 设函数 f(x)在 0x1 时 f(x)=xsinx，其他的 x 满足关系式 f(x)+k=2f(x+1)，试求常数 k 使极限 存在31 设 f(x)对一切 x1，x 2 满足 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，并
6、且 f(x)在 x=0 处连续，证明：函数 f(x)在任意点 x0 处连续32 证明：区间(a，b)内单调函数 f(x)若有间断点，则它必为第一类间断点考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 ，当 b0 时，该极限为，于是，b=0，【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 D【试题解析】 因此，n=4【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 D【试题解析】 分母不为零，故 0；又 =0，故 k0【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)的表
7、达式可知 x=0，x=1 为其间断点故 x=1 是第一类间断点，x=0 是第二类间断点，选(D)【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 A【试题解析】 x=0 和 x=1 为 f(x)的间断点，其余点连续则 x=0 为可去间断点 因 x1 时，ln x=ln(1+x 一 1)x 一 1，则 x=1 为跳跃间断点选(A)【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 C【试题解析】 去掉绝对值符号，将 f(x)写成分段函数，【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 A【试题解析】 不妨设 f(x)单调增加，且|f(x)|M ，对任一点 x0(a，b) ，当 xx 0-时，f(x)随
8、着 x 增加而增加且有上界，故 存在；当 xx 0+时，f(x)随着 x 减小而减小且有下界，故 存在，故 x0 只能是第一类间断点【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 当 x一 1 时，【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 【试题解析】 当 x 时，【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 【试题解析】 因为【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 【知
9、识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 所以： 当 0 且 =一 1 时，有 g(00)=g(0+0)=g(0)=0，故 g(x)在 x=0 处连续； 当0 且 一 1 时，有 g(0 一 0)g(0+0)，故点 x=0 是 g(x)的跳跃间断点； 当 0时，点 x=0 是 g(x)的振荡间断点【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】
10、 对于函数 F(x)的分段点 x=0，因故 x=0 是函数F(x)的跳跃间断点当 x0 时，F(x)= 在 x=1 处没有定义，且极限不存在故 x=1 是函数 F(x)的振荡间断点，k=0，1，2，处没有定义，则这些点都是函数 F(x)的间断点特别对点 故是函数 F(x)的可去间断点；而点 xk=一 k 一 ，k=1 ，2，显然是函数F(x)的无穷间断点【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 显然 f(0)无意义当 x0 时，f(x)=则x=1 为跳跃间断点由于 f(x)是偶函数，则 x=一 1 也是跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 当 x=1 时，f(x)
11、= 当|x| 1 时，f(x)= 当 |x|1 时，f(x)=当 x=-1 时，f(x)=于是 f(x)= 只需讨论分界点处的连续性：【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 故 x=0 为可去间断点 则x=-1 为跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 令 xn 一 tn=u，则 F(x)=0xtn-1f(xn 一 tn)dt= 于是【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 又 f(1)=1，f(一 1)=一 1，所以由此可见，f(x)在(一，一 1，( 一 1，1)，1，+)内连续，故只需 f(x)在 x=一 1，x=1 两点连续即可因为【知识模块】 函
12、数、极限、连续26 【正确答案】 f(x)在(一 1，0)，(0，1)及(1，+)都是初等函数，是连续的f(0)无定义，故 x=0 是间断点因为，所以x=0 为跳跃间断点f(1)无定义，故 x=1 是间断点因为所以 x=1 为无穷间断点【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 f(x)无定义的点是使 1 一 x=0 和 ，即 x=1 和x=0，所以 f(x)的连续区间为(一，0) (0，1) (1，+)当 x0 时，所以 x=0 是无穷间断点【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 显然 x=1为间断点，连续区间(一，1)(1，+) 所以 x=1 为无穷间断点【知识模块】 函数
13、、极限、连续29 【正确答案】 本题考虑夹逼准则由 f(x)在a ，b上连续，知 ef(x)在a ，b 上非负连续，且 0me f(x)M，其中 M，m 分别为 ef(x)在a，b上的最大值和最小值，于是 故【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 因求“0 0”型未定式极限的常用方法是将该类幂指数函数 u(x)v(x)化为复合函数 ev(x)lnu(x)，故 其中，通过等价无穷小替换与洛必达法则求得：根据题设的关系式 f(x)=2f(x+1)一 k，得， 由上述结果 f(x)在x=0 处右极限 f(0+)=1；而其左极限【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 已知 f(x1
14、+x2)=f(x1)+f(x2)，令 x2=0，则 f(x1)=f(x1)+f(0)，可得 f(0)=0，又 f(x)在 x=0 处连续，则有 =f(0)=0，而 f(x0+x)一 f(x0)=f(x0)+f(x)一 f(x0)=f(x)，两边取极限得到 f(x0+x)一 f(x0)= =0，故函数 f(x)在任意点 x0 处连续【知识模块】 函数、极限、连续32 【正确答案】 不妨设 f(x)在(a ，b)内有定义，是单调递增的，x 0(a，b)是 f(x)的间断点再设 x(a，x 0)，则 xx 0，由单调递增性知： f(x)f(x 0)(为常数)即 f(x)在(a， x0)上单调递增有上界，它必定存在左极限：f(x 0-)= f(x0)，式中“” 处若取“一”号，则 f(x)在 x0 左连续，反之 f(x)在点 x0 为跳跃间断点，同理可证，当xx 0 时，单调增函数 f(x)存在右极限 f(x0+)f(x0)，f(x) 或在 x0 右连续、或点 x0 为跳跃间断点综合之，单调增函数 f(x)在间断点 x0 处的左、右极限都存在，故若x0 是 f(x)的间断点，则 x0 一定是 f(x)的第一类间断点同理可证 f(x)在(a ，b)内单调递减的情形【知识模块】 函数、极限、连续
