1、考研数学二（向量）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性无关，则( )（A） 1 可由 2， 3 线性表示（B） 4 可由 1， 2， 3 线性表示（C） 4 可由 1， 3 线性表示（D） 4 可由 1， 2 线性表示2 设向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则向量组( ) （A） 1 2， 2 3， 3 4， 4 1 线性无关（B） 1 2， 2 3， 3 4， 4 1 线性无关（C） 1 2， 2 3， 3 4， 4 1 线性无关（D） 1 2， 2 3， 3 4， 4 1 线
2、性无关3 向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是 ( )（A）向量组 1， 2， ， m， 线性无关（B）存在一组不全为零的常数 k1，k 2，k m，使得 k11k 22k mm0（C）向量组 1， 2， m 的维数大于其个数（D）向量组 1， 2， ， m 的任意一个部分向量组线性无关4 设向量组 1， 2， m 线性无关， 1 可由 1， 2， m 线性表示，但 2 不可由 1， 2， ， m 线性表示，则( )（A） 1， 2， m-1， 1 线性相关（B） 1， 2， m-1， 1， 2 线性相关（C） 1， 2， m， 1 2 线性相关（D） 1， 2， m， 1 2 线
3、性无关5 设 n 维列向量组 1， 2， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组1， 2， m 线性无关的充分必要条件是( )（A）向量组 1， 2， ， m 可由向量组 1， 2， ， m 线性表示（B）向量组 1， 2， m 可由向量组 1， 2， m 线性表示（C）向量组 1， 2， m 与向量组 1， 2， m 等价（D）矩阵 A( 1， 2， ， m)与矩阵 B( 1， 2， m)等价6 设 1， 2， 3 线性无关， 1 可由 1， 2， 3 线性表示， 2 不可由 1， 2， 3 线性表示，对任意的常数 k 有( )（A） 1， 2， 3，k 1 2 线性无关（B） 1， 2，
4、3，k 1 2 线性相关（C） 1， 2， 3， 1k 2 线性无关（D） 1， 2， 3， 1k 2 线性相关7 设 n 阶矩阵 A( 1， 2， n)，B( 1， 2， ， n)，AB( 1， 2， n)，记向量组()： 1， 2， ， n；()： 1， 2， n；()： 1， 2， n，若向量组() 线性相关，则 ( )（A）() ， ()都线性相关（B） ()线性相关（C） ()线性相关（D）() ， ()至少有一个线性相关8 设向量组() ： 1， 2， ， s 的秩为 r1，向量组()： 1， 2， s 的秩为r2，且向量组( )可由向量组( )线性表示，则( )（A） 1 1，
5、2 2， s s 的秩为 r1r 2（B）向量组 1 1， 2 2， s s 的秩为 r1r 2（C）向量组 1， 2， s， 1， 2， s 的秩为 r1r 2（D）向量组 1， 2， ， s， 1， 2， s 的秩为 r19 向量组 1， 2， s 线性无关的充要条件是( )（A） 1， 2， s 都不是零向量（B） 1， 2， s 中任意两个向量不成比例（C） 1， 2， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示（D） 1， 2， s 中有一个部分向量组线性无关10 设 A 为 n 阶矩阵，且A0，则 A( )（A）必有一列元素全为零（B）必有两行元素对应成比例（C）必有一列是其余列向量的
6、线性组合（D）任一列都是其余列向量的线性组合二、填空题11 设 线性相关，则 a_12 设向量组 1， 2， 3 线性无关，且 1a 24 3，2 1 2 3， 2 3 线性相关，则 a_ 13 设 ，且 ， 两两正交，则a_， b_ 14 设 A( 1， 2， 3， 4)为 4 阶方阵，且 AX0 的通解为 Xk(1，1，2，3)T，则 2 由 1， 3， 4 表示的表达式为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设向量组 1， 2， 3 线性无关，证明：1 2 3， 12 23 3， 14 29 3 线性无关16 设 1， m， 为 m1 个 n 维向量， 1 m(m1)
7、证明：若1， ， m 线性无关，则 1， m 线性无关17 设 1， 2， ， n(n2)线性无关，证明：当且仅当 n 为奇数时，1 2， 2 3， n 1 线性无关18 设 1， n 为 n 个 m 维向量，且 mn证明： 1， n 线性相关19 证明：若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关20 n 维列向量组 1， n-1 线性无关且与非零向量 正交证明： 1， n-1， 线性无关21 设向量组 1， n 为两两正交的非零向量组，证明： 1， n 线性无关，举例说明逆命题不成立22 设 A 为 nm 矩阵，B 为 mn 矩阵(mn) ，且 ABE证明：B 的列向量组
8、线性无关23 设 1， 2， ， m， 1， 2， n 线性无关，而向量组 1， 2， m， 线性相关证明：向量 ，可由向量组 1， 2， m， 1， 2， n 线性表示24 设向量组 线性相关，但任意两个向量线性无关求参数 t25 设 1， 2， ， n 为 n 个线性无关的 n 维向量，且与向量 正交证明：向量为零向量26 设 A 为 n 阶矩阵， 1， 2， 3 为 n 维列向量，其中 10，且A1 1，A 2 1 2，A 3 2 3，证明： 1， 2， 3 线性无关考研数学二（向量）模拟试卷 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】
9、 A【试题解析】 因为 2， 3， 4 线性无关，所以 2， 3 线性无关，又因为1， 2， 3 线性相关，所以 1 可由 2， 3 线性表示，选 A【知识模块】 向量2 【正确答案】 C【试题解析】 因为( 1 2)( 2 3)( 3 4)( 4 1)0， 所以1 2， 2 3， 3 4， 4 1 线性相关； 因为( 1 2)( 2 3)( 3 4)( 4 1)0， 所以 1 2， 2 3， 3 4， 4 1 线性相关； 因为( 1 2)( 2 3)( 3 4)( 4 1)0， 所以 1 2， 2 3， 3 4， 4 1 线性相关，容易通过证明向量组线性无关的定义法 得 1 2， 2 3，
10、3 4， 4 1 线性无关，选 C【知识模块】 向量3 【正确答案】 D【试题解析】 A 项不对，因为 1， 2， m， 线性无关可以保证1， 2， m 线性无关，但 1， 2， m 线性无关不能保证1， 2， m， 线性无关； B 项不对，因为 1， 2， m 线性无关可以保证对任意一组非零常数 k1，k 2，k m 有 k11k 22k mm0，但存在一组不全为零的常数 k1，k 2， ，k m 使得 k11k 22 k mm0 不能保证1， 2， m 线性无关； C 项不对，向量组 1， 2， m 线性无关不能得到其维数大于其个数，如 1 ， 2 线性无关，但其维数等于其个数，选D【知识
11、模块】 向量4 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A 不对，因为 1 可由向量组 1， 2， 3 线性表示，但不一定能被 1， 2， m-1 线性表示，所以 1， 2， m-1， 1 不一定线性相关； 选项 B 不对，因为 1， 2， m-1， 1 不一定线性相关， 2 不一定可由1， 2， m-1， 1 线性表示，所以 1， 2， m-1， 1， 2 不一定线性相关；选项 C 不对，因为 2 不可由 1， 2， m 线性表示，而 1 可由1， 2， m 线性表示，所以 1 2 不可由 1， 2， m 线性表示，于是1， 2， m， 1 2 线性无关，选 D【知识模块】 向量5 【正确答案】
12、 D【试题解析】 因为 1， 2， m 线性无关，所以向量组 1， 2， m 的秩为m，向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是其秩为 m，所以选 D【知识模块】 向量6 【正确答案】 A【试题解析】 因为 1 可由 1， 2， 3 线性表示， 2 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以 k1 2 一定不可以由向量组 1， 2， 3 线性表示，所以1， 2， 3，k 1 2 线性无关，选 A【知识模块】 向量7 【正确答案】 D【试题解析】 若 1， 2， n 线性无关， 1， 2， n 线性无关，则 r(A)n，r(B) n，于是 r(AB)n 因为 1， 2， n 线性相关，所以
13、r(AB)r( 1， 2， ， n)n ，故 1， 2， n，与 1， 2， n 至少有一个线性相关，选 D【知识模块】 向量8 【正确答案】 D【试题解析】 因为向量组 1， 2， s 可由向量组 1， 2， s 线性表示，所以向量组 1， 2， s 与向量组 1， 2， s， 1， 2， s 等价，选D【知识模块】 向量9 【正确答案】 C【试题解析】 若向量组 1， 2， s 线性无关，则其中任一向量都不可由其余向量线性表示，反之，若 1， 2， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示，则 1， 2， s 一定线性无关，因为若 1， 2， ， s 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向
14、量线性表示，故选 C【知识模块】 向量10 【正确答案】 C【试题解析】 因为A0，所以 r(A)n ，从而 A 的 n 个列向量线性相关，于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选 C【知识模块】 向量二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 1， 2， 3 线性相关的充分必要条件是 1， 2， 30，从而 A 【知识模块】 向量12 【正确答案】 5【试题解析】 ( 1a 24 3，2 1 2 3， 2 3)(1， 2， 3) ， 因为 1， 2， 3 线性无关，而 1a 24 3，2 1 2a 3， 2 3 线性相关，所以 解得 a5【知识模块】 向量13 【正确答案】 4；
15、13【试题解析】 因为 ， 正交，所以 解得a4，b 13【知识模块】 向量14 【正确答案】 2 12 33 4【试题解析】 因为(1，1，2，3) T 为 AXO 的解，所以 * 22 33 40，故 2 *2 33 4【知识模块】 向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 k1(1 2 3)k 2(12 23 3)k 3(14 29 3)0，即 (k1k 2k 3)1(k 12k 24k 3)2(k 13k 29k 3)30， 因为 1， 2， 3 线性无关，所以有 而 D (ij)20，由克拉默法则得 k1k 2k 30， 所以 1 2 3， 12
16、23 3， 14 29 3 线性无关【知识模块】 向量16 【正确答案】 令 k1( 1)k m( m)0，即 k 1(2 3 m)k m(1 2 m-1)0 或 (k 2k 3k m)1(k 1k 3k m)2 (k 1 k2k m-1)m0， 因为 1， m 线性无关，所以因为 (1) m-1(m1)0 ，所以 k1k m0，故 1， m 线性无关【知识模块】 向量17 【正确答案】 设 1， 2， n，使 1(1 2) 2(2 3) n(n 1)0，即 ( 1 n)1( 1 2)2( n-1 n)n0， 因为 1， 2， n 线性无关，所以有 该方程组系数行列式 D n1(1) n+1，
17、n 为奇数Dn 1 n0 1 2， 2 3， n 1 线性无关【知识模块】 向量18 【正确答案】 向量组 1， n 线性相关的充分必要条件是方程组11 nn0 有非零解，因为方程组 11 nn0 中变量有 n 个，约束条件最多有 m 个且 mn，所以方程组 11 nn0 一定有自由变量，即方程组有非零解，故向量组 1， n 线性相关【知识模块】 向量19 【正确答案】 设 1， n 为一个向量组，且 1， r(rn)线性相关，则存在不全为零的常数 k1，k r，使得 k11k rr，于是k11 k rr0 r+1 0 n0，因为 k1， kr，0，0 不全为零，所以1， ， n 线性相关【知
18、识模块】 向量20 【正确答案】 令 k0 k11k n-1n-10，由 1， n-1 与非零向量 正交及( ， k0k 11k n-1n-1)0 得 k0(，)0，因为 为非零向量，所以(，) 20 ，于是 k00 ，故 k11k -1n-1 0，由 1， n-1 线性无关得k1k n-10，于是 1， ， n-1， 线性无关【知识模块】 向量21 【正确答案】 令走 k11k nn0，由 1， n 两两正交及(1，k 11k nn)0，得 k1(1， 1)0，而( 1， 1) 1 20，于是k10，同理可证 k2k n0，故 1， n 线性无关 令 1 ， 2，显然 1， 2 线性无关，但
19、 1， 2 不正交【知识模块】 向量22 【正确答案】 首先 r(B)minm，n n，由 ABE 得 r(AB)n，而 r(AB)r(B)，所以 r(Bn，从而 r(B)n，于是 B；的列向量组线性无关【知识模块】 向量23 【正确答案】 因为向量组 1， 2， m， 1， 2， n 线性无关，所以向量组 1， 2， ， m 也线性无关，又向量组 1， 2， m， 线性相关，所以向量 可由向量组 1， 2， m 线性表示，从而 可由向量组1， 2， m， 1， 2， n 线性表示【知识模块】 向量24 【正确答案】 向量组 1， 2， 3 线性相关的充分必要条件是 1， 2， 30， 而 1
20、， 2， 3 (t 1)(t5)， 所以 t1 或者 t5，因为任意两个向量线性无关，所以 t5【知识模块】 向量25 【正确答案】 不妨设 0，令 k11k 22k nnk 00，上式两边左乘 T得 k 1T1k 2T2k nTnk 0T0 因为 1， 2， n 与 正交，所以k0T0，即 k0 20，从而 k00，于是 k11k 22k nn0，再由1， 2， n 线性无关，得走 k1k 2k n0，故 1， 2， n， 线性无关，矛盾(因为当向量的个数大于向量的维数时向量组一定线性相关)，所以 0【知识模块】 向量26 【正确答案】 由 A1 1 得(A E) 10； 由 A2 1 2 得(A E) 2 1；由A3 2 3 得(AE) 3 2， 令 k11k 22k 330， (1) (1)两边左乘 AE 得 k21 k32 0， (2) (2)两边左乘 AE 得 k310，因为 10，所以 k30，代入(2)、(1)得 k10， k20，故 1， 2， 3 线性无关【知识模块】 向量
