1、考研数学二（向量）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设有向量组 1=(1，-1 ，2，4)， 2=(0，3，1，2)， 3=(3，0，7，14)， 4=(1，-2，2，0) ， 5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 2， 5（D） 1， 2， 4， 52 设 A，B，A+B，A -1+B-1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1 等于（A）A -1+B-1（B） A+B（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -13 设向量 可由向量组 1， 2，.
2、， m 线性表示，但不能由向量组(I)：1， 2，.， m-1 线性表示，向量组(): 1， 2，.， m-1,，则（A） m 不能由 (I)线性表示，也不能由()线性表示（B） m 不能由(I)线性表示，也可能由()线性表示（C） m 可由(I)线性表示，也可由()线性表示（D） m 可由 (I)线性表示，也不可由()线性表示4 若向量组 ， ， 线性无关； ， ， 线性相关，则（A） 必可由卢，y，占线性表示（B） 必不可由 ， ， 线性表示（C） 必可由 ， 线性表示（D） 必不可由 ， ， 线性表示5 设向量组 1， 2， 3 线性无关，向量 1 可由 1， 2， 3 线性表示，而向量
3、 2 不能南 1， 2， 3 线性表示，则对于任意常数 k，必有（A） 1， 2， 3，k 1+2 线性无关（B） 1， 2， 3，k 1+2 线性相关（C） 1， 2， 3， 1+k2 线性无关（D） 1， 2， 3，k 1+k2 线性相关6 设 A，B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵，则必有（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关7 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则1
4、， A(1+2)线性无关的充分必要条件是（A） 10（B） 20（C） 1=0（D） 2=08 设 1， 2， ， s 均为 n 维列向量，A 是 m n 矩阵，下列选项正确的是（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s。线性相关（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关9 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是（A） 1-2， 2-3,3-1（B） 1+2， 2+3,3+1（C）
5、 1-22， 2-23,3-21（D） 1+22， 2+23,3+21二、填空题10 设矩阵 A 满足 A2+A-4 层=0，其中 E 为单位矩阵，则(A-E) -1=_.11 设 n 维向量 a=(a，0，0，a) T，a T B=E+1/aaaT . 其中 A 的逆矩阵为 B，则a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设向量组 1=(1，1，1，3) T， 2=(-1，-3，5，1) T， 3=(3，2，-1，P+2) T， 4=(-2，-6， 10，p) T12 p 为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量 =(4，1，6，10) T 用1， 2,3， 4 线性表
6、出.13 p 为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组14 设 4 维向量组 1=(1+，1，1，1) T， 2=(2，2+，2，2) T， 3=(3，3，3+，3)T， 4=(4，4，4，4+) T，问口为何值时， 1， 2， 3， 4 线性相关? 当1， 2， 3， 4 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出15 已知向量组(I)： 1， 2， 3；()： 1， 2， 3， 4；( )：1， 2， 3， 4， 5如果各向量组的秩分别为 r(I)=r(II)=3，r()=4证明向量组1， 2， 3， 5-4 的秩为 415 设 A
7、=E-T，其中层为 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量， T 是 的转置 证明：16 A2=A 的充要条件是 T=1；17 当 T=1 时， A 是不可逆矩阵考研数学二（向量）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 向量2 【正确答案】 C【知识模块】 向量3 【正确答案】 B【知识模块】 向量4 【正确答案】 C【知识模块】 向量5 【正确答案】 A【知识模块】 向量6 【正确答案】 A【知识模块】 向量7 【正确答案】 B【知识模块】 向量8 【正确答案】 A【知识模块】 向量9 【正确答案】 A【知识模块
8、】 向量二、填空题10 【正确答案】 1/2(A+2E)【知识模块】 向量11 【正确答案】 -1【知识模块】 向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 向量12 【正确答案】 对矩阵( 1， 2,3， 4 丨 )作初等行变换，有【知识模块】 向量13 【正确答案】 当 P=2 时，向量组 1， 2,3， 4 线性相关此时，向量组的秩等于 3 1， 2,3(或 l1,3， 4)为其一个极大线性无关组【试题解析】 对矩阵 A 作初等行变换得到矩阵 B，则 A 的列向量与 B 的列向量有相同的线性相关性，因此观察 B 的列向量就可判断 A 的列向量是否线性相关，亦可求出极
9、大线性无关组【知识模块】 向量14 【正确答案】 对( 1， 2， 3， 4)作初等行变换，有( 1， 2， 3， 4)=若 =0，则秩 r(1， 2， 3， 4)=1， 1， 2， 3， 4 线性相关极大线性无关组 1，且2=21， 3=31， 4=41若 0，则有( 1， 2， 3， 4)当 =-10 时， 1， 2， 3， 4 线性相关，极大线性无关组 2， 3， 4，且 1=-2-3-4【知识模块】 向量15 【正确答案】 因为 r(I)=r(II)=3，所以 1， 2， 3 线性无关，而 1， 2， 3， 4线性相关，因此 4 可由 1， 2， 3 线性表出，设为 4=l1+l2+l
10、3 若k11+k22+k33+k4(5-4)=0， 即(k 1-l1k4)1+(k2-l2k4)2+(k3-l3k44)3+k45=0， 由于r()=4，即 1， 2， 3， 5 线性无关故必有 解出 k4=0，k 3=0，k 2=0，k 1=0 于是 1， 2， 3， 5-4 的秩为 4【知识模块】 向量【知识模块】 向量16 【正确答案】 A 2=(E-T)(E-T)=E-2T+TT =E-T+(T)T-T=A+(T)T-T， 那么 A2=A(T-1)T=0 因为 是非零列向量， T0，故 A2=AT-1=0即 T=1【知识模块】 向量17 【正确答案】 反证法当 T=1 时，由(1) 知 A2=A，若 A 可逆，则 A=A -1A2=A-1A=E 与已知 A=E-TE 矛盾【知识模块】 向量
