1、考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 u=3x3 一 xy+xy2 在点 P(1，2)处沿 l=(一 11，一 3)方向的变化率为( )（A）最大（B）最小（C） 1（D）02 在曲线 x=t，y= 一 t2，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切向量( )（A）只有一条（B）只有 2 条（C）至少 3 条（D）不存在3 已知曲面 z=4 一 x2 一 y2 上点 P 处的切平面平行于平面 x+2y+z-1=0，则点 P 的坐标是( )（A）(1 ，一 1，2) （B） (一 1，1
2、，2)（C） (1，1，2)（D）(一 1，一 1，2) 4 设 1=(x，y，z)|x 2+y2+z2R2，z0， 2=(x， y，z)|x2+y2+z2R2， x0，y0，z0，则( )二、填空题5 函数 z=1 一(x 2+2y2)在点 处沿曲线 C：x 2+2y2=1 在该点的内法线方向n 的方向导数为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 计算 其中 D=(x，y)|x0，y07 设 f(x)在0，1上单调减少且 f(x)0，证明8 求由双曲线 xy=a2 与直线 (a0)所围成的面积 S9 求心形线 r=a(1+cos)与圆 r=2acos(a0)所围图形的面积 S
3、10 求抛物面 z=1+x2+y2 的一个切平面，使该切平面与抛物面及圆柱面(x 一 1)2+y2=1围成的立体的体积最小，并求出最小体积11 求球体 x2+y2+z2=4a2 被柱面 x2+y2=2ax(a0)所截得的含在圆柱面内的那部分立体的体积12 求位于两圆 r=2sin 和 r=4sin 之间的均匀薄片的质心13 求点有平面区域 的均匀薄片(面密度为 1)对 y 轴的转动惯量14 在椭球面 2x2+2y2+z2=1 上求一点，使得函数 f(x，y，z)=x 2+y2+z2 在该点沿方向l=(1，一 1，0)的方向导数最大15 求曲线 在点(1，1，2)处的切线方程与法平面方程16 求
4、曲面 x2+y2+z2=x 的切平面，使其垂直于平面 xyz=2 和17 求证曲面 z=x+f(y-z)上任一点处的切平面平行于某定直线18 计算 其中 是由三个坐标面及平面 x+2y+z=1 所围成的有界闭区域19 计算 其中 为 zx2+y2 与 x2+y2+z22 所围成的区域20 计算 其中 为 x2+y2+z21 所围成的区域21 设函数 f(x，y，z) 连续，且 f(x，y，z)= 其中区域求 f(x，y，z) 的表达式22 设 f(x)连续，证明23 计算24 设 f(x)连续， 其中 ：0zh，x 2+y2t2，25 求由不等式 与 x2+y2+(z 一 1)21 所确定的空
5、间区域的体积26 物体由曲面 坐标面 y=0 及 z=0 围成，其密度为 (x，y，z)=ycos(x+z)，求物体的质量 m27 有一半径为 R 的球体P 0 是此球面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 P0 距离的平方成正比 (比例常数 a0)，求球体的质心28 设物体由曲面 z=x2+y2 和 z=2x 所围成，其上各点的密度 等于该点到 xOy 平面的距离的平方试求该物体对 z 轴的转动惯量考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 即 grad u|p=(11，3)，与 l
6、=(一 11，一 3)的方向相反，故应选(B)【知识模块】 多元函数微积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 曲线 x=t，y=一 t2，z=t 3 在对应于参数 t=t0 的点处切向量为 m=(1，一 2t0， 3t02)，又平面 x+2y+z=4 的法向量为 n=(1，2，1)，依据题意由 mn，从而m.n=0，即 (1，一 2t0，3t 02).(1，2，1)=1 一 4t0+3t02=0，解得 t0=1，或 因此满足题意的切线有 2 条，应选(B)【知识模块】 多元函数微积分学3 【正确答案】 C【试题解析】 设切点为(x 0，y 0，z 0)，则切平面的法向量是(2x 0，2y 0，
7、1)，它与平面 x+2y+z 一 1=0 的法向量平行，故由 由此解得 x0=1，y 0=1，z 0=4 一x02 一 y02=2，故应选 C【知识模块】 多元函数微积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 由于 1 关于 yOz 平面和 zOx 平面都对称，应找被积函数关于 x 和y 的偶函数，故 其余三个选项中的被积函数都是分别关于x 或关于 y 轴奇函数，故 ，而 ，即(A)、(B)、(D)不正确【知识模块】 多元函数微积分学二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 令 F(x，y)=x 2+2y21，则曲线 C 在点 的法向量是【知识模块】 多元函数微积分学三、解答题解答应写出文字说明、
8、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学7 【正确答案】 由 f(x)0 知 01xf(x)dx0， 01f(x)dx0 从而为证明此不等式只须证 01xf2(x)dx01f(x)dx01f2(x)dx01xf(x)dx故令 I= 01f2(x)dx01xf(x)dx 一 01xf2(x)dx01f(x)dx =01xf(x)dx01f2(y)dy 一 01f(x)dx01yf2(y)dy其中 D=(x，y)|0x1，0y1由于 D关于 y=x 对称，则 以上两式相加，得由于 f(x)在0，1上单调减少且 f(x)0，所以当 yx 时 f(y)f(x)，因而 f(x
9、)f(y)(x-y)f(y)-f(x)0；当 yx 时 f(y)f(x)，因而 f(x)f(y)(x-y)f(y)-f(x)0故 2I0 即 I0，因此所要证明的不等式成立【知识模块】 多元函数微积分学8 【正确答案】 由 xy=a2 与 围成的平面区域记为 D，如图 517则由二重积分的几何意义知【知识模块】 多元函数微积分学9 【正确答案】 记心形线 r=a(1+cos)与圆 r=2acos 所围图形记为 D，如图 5-18，其中 x 轴上半部分记为 D1由二重积分的几何意义，有【知识模块】 多元函数微积分学10 【正确答案】 设切点为 M0(x0，y 0，1+x 02+y02)则抛物面在
10、点 M0 处的切平面方程为 2x 0(x 一 x0)+2y0(yy0)一z 一(1+x 02+y02)=0，即 z=2x0x+2y0y+(1 一 x02 一y02) 所求体积的立体是以此切平面为底，抛物面 z=1+x2+y2 为顶，(x 一 1)2+y2=1为侧面的柱体，所以由二重积分的几何意义知解方程组解得 x0=1，y 0=0又即 ACB20，A 0，故Vmin=V(1，0)= 此时切平面方程为 z=2x【知识模块】 多元函数微积分学11 【正确答案】 由于球体与圆柱面都关于 xOy 平面和 zOx 平面对称，所求立体也关于 xOy 平面和 zOx 平面对称，因此只求第一象限部分的体积再乘
11、 4 即可又所求立体在第一象限部分的立体是以 x2+y22ax 为底，z 轴为母线，以 z=为曲顶的曲顶柱体由二重积分的几何意义，有【知识模块】 多元函数微积分学12 【正确答案】 设质心为 由两圆 r=2sin 与 r=4sin 围成的平面区域记为D，如图 5 一 19 因为 D 关于 y 轴对称，易知 =0故所求均匀薄片的质心为【知识模块】 多元函数微积分学13 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答案】 于是问题为求函数 在条件 2x2+2y2+z2=1 下的条件极值问题【知识模块】 多元函数微积分学15 【正确答案】 给定的曲线在(1，1，2)处的切向量为故切线方程
12、为 法平面方程为(x-1)+(一 1)(y 一 1)=0，即 x 一 y=0【知识模块】 多元函数微积分学16 【正确答案】 设切点为 M0(x0，y 0，z 0)，令 F(x，y，z)=x 2+y2+z2 一 x，则切平面的法向量为 n=(Fx，F y，F z)M0=(2x0-1，2y 0，2z 0)，又已知【知识模块】 多元函数微积分学17 【正确答案】 任取曲面上一点(x 0，y 0，z 0)，该点处的切平面的法向量为 n=(1，f(y 0 一 z0)，一 1-f(y0 一 z0)显然 n.(1，1，1)=0 ，说明曲面上任一点处的切平面都平行于定直线【知识模块】 多元函数微积分学18
13、【正确答案】 将 看成 XY 型域，如图 61(a)， =(x，y，z)|0z1 一 x 一2y，(x ，y) Dxy其中 Dxy 如图 61(b)则【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 由于 关于 zOx 平面和 yOz 平面对称，且 (x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx，其中 2xy+2yz 关于 y 是奇函数，因而 (2xy+2yz)dxdydz=0又 2xy 关于 x 是奇函数，因而 因此【知识模块】 多元函数微积分学20 【正确答案】 由于 关于 xOy 平面对称且 e|z|关于 z 是偶函数，则(其中 1：x 2+y2+z21，z0)=201ez.
14、(1-z2)dz=2(01ezdz 一 01ez.z2dz)=2(ez|01 一 01z2dez)=2（e-1)一(z 2ez|0101ezdz2)=2(e1-e+201zdez)=2(-1+2zez|01-201ezdz=2-1+2e-2(e-1)=2【知识模块】 多元函数微积分学21 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学22 【正确答案】 左边= 0xdv0vdu0uf(t)dt，其中 0vdu0uf(t)dt=0vf(t)dttvdu =0vf(t)(v-t)dt 从而 左= 0xdv0vf(t)(v一 t)dt= =0xdttx(v-t)f(t)dv=0xf(t)dt(v-t)
15、dv= 0x(x-t)2f(t)dt=右【知识模块】 多元函数微积分学23 【正确答案】 即 为圆柱体 x2+y2=1 与 所围立体在第一卦限部分【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学25 【正确答案】 空间区域 如图 6-4则由 的特点，适合选用球坐标，x 2+y2+(z 一 1)2=1 的球坐标方程分别为r=1 ，r=2cos又 r=1 与 r=2cos 的交线方程为 2cos=1，即 故【知识模块】 多元函数微积分学26 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学27 【正确答案】 如图 65，建立直角坐标系，则 P0 的坐标为(R，0，0)则(x，y,z)= =a(xR)2+y2+z2【知识模块】 多元函数微积分学28 【正确答案】 易知 (x，y，z)=y 2又 =(x，y，z)|x 2+y2z2z【知识模块】 多元函数微积分学
