1、考研数学二（定积分及应用）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 双纽线( 2y 2)2 2y 2 所围成的区域面积可表示为 ( )（A）2 cos2d（B） 4 cos2d（C） 2（D） (cos)2d2 设 f()，g()在区间a， b上连续，且 g()f()m ，则由曲线 yg() ，yf()及直线 a，b 所围成的平面区域绕直线 ym 旋转一周所得旋转体体积为( )（A） ab2mf()g()f()g()d（B） ab2mf()g()f()g()d（C） abmf()g()f()g()d（D） abm f()g()f()g()d二、
2、填空题3 设 f()在0 ，1上连续，且 f() 01f()d，则 f()_4 设 f()Ci，)，广义积分， 1 f()d 收敛，且满足 f() f()d，则 f()_5 设 f() ，则 _6 设 f()二阶连续可导，且 f(0)1，f(2) 3，f(2) 5，则 01f(2)d _7 设 f() 则 -15f(1)d_8 _(其中 a 为常数) 9 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 计算11 设 f()在a，b上连续，且 f()0，证明：存在 (a，b)，使得 af()d bf()d12 设 f()在a，b上连续，证明： abf()d abf(ab)d13 设 f
3、()为连续函数，证明： (1) 0f(sin)d f(sin)d f(sin)d； (2)02(sin)d4 f(sin)d14 证明： sinncosnd2 -n sinnd15 设 f()连续，证明： 00tf(u)dudt 0f(t)(t)dt16 设 f()连续且关于 T 对称，aTb证明： abf()d2 Tbf()d a2T-bf()d17 设 f(a)f(b)0， abf2()d1，f()Ca ，b (1)求 abf()f()d； (2)证明：abf2()dab2f2()d 18 设 f()在区间 0，1上可导，f(1)2 2f()d证明：存在 (0，1) ，使得2f() f()
4、019 设 f()，g()在a，b 上连续，证明：存在 (a，b)，使得 f()bg()dg() a()d20 设 f(t)在0，上连续，在(0，) 内可导，且 0f()cosd 0f()sind0证明：存在 (0，) ，使得 f()021 设 f()在0，2上连续，在(0，2)内可导，f(0) f(2) 0，且f() 2证明： 02f()d222 设 f()在区间 a，b上二阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使得f()d (ba)f f()23 求曲线 ycos( )与 轴围成的区域绕 轴、y 轴形成的几何体体积24 求曲线 y 22 、y 0、1、3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕
5、y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V25 设 L：ye (0) (1)求由 ye 、 轴、y 轴及 a(a0)所围成平面区域绕 轴一周而得的旋转体的体积 V(a) (2)设 V(c) V(a)，求 c26 设 yf() 为区间0 ，1上的非负连续函数 (1)证明存在 c(0，1)，使得在区间0，c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c ，1上以 yf()为曲边的曲边梯形的面积； (2)设 f()在(0，1) 内可导，且 f() ，证明(1)中的 c 是唯一的27 求圆 2y 22y 内位于抛物线 y 2 上方部分的面积28 求双纽线( 2y 2)2a 2(2y 2)所围成的面积29 抛物线 y2
6、2 把圆 2 y28 分成两个部分，求左右两个部分的面积之比考研数学二（定积分及应用）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 双纽线( 2y 2)2 2y 2 的极坐标形式为 r2cos2，再根据对称性，有 A4 cos2d，选 A【知识模块】 定积分及应用2 【正确答案】 B【试题解析】 由元素法的思想，对，d a，b， dvm g()2mf() 2)d2mf()g()f()g()d ， 则 V abdv ab2mf()g()f()g()d，选 B【知识模块】 定积分及应用二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】
7、 令 01f()dk，则 两边积分得01f()d 01kd，即 k ，所以 k2( 1)，从而 f() 【知识模块】 定积分及应用4 【正确答案】 【试题解析】 令 1 f()dA，则由 f() f()d，得 A解得 A ，所以 f()【知识模块】 定积分及应用5 【正确答案】 e -11【试题解析】 【知识模块】 定积分及应用6 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 定积分及应用7 【正确答案】 ln3【试题解析】 -15f(1)d -15f(1)d(1) -24f()d -20f()d 04f()d【知识模块】 定积分及应用8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 定积分及应用9
8、 【正确答案】 3【试题解析】 【知识模块】 定积分及应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 1 为被积函数的无穷间断点，则【知识模块】 定积分及应用11 【正确答案】 令 g() af(t)dt bf(t)dt， 因为 f()在a，b上连续，且 f()0， 所以 g(a) abf(t)dt0，g(b) abf(t)dt0， 由零点定理，存在 (a，b)，使得 g()0 ，即 af()d bf()d【知识模块】 定积分及应用12 【正确答案】 abf()d abf(abt)(d) abf(abt)dt abf(ab)d【知识模块】 定积分及应用13 【正确答案
9、】 (1)令 I 0f(sin)d，则 I 0f(sin)d 0(t)f(sint)( dt) 0(t)f(sint)dt 0()f(sin)d 0f(sin)d 0f(sin)d 0f(sin)dI， 则 I (2)02f(sin)d -f(sin)d 2 0f(sin)d 2 0f(sin)d4 f(sin)d【知识模块】 定积分及应用14 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用15 【正确答案】 因为 0f(u)du，所以 00tf(u)dudt 0f(t)( t)dtC0，取 0 得 C00，故 00tf(u)dudt 0f(t)(tt)dt【知识模块】 定积分及应用16 【正确答案
10、】 由 f()关于 T 对称得 f(T) f(T)， 于是 T25-bf()dTbf(2Tu)(du) TbfT(uT)du TbfT(uT)du Tbf()d 得 Tbf()d T2T+bf()d0， 故 abf()d abf()d Tbf()d T2T-bf()d aTf()d Tbf() Tbf()d T2T-bf()d 2 Tbf()d a2T-bf()d【知识模块】 定积分及应用17 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用18 【正确答案】 令 () 2f()，由积分中值定理得 f(1)2 2f()dc 2f(c)，其中 c0， ，即 (c)(1)，显然 ()在区间0， 1上可导，
11、由罗尔中值定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 ()0而 ()2f()2 2f()，所以 2f() 2f()0，注意到 0，故 2f()f()0【知识模块】 定积分及应用19 【正确答案】 令 () af(t)dtbg(t)dt，显然 ()在a，b上可导，又 (a)(b)0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()0，而 ()f() bg(t)dtg() af(t)dt， 所以 f()bg()dg() af()d0，即 f()bg()dg() af()d【知识模块】 定积分及应用20 【正确答案】 令 F() 0f(t)sintdt，因为 F(0)F()0，所以存在 1(0，)，使得 F
12、(1) 0，即 f(1)sin10，又因为 sin10，所以 f(1)0 设 1 是 f()在(0，) 内唯一的零点，则当 (0，)且 1 时，有 sin( 1)f()恒正或恒负，于是0sin( 1)f()d0 而 0sin( 1)f()dcos 10f()sindsin 10f()cosd0，矛盾， 所以 f()在(0 ，)内至少有两个零点不妨设 f(1)f( 2)0， 1， 2(0，)且 1 2， 由罗尔中值定理，存在 (1， 2) (0，)，使得f()0 【知识模块】 定积分及应用21 【正确答案】 由微分中值定理得 f()f(0)f( 1)，其中 0 1，f()f(2)f( 1)(2)
13、，其中 22， 于是 从而 02f()d 02f()d 01f()d 12f() d 012d 1222(2)d 2【知识模块】 定积分及应用22 【正确答案】 令 F() af(t)dt，则 F()在a ，b上三阶连续可导，取0 ，由泰勒公式得 F(a) F( 0)F( 0)(a 0) (a 0)2 (a 0)3， 1(a， 0)， F(b)F( 0)F( 0)(b 0) (b 0)2(b 0)3， 2(0， b) 两式相减得 F(b)F(a)F( 0)(ba) F(1)F( 2)，即因为 f()在a，b上连续，所以存在 1， 2 (a，b)，使得 f() f( 1)f( 2)，从而【知识模
14、块】 定积分及应用23 【正确答案】 V 取， d0， ， dVy2cosd， 故 Vy【知识模块】 定积分及应用24 【正确答案】 区域面积为【知识模块】 定积分及应用25 【正确答案】 (1)V(a) 0ae2d (1e -2a) (2)由 V(c) (1e -2c)，解得 c ln2【知识模块】 定积分及应用26 【正确答案】 (1)S 1(c) cf(c)，S 2(c) c1f(t)dt 1cf(t)dt， 即证明 S1(c)S 2(c)，或 cf(c) 1cf(t)dt0 令 () 1f(t)dt，(0)(1)0， 根据罗尔定理，存在c(0，1)，使得 (c)0，即 cf(c) 1cf(t)dt0，所以 S1(c)S 2(c)，命题得证 (2)令 h()f() 1f(t)dt，因为 h()2f() f() 0，所以 h()在0，1上为单调函数，所以(1)中的 c 是唯一的【知识模块】 定积分及应用27 【正确答案】 由 所围成的面积为【知识模块】 定积分及应用28 【正确答案】 根据对称性，所求面积为第一卦限面积的 4 倍，令则双纽线的极坐标形式为 r2a 2cos2(0 )，第一卦限的面积为所求面积为A4A 1a 2【知识模块】 定积分及应用29 【正确答案】 设左边的面积为 S1，右边的面积为 S2，【知识模块】 定积分及应用
