1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )（A）矩阵 A 与单位矩阵 E 合同（B）矩阵 A 的特征值都是实数（C）存在可逆矩阵 P，使 PAP-1 为对角阵（D）存在正交阵 Q，使 QTAQ 为对角阵2 设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则( )（A）A 的 n 个特征值都是单值（B） A 是可逆矩阵（C） A 存在 n 个线性无关的特征向量（D）A 一定为 n 阶实对称矩阵3 设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A T，则 A 的线性无关特征向量个
2、数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）44 设 A，B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( ) （A）C TAC（B） A-1B -1（C） A*B *（D）AB二、填空题5 设 AB，其中 ，则_， y_6 设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 13， 2 35，且 13 对应的线性无关的特征向量为 1 ，则 2 35 对应的线性无关的特征向量为_7 设 ， 为三维非零列向量，(，) 3，A T，则 A 的特征值为_8 设 是矩阵 A 的特征向量，则 a_，b_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设 A 有三个线性无关的特征向量，求 ，y 满足的条
3、件10 设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 AkO证明：A 不可以对角化11 设 A 为三阶矩阵 Ai ii(i1，2，3) ， 1 ， 2 ， 3 ，求A12 设 为 A 的逆矩阵 A-1 的特征向量求 ，y，并求 A-1 对应的特征值 13 设 A ，A1， 为 A*的特征向量，求 A*的特征值 及 a，b，c 和 A 对应的特征值 14 设 AB， (1)求 a，b； (2)求可逆矩阵 P，使得 P-1APB 15 设 且 AB (1) 求 a； (2)求可逆矩阵 P，使得 P-1APB16 设 A 有三个线性无关的特征向量 (1)求 a； (2)求 A 的特征向量；(3
4、)求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角阵17 设 A，B 为 n 阶矩阵，EAE B且 A，B 都可相似对角化，证明：AB18 设 ，矩阵 A，B 是否相似?若 A，B 相似，求可逆矩阵 P，使得 P-1APB19 若 AB，证明：存在可逆矩阵 P，使得 AP BP20 设 A 有三个线性无关的特征向量，求 a 及 An21 设方程组 有无穷多个解， 为矩阵 A 的分别属于特征值11， 22， 31 的特征向量 (1)求 A； (2)求A 33E 22 设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX0 有非零解且 12 是A 的特征值，对应特征向量为(1，0，1) T (1)求
5、A 的其他特征值与特征向量； (2)求 A23 设 求 a，b 及正交矩阵 P，使得PTAPB24 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)r(B) n证明： A，B 有公共的特征向量25 设 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， n 是 n 维列向量，且 n0，若A1 2，A 2 3， An-1 n，A n0 (1)证明： 1， 2， n 线性无关；(2)求 A 的特征值与特征向量26 设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX0 的通解为设 ，求 A27 求 a，b 及可逆矩阵 P，使得 P-1APB28 设 A ，求 A 的特征值与特征向量，判断矩阵 A 是否可对角化，若可对角化，求
6、出可逆矩阵 P 及对角阵考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 根据实对称矩阵的性质，显然选项 B、C 、D 都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以 A 不一定与单位矩阵合同，选 A【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是其有 n 个线性无关的特征向量，A 有 n 个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样 A 是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A 可逆既非其可对角化的充分条件也非其可对
7、角化的必要条件，选 C【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ， 为非零向量，所以 A TO，则 r(A)1， 又因为 r(A)r( T)r()1，所以 r(A)1 令 AXX，由 A2X T.TXO 2X 得0， 因为 r(0EA)r(A)1，所以 A 的线性无关的特征向量个数为 3，应选C【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 D【试题解析】 显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为 A，B 正定，所以 A-1，B -1 及 A*，B *都是正定的，对任意 X0，X T(CTAC)X(CX) TA(CX)0(因为 C可逆，所以当 X0 时，C
8、X0)，于是 CTAC 为正定矩阵，同样用定义法可证 A-1B -1 与 A*B *都是正定矩阵，选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题5 【正确答案】 3；1【试题解析】 因为 AB，所以 ，解得3，y1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 【试题解析】 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令 2 35 对应的特征向量为 ， 由 1T 0 得 2 35 对应的线性无关的特征向量为【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 13， 2 30【试题解析】 因为 A23A，令 AXX，因为 A2X 2X，所以有( 23)X0，而 X0，故 A 的特征
9、值为 0 或者 3，因为 1 2 3tr(A)(，)，所以13， 2 30【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【正确答案】 2，3【试题解析】 由 A 得 解得 5，a 2，b3【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 由E A (1)(1) 20 得11， 2 31， 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，所以 r(EA)1， 由 EA 得 y0【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量10 【正确答案】 令 AXX(X0)，则有 AkX kX，因为 AkO ，所 kX0，注意 到 X0，故 k0，从而 0，即矩
10、阵 A 只有特征值 0 因为 r(OEA) r(A)1，所以方程组(OEA)X0 的基础解系至多含 n1 个线性 无关的解向量，故矩阵 A 不可对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 今 A 0，即 ， 解得 04，1 0，y9，根据一对逆矩阵的特征值互为倒数的性质知 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 因为 A*的特征向量也是 A 的特征向量，因为A 1，所以 a2，于是a2，b 3，c 2， 1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 (1)因为 AB，所以 A，B 有相同的特征
11、值， 1 22，因为 A相似于对角阵，所以 r(2EA) 一 1， 而 2EA于是 a5，再由 tr(A)tr(B) 得 b6 (2)由(2EA)0 得 2 对应的线性无关的特征向量为 由(6EA)X0 得 6 对应的线性无关的特征向量为 3 令 P，则 P-1APB 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 (1)因为 AB，所以 tr(A)tr(B) ，即 2a01(1)2，于是 a0 (2)由EA ( 1)( 1)(2)0 得A，B 的特征值为 11， 21， 32 当 1 时，由(E A)X0 即(EA)X0 得 1(0，1，1) T； 当 1 时，由(E A)X0 得
12、2(0，1，1) T； 当 2 时，(2EA)X0 得毒 3(1 ，0，0) T，取 P1 ，则 P 1-1AP1 当 1 时，由(E B)X0 即(E B)X 0 得1(0，1，2) T； 当 1 时，由(EB)X0 得 2(1，0，0) T； 当 2 时，由(2EB)X0 得 3(0，0，1) T，取 P2 ，则 P 1-1BP2 由 P1-1AP1P 2-1BP2 得(P 1P2-1)-1A(P1P2-1)B， 取 PP 1P2-1， 则 P-1APB【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量16 【正确答案】 (1)由EA (2)(1) 20 得矩阵 A 的特征值 因为 A 有三个线性无关的
13、特征向量，所以 A 可以相似对角化，从而r(E A)1， 由 EA 得 a1 (2)将2 代入(EA)X0，即(2EA)X0， 由 2EA得 2 对应的线性无关的特征向量为1 将 1 代入 (EA)X0，即(EA)X0， 由 EA 得 1 对应的线性无关的特征向量为【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案】 因为EAE B所以 A，B 有相同的特征值，设为1， 2， n，因为 AB 可相似对角化。所以存在可逆矩阵 P1，P 2，使得由 P1-1AP1P 2-1BP2 得(P 1P2-1)-1A(P1P2-1)B， 取 P1P2-1，则 P-1APB，即 AB【知识模块】 矩阵的特征
14、值和特征向量18 【正确答案】 由E A (1) 2(2)0 得 A的特征值为 12， 2 31； 由E B ( 1)2(2) 0 得 B 的特征值为 12， 2 31 由 EA 得 r(EA) 1，即 A 可相似对角化； 再由 EB得 r(EB) 1，即 B 可相似对角化，故 AB 由 2EA得 A 的属于 12 的线性无关特征向量为 A的属于 2 31 的线性无关的特征向量为 由 2EB得 B 的属于 12 的线性无关特征向量为B 的属于 2 31 的线性无关的特征向量为再令 PP 1P1-1 ，则 P-1APB【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】 因为 AB，所以存在可
15、逆阵 P，使得 P-1APB，即APPB， 于是 APPBPP -1P(BP)P -1，故 APBP 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 由E A 0，得1 21， 32 因为矩阵A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 一定可对角化，从而 r(EA) 1， 即a1，故 A 由 1 时，由(EA)X0，得由 2 时，由(2EA)X0，得 3 令P( 1， 2， 3) ，则 P-1AP ，两边 n 次幂得【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量21 【正确答案】 (1)因为方程组有无穷多个解，所以 D a 22a 10，解得 a 1 令 P( 1， 2， 3)(2)A2 ，A *对
16、应的特征值为 ，即 2，1，2，A *3E 对应的特征值为 5，2，1，所以A *3E10【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 (1)因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 ， 即 A有特征值 25，对应的特征向量为 又因为 AX0 有非零解，所以 r(A)3，从而 A 有特征值 0，设特征值 0 对应的特征向量为 ， 根据不同特征值对应的特征向量正交得 解得特征值 0 对应的特征向量为【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 因为 AB，所以 tr(A)tr(B) ，A B，即 ，解得 a1，b0，则 因为 AB，所以矩阵 A，B 的特征值都为 11， 20，
17、 36 当 1 时，由(EA)X0，得 1 当 0 时，由(0E A)X 0，得 2 当 6 时，由(6EA)X0，得 3再令 P( 1， 2， 3) ， 则有 PTAPB【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 因为 r(A)r(B) n，所以 r(A)n，r(B)n，于是 0 为 A，B公共的特征值， A 的属于特征值 0 的特征向量即为方程组 AX0 的非零解； B 的属于特征值 0 的特征向量即为方程组 BX0 的非零解， 因为 r(A)r(B)n，所以方程组 有非零解，即 A， B 有公共的特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25 【正确答案】 (1)令 11
18、22 nn0，则 1A1 2A2 nAn012 23 n-1n0 1A2 2A3 n-1An0 13 24 n-2n 0 1n0 因为 n0，所以 10，反推可得 2 n0，所以1， 2， n 线性无关 (2)A( 1， 2， n)一( 1， 2， n)令 P( 1， 2， n)， 则 P-1APB， 则 A 与 B 相似，由E B0 1 n0，即 A 的特征值全为零，又 r(A)n1，所以 AX 0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，而 An0 n(n0)，所以 A 的全部特征向量为 kn(k0)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量26 【正确答案】 因为 A 的每行元素之和为 5，所以
19、有 ， 即 A 有一个特征值为 15，其对应的特征向量为 1 ，A 15 1 又 AX0 的通解为， 则 r(A)1 2 30， 其对应的特征向量为，A 20，A 30 今 11 22 33，解得 18， 21， 32， 则 A8A 1A 22A 38A 140 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量27 【正确答案】 由E B0，得 11， 21， 32，因为 AB，所以A 的特征值为 11， 21， 32 由 tr(A) 1 2 3，得 a1，再由Ab 1232，得 b2， 即 A 由(EA)X0，得 1(1，1，0) T； 由(E A)X0，得 2(2，1，1) T； 由(2EA)X0，得
20、 3(2，1，0) T，由(EB)X0，得1(1，0， 1)T； 由(E B)X0，得 n2(1，0，0) T； 由(2E B)X 0，得3(8，3，4) T， 由 P1-1AP1P 2-1BP2，得(P 1P2-1)-1AP1P2-1B， 令 PP 1P2-1， 则 P-1APB【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量28 【正确答案】 EA 0， 得矩阵 A 的特征值为11a， 2a ， 31a (1) 当 1aa，1a1a，a1 a，即 a0 且 a 时，因为矩阵 A 有三个不同的特征值，所以 A 一定可以对角化 11a 时，由(1a)E AX0 得 1 ； 2a 时， 由(aE A)X0 得考2 ； 31a 时， 由(1 a)EAX0 得 3(2)当 a0 时，1 31，因为 r(EA)2，所以方程组(EA)X 一 0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可以对角化 (3)当 a 时， 1 2 ，因为r( EA) 2，所以方程组 ( EA)X0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故 A 不可以对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
