1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2+A=0若 A 的秩为 3，则 A 相似于二、填空题2 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，3，若行列式 2A =-48，则 =_.3 设 A，B 为 3 阶矩阵，且 A =3， B =2， A -1+B=2，则 A+B -1 =_.4 设 A 为 3 阶矩阵，A=3，A *为 A 的伴随矩阵若交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，则BA *=_5 若 a1，a 2，a 3， 1， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式
2、a 1，a 2，a 3， 1=m，a 1，a 2， 2，a 3=n ，则 4 阶行列式a 1，a 2，a 3， 1+2=6 设 A，B 均为 n 阶矩阵，A =2， B=-3 ，则2A *B-1=_7 若 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式B -1-E =_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1=(-1，2，-1) T， 2=(0，-1，1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解8 求 A 的特征值与特征向量；9 求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQ=
3、A9 设 A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且10 求 A 的所有特征值与特征向量；11 求矩阵 A12 设实对称矩阵 ，求可逆矩阵 P，使 P-1AP 为对角形矩阵，并计算行列式丨 A-E 丨的值13 设矩阵 ，已知线性方程组 Ax= 有解但不唯一试求：(1)a 的值；(2)正交矩阵 Q，使 QTAQ 为对角矩阵13 设三阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，2，3；矩阵 A 的属于特征值 1，2 的特征向量分别是 1=(-1，-1，1) T， 2=(1，-2，-1) T14 求 A 的属于特征值 3 的特征向量15 求矩阵 A15 设 A 为 3 阶实对称矩阵，且满足条件 A2+2A=
4、0，已知 A 的秩 r(A)=216 求 A 的全部特征值；17 当 k 为何值时，矩阵 A+kE 为正定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩阵考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题2 【正确答案】 -1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 3【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 -27【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量5 【正确答案】 n-m【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 -2 2n-1/3【
5、知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 24【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【正确答案】 因为 ，所以 3 是矩阵 A 的特征值，=(1 ，1，1) T是 A 属于 3 的特征向量又 A1=0=01，A 2=0=02，故 1， 2 是矩阵 A 属于 =0的特征向量 因此矩阵 A 的特征值是 3，0，0 =3 的特征向量为 k(1，1，1) T，其中 k0 为常数； =0 的特征向量为 k1(-1，2，-1) T+k2(0，-1，1) T，其中 k1，k 2 是不全为 0 的任意常数【知识模
6、块】 矩阵的特征值和特征向量9 【正确答案】 因为 1， 2 不正交，故要 Schmidt 正交化 1=1=(-1，2，-1) T，【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量10 【正确答案】 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 由 A(1， 2， 3)=(1，- 2，0)，有 A=(1，- 2，0)( 1， 2， 3)-1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 于是得到矩阵 A的特征值： 1=2=a+1， 3=a-2.【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 A( 1， 2， 3)=(1，2 2，3 3)因为 1， 2， 3 是不同特征值的特征向量，它们线性无关，于是矩阵（ 1， 2， 3）可逆。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量16 【正确答案】 于是得到矩阵 A 的特征值： 1=2=a+1， 3=a-2.【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案】 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
