1、考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 记行列式 为 f(x)，则方程 f(x)=0 的根的个数为( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。2 设 A 是任一 n(n3)阶方阵，A *是其伴随矩阵，又 k 为常数，且 k0，1，则必有(kA)*=( )（A）kA *。（B） kn1 A*。（C） knA*。（D）k 1 A*。3 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的一 1 倍加至到第 2 列得 C，记 P= ，则( )（A）C=P 1 AP。（B） C
2、=PAP1 。（C） C=PTAP。（D）C=PAP T。4 设向量组： 1， 2， r 可由向量组： 1， 2， s 线性表示。下列命题正确的是( )（A）若向量组线性无关，则 rs。（B）若向量组线性相关，则 rs。（C）若向量组线性无关，则 rs。（D）若向量组线性相关，则 rs。5 设 A，B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有( )（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关。（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关。（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。6 设 A，B 是可逆矩阵
3、，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是( )（A）A T 与 BT 相似。（B） A1 与 B1 相似。（C） A+AT 与 B+BT 相似。（D）A+A 1 与 B+B1 相似。7 设 A 为四阶实对称矩阵，且 A2+A=O，若 A 的秩为 3，则 A 相似于( )8 设矩阵 ，则 A 与 B( )（A）合同，且相似。（B）合同，但不相似。（C）不合同，但相似。（D）既不合同，也不相似。9 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=a(x12+x22+x32)+2x1x2+2x2x3+2x1x3 的正负惯性指数分别为1，2，则( )（A）a1。（B） a一 2。（C）一 2a1。（D）a=1
4、 或 a=一 2。二、填空题10 设 1， 2， 3 均为三维列向量，记矩阵 A=(1， 2， 3)，B=(1+2+3， 1+22+43， 1+32+93)，如果A=1，那么B=_。11 设 为三维列向量， T 是 的转置。若 T= ，则T=_。12 设矩阵 A= ，则 A3 的秩为_。13 矩阵 的非零特征值是_。14 若三阶矩阵 A 的特征值为 2，一 2，1，B=A 2 一 A+E，其中 E 为三阶单位阵，则行列式B=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设矩阵 A= ，矩阵 X 满足 A*X=A1 +2X，其中 A*是 A 的伴随矩阵，求矩阵 X。15 设向量组
5、1=(1，0，1) T， 2=(0，1，1) T， 3=(1，3，5) T 不能由向量组1=(1，1，1) T， 2=(1，2，3) T， 3=(3，4，a) T 线性表示。16 求 a 的值；17 将 1， 2， 3 用 1， 2， 3 线性表示。18 已知向量组具有相同的秩，且 3 可由 1， 2， 3 线性表出，求 a，b 的值。19 已知三阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c) ，a，b，c 不全为零，矩阵 B= (k为常数)，且 AB=O，求线性方程组 Ax=0 的通解。19 设 3 阶矩阵 A=(1， 2， 3)有 3 个不同的特征值，且 3=1+22。20 证明：r(A)=2；21
6、 设 =1+2+3，求方程组 Ax= 的通解。22 设有齐次线性方程组 试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。22 设 n 元线性方程组 Ax=b，其中23 证明行列式A=(n+1)a n；24 当 a 为何值时，该方程组有唯一解，并求 x1；25 当 a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。25 已知矩阵 A= 。26 求 A99；27 设三阶矩阵 B=(1， 2， 3)满足 B2=BA，记 B100=(1， 2， 3)，将 1， 2， 3 分别表示为 1， 2， 3 的线性组合。27 已知 A= ，二次型 f(x1，x 2，x 3)=xT(ATA)x 的秩为 2。28 求
7、实数 a 的值；29 求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形。考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 =(x 一 2)1 一(2x 一 2)1一 6(x 一 2)一(一 1)(x 一 7)=(一 x)(一 5x+5)=5x(x1)，故 f(x)=x(5x 一 5)=0 有两个根 x1=0，x 2=1，故应选 B。2 【正确答案】 B【试题解析】 对任何 n 阶矩阵都要成立的关系式，对特殊的 n 阶矩阵自然也要成立。那么，当 A 可逆时，由 A*=AA 1 ，有(kA) *=kA(kA
8、)1 =knA A1 =kn1 AA 1 =kn1 A*。故应选 B。一般地，若 A=(aij)mn，有 kA=(kaij)mn，那么矩阵 kA 的第 i 行 j 列元素的代数余子式为即kA中每个元素的代数余子式恰好是A相应元素的代数余子式的 kn1 倍，因此，按伴随矩阵的定义知(kA) *的元素是 A*对应元素的 kn1 倍。3 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可得 B= A，则 C=，而 P 1= ，则有C=PAP1 。故应选 B。4 【正确答案】 A【试题解析】 由向量组线性表出和线性相关性的性质可知，如果 1， 2， r线性无关，则有 rs。5 【正确答案】 A【试题解析】 由 A
9、B=O 知， B 的每一列均为 Ax=0 的解，而 B 为非零矩阵，即Ax=0 存在非零解，可见 A 的列向量组线性相关。 同理，由 AB=O 知，B TAT=O，于是有 BT 的列向量组线性相关，从而 B 的行向量组线性相关，故应选 A。6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A 与 B 相似，所以存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP=B，两边分别取逆和转置可得 P 1 A1 P=B1 ，P TAT(PT)1 =BT， 则 P1 (A+A1 )P=B+B1 ，由此可知唯一可能错误的选项是 C。7 【正确答案】 D【试题解析】 设 A 的特征值为 ，因为 A2+A=O，所以 2+=0。即 (+1
10、)=0 =0 或 =一 1。又因 r(A)=3，则 A 必可相似对角化，对角阵的秩也是 3。故=一 1 是三重特征根。因此 所以正确答案为 D。8 【正确答案】 B【试题解析】 方法一：由E 一 A=( 一 3)2=0 得 A 的特征值为 0，3，3，而B 的特征值为 0，1，1，从而 A 与 B 不相似。又 r(A)=r(B)=2，且 A，B 有相同的正惯性指数，因此 A 与 B 合同。故选 B。 方法二：因为 tr(A)=2+2+2=6，tr(B)=1+1=26，所以 A 与 B 不相似 (不满足相似的必要条件)。又E 一 A=( 一 3)2，E 一 B=( 一 1)2，A 与 B 是同阶
11、实对称矩阵，其秩相等，且有相同的正惯性指数，故 A 与 B 合同。9 【正确答案】 C【试题解析】 二次型矩阵为 A= ，则由E 一 A=(a+1) 2(a 一2)可知其特征值为 a 一 1，a 一 1，a+2，于是 a 一 10，a+2 0，即一 2a1，故选 C。二、填空题10 【正确答案】 2【试题解析】 方法一：由题干可知，B=( 1+2+3， 1+22+43， 1+32+93)=(1， 2， 3) ，于是，有B=A =12=2。方法二：利用行列式性质(在行列式中，把某行的各元素分别乘以非零常数加到另一行的对应元素上，行列式的值不变；从某一行或列中提取某一公因子行列式值不变)B = 1
12、+2+3， 1+22+43， 1+32+93 1+2+3， 2+33，2 2+83 1+2+3， 2+33，2 3=2 1 2 3， 233，2 3 2 1， 2， 3，又因为A= 1， 2， 3=1，故B =2 A =2 。11 【正确答案】 3【试题解析】 设 = ，则T= ， T=(a1，a 2，a 3) =a12a 22a 32。对比可知，a 12=a22=a32=1，故 T=3。12 【正确答案】 1【试题解析】 先将 A3 求出，然后利用定义判断其秩。13 【正确答案】 4【试题解析】 因为E 一 A=2( 一 4)，所以，非零特征值为 =4。14 【正确答案】 21【试题解析】
13、由于 A 的特征值为 2，一 2，1，所以 B=A2 一 A+E 的特征值为 22一 2+1=3，( 一 2)2 一(一 2)+1=7，1 2 一 1+1=1，故 =21 。 如果矩阵 B 与矩阵 A相似，也即存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP=B，则有 BP1 =P1 ，可见 仍为 B的特征值，对应的特征向量为 P1 。也就是说矩阵 B 与矩阵 A 的特征值相同，但特征向量不同。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 在等式 A*X=A1 +2X 两端左乘 A，并结合 AA*=A*A=AE 可得AX=AA 1 +2AX，即AX=E+2AX，所以(A E 一 2A
14、)X=E。根据矩阵可逆的定义可知，AE 一 2A，X 均可逆，故 X=(AE 一 2A)1 。又A=4，所以 X=(AE 一 2A)1 = 。16 【正确答案】 因为 1， 2， 3 不能由 1， 2， 3 线性表出，所以 1， 2， 3 必线性相关，于是 1， 2， 3=a 一 5=0，即 a=5。17 【正确答案】 对( 1， 2， 3， 1， 2， 3)进行初等行变换，则有(1， 2， 3， 1， 2， 3)=因此可得 1=21+42 一3， 2=1+22， 3=51+10223。18 【正确答案】 先求 r(1， 2， 3)，将矩阵作初等行变换，得( 1， 2， 3)=，知 r(1，
15、2， 3)=2。故r(1， 2， 3)=r(1， 2， 3)=2，( 1， 2， 3)作初等行变换( 1， 2， 3)=。因为 r(1， 2， 3)=2，所以 a=3b。又 3 可由1， 2， 3 线性表出，故 r(1， 2， 3， 3)=r(1， 2， 3)=2。将( 1， 2， 3， 3)作初等行变换 由r(1， 2， 3， 3)=2，得 3b (12b)=0，解得 b=5，及 a=3b=15。19 【正确答案】 由 AB=O 知，B 的每一列均为 Ax=0 的解，且 r(A)r(B)3 。若k9，则 r(B)=2，于是 r(A)1，又显然 r(A)1，故 r(A)=1。此时 Ax=0 的
16、基础解系所含解向量的个数为 3 一 r(A)=2，矩阵 B 的第一、第三列线性无关，可作为基础解系，故 Ax=0 的通解为： x= ，k 1，k 2 为任意常数。若 k=9，则 r(B)=1，从而 1r(A)2。当 r(A)=2 时，则 Ax=0 的通解为 x= ，k 1 为任意常数。当 r(A)=1 时，则 Ax=0 的同解方程组为 ax1bx 2cx 3=0，不妨设 a0，则其通解为 x= ，k 1，k 2 为任意常数。20 【正确答案】 因为 A 有三个不同的特征值，所以 A 至多只有 1 个零特征值，故r(A)2。又因为 3=1+22，所以矩阵 A 的列向量组线性相关，故 r(A)2。
17、从而r(A)=2。【试题解析】 矩阵有 3 个不同的特征值，说明矩阵至多只有 1 个零特征值，从而可得 r(A)2，再结合矩阵列向量组线性相关即可证明 r(A)=2；21 【正确答案】 由 r(A)=2 可知，齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系只有 1 个解向量。再由 3=1+22 可得， 1+22 一 3=0，从而可得 Ax=0 的基础解系为(1，2，一1)T。 由 =1+2+3 可得，Ax= 的特解为(1，1，1) T，所以 Ax= 的通解为k(1，2 ，一 1)T+(1，1，1) T，其中 kR。【试题解析】 求解非齐次线性方程组的通解关键在于找到基础解系及一个特解。22 【正确答案】
18、 对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换，有当 a=0 时，r(A)=14，故方程组有非零解，其同解方程组为 x1+x2+x3+x4=0。由此得基础解系为 1=(一1，1，0，0) T， 2=(一 1，0，1，0) T， 3=(一 1，0，0，1) T，所以所求方程组的通解为 x=k11+k22+k33，其中 k1，k 2，k 3 为任意常数。当 a0 时，当 a=一 10 时，r(A)=34，故方程组也有非零解，其同解方程组为 由此得基础解系为=(1，2，3，4) T，所以所求方程组的通解为 x=k，其中 k 为任意常数。【试题解析】 齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵不满秩，所以本题
19、先讨论系数矩阵的秩，可以通过求行列式或是对矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵进行讨论。23 【正确答案】 方法一：方法二：记 Dn=A，将其按第一列展开得 Dn=2aDn1 a 2Dn2 ，所以 Dn 一aDn1 =aDn1 一 a2Dn2 =a(Dn1 一 aDn2 )=a2(Dn2 一 aDn3 )=an2 (D2 一 aD1)=an，即 Dn=an+aDn1 =an+a(an1 +aDn2 )=2an+a2Dn2 =(n 一 2)an+an2 D2=(n 一 1)an+an1 D1=(n 一 1)an+an 12a=(n+1)a n。【试题解析】 将行列式化为上三角行列式进行计算，也可以运用
20、行列式按行及按列的展开定理，得到递推公式，再计算行列式。24 【正确答案】 因为方程组有唯一解，所以由 Ax=b 知A 0，又A=(n+1)an，故 a0。由克拉默法则，将 Dn 的第 1 列换成 b，得行列式为【试题解析】 运用克拉默法则。25 【正确答案】 方程组有无穷多解，由A=0，有 a=0，则方程组为此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 n一 1，所以方程组有无穷多解，其通解为 k(1，0，0，0) T+(0，1，0，0)T， k 为任意常数。【试题解析】 在A=0 的前提下，分别求出齐次线性方程组的基础解系及非齐次线性方程组的特解。26 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为E
21、A = =(+1)(+2)，则 A 的特征值为 1=一 1， 2=一 2， 3=0。解线性方程组( iEA)x=0(i=1，2， 3)可得特征值 1=一 1， 2=一 2， 3=0 对应的特征向量分别为1=(1， 1，0) T， 2=(1，2，0) T， 3=(3，2，2) T，令 P=(1， 2， 3)，则 P1 AP=，所以 A99= 。【试题解析】 求出矩阵 A 的相似对角化矩阵 ，则 A99= ，以此简化计算。27 【正确答案】 由 B2=BA 可知，B 3=B2A=BAA=BA2，依次类推，B 100=BA99，即(1， 2， 3)=(1， 2， 3) ，则 1=(2992)1+(2
22、100 一 2)2， 2=(1299)1+(12100)2， 3=(2298)1+(2299)2。【试题解析】 向量组间的线性表示，根据已知等式，可得 B100=BA99，以此得出线性表示式。28 【正确答案】 易知 ATA= ，因 r(ATA)=2 可得，=(a+1)2(a2+3)=0，可知 a=一 1。29 【正确答案】 由第一问可得 ATA= ，所以 f=xTATAx=(x1，x 2，x 3)=2x12+2x2x2+4x32+4x1x3+4x2x3，令矩阵 B= ，则E 一B= =( 一 2)( 一 6)=0。解得 B 矩阵的特征值为1=0； 2=2； 3=6。对于 1=0，解( 1EB)x=0 得对应的特征向量为 1= ；对于 2=2，解( 2E 一 B)x=0 得对应的特征向量为 2= ；对于 3=6，解( 3EB)x=0 得对应的特征向量为 3= 。将 1， 2， 3 单位化可得：令 x=Qy，则该二次型的标准形为2y12+6y22。
