1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A*)=1，则( )（A）r(A)=1（B） r(A)=2（C） r(A)=3（D）r(A)=42 设 1， 2， 3 线性无关， 1 可由 1， 2， 3 线性表示， 2 不可由 1， 2， 3 线性表示，对任意的常数 k 有( )（A） 1， 2， 3，k 1+2 线性无关（B） 1， 2， 3，k 1+2 线性相关（C） 1， 2， 3， 1+k2，线性无关（D） 1， 2， 3， 1+k2 线性相关3 设 A 是，n 阶矩阵，下列结论正确的是
2、( )（A）A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆（B） r(A)n，r(B)n 的充分必要条件是 r(AB)行（C） Ax=0 与 BX=0 同解的充分必要条件是 r(A)=r(B)（D）AB 的充分必要条件是 E-AE-B4 设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 XTAX 与 XTA-1X( )（A）规范形与标准形都不一定相同（B）规范形相同但标准形不一定相同（C）标准形相同但规范形不一定相同（D）规范形和标准形都相同二、填空题5 A2-B2=(A+B)(A-B)的充分必要条件是_6 设 A= ，则(A *)-1=_7 ，则 P12009P2-1=_8 设方程组 有解，则 1， 2
3、， 3， 4 满足的条件是_9 设二次型 2x12+x22+x3x2+2x1x2+ax2x3 的秩为 2，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 计算行列式11 设 A= ，且 AX+AE=A *+X，求 X11 设 A，B 为 n 阶矩阵，12 求 PQ；13 证明：当 P 可逆时，Q 也可逆14 设 1， n 为 n 个 m 维向量，且 m1， n 线性相关15 设 A 为 n 阶矩阵， 1， 2， 3 为 n 维列向量，其中 10，且A1=1，A 2=1+2，A 3=2+3，证明： 1， 2， 3 线性无关16 设 的三个解，求其通解16 设 n 阶矩阵 A=(
4、1， 2， n)的前 n-1 个列向量线性相关，后 n-1 个列向量线性无关， 且 1+22+(n-1) n-1=0，b= 1+2，+ n17 证明方程组 AX=b 有无穷多个解；18 求方程组 AX=b 的通解19 求矩阵 A= 的特征值与特征向量19 设向量 =(a1，a 2，a n)T，其中 a10，A= T20 求方程组 AX=0 的通解；21 求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量22 设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 Ak=0证明：A 不可以对角化22 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX，A 的主对角线上元素之和为 3，又 AB+B=O，其中
5、23 求正交变换 X=QY 将二次型化为标准形；24 求矩阵 A考研数学二（线性代数）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 r(A*)=1，所以 r(A)=4-1=3，选(C)【知识模块】 线性代数部分2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 1 可由 1， 2， 3 线性表示， 2 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以 k1+2 一定不可以由向量组 1， 2， 3 线性表示，所以 1， 2， 3，k 1+2线性无关，选(A)【知识模块】 线性代数部分3 【正确答案】 D【试题解析】 若 AB，则存在可逆矩
6、阵 P，使得 P-1AP=B， 于是 P-1(E-A)P=E-P-1AP=E-B，即 E-AE-B； 反之，若 E-AE-B，即存在可逆矩阵 P，使得P-1(E-A)P=E-B， 整理得 E-P-1AP=E=B，即 P-1AP=B，即 AB，应选(D)【知识模块】 线性代数部分4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 与 A-1 合同，所以 XTAX 与 XTA-1 规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选(B)【知识模块】 线性代数部分二、填空题5 【正确答案】 AB=BA【试题解析】 A 2-B2=(A+B)(A-B)=A2+BA-AB-B2 的充分必要条件是
7、 AB=BA【知识模块】 线性代数部分6 【正确答案】 【试题解析】 A=10，因为 A*=AA -1，所以 A*=10A-1，故(A *)-1=【知识模块】 线性代数部分7 【正确答案】 【试题解析】 P 1= =E23，因为 Eij-1=Eij，所以 Eij2=E，于是【知识模块】 线性代数部分8 【正确答案】 1+2+3+4=0【试题解析】 因为原方程组有解，所以 r(A)=r( )，于是 1+2+3+4=0【知识模块】 线性代数部分9 【正确答案】 【试题解析】 该二次型的矩阵为 A= ，因为该二次型的秩为 2，所以A=0，解得 a=【知识模块】 线性代数部分三、解答题解答应写出文字说
8、明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分11 【正确答案】 由 AX+AE=A *+X 得(A-E)X=A *-A E=A *-AA*=(E-A)A*，因为E-A =-30，所以 E-A 可逆，于是 X=-A*，由A=6 得 X=-6A-1，【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分12 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分13 【正确答案】 因为P=AB，所以当 P 可逆时，A B0，而PQ= A BE，即 =E，于是 Q 可逆且 Q-1=【知识模块】 线性代数部分14 【正确答案】 向量组 1， n 线性相关的充分必要条件是方程组x11+xnn=
9、0 有非零解，因为方程组 x11+xnn=0 中变量有 n 个，约束条件最多有 m 个且 m11+xnn=0 一定有自由变量，即方程组有非零解，故向量组1， ， n 线性相关【知识模块】 线性代数部分15 【正确答案】 由 A1=1 得(A-E) 1=0； 由 A2=1+2 得(A-E) 2=1；由A3=2+3 得(A-E) 3=2， 令 k11+k22+k33=0，(1) (1)两边左乘 A-E 得 k21+k32=0，(2) (2) 两边左乘 A-E 得 k31=0，因为 10，所以 k3=0，代入(2) 、(1)得 k1=0，k 2=0，故 1， 2， 3 线性无关【知识模块】 线性代数
10、部分16 【正确答案】 A= ，因为 A 有两行不成比例，所以 r(A)2，又原方程组有三个线性无关解，所以 4-r(A)+1=3，即 r(A)=2，于是原方程组的通解为k1(2-1)+k2(3-1)+1= (k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分17 【正确答案】 因为 r(A)=n-1，又 b=1+2+ n，所以 r( )=n-1，即 r(A)=r( )=n-1【知识模块】 线性代数部分18 【正确答案】 因为 1+22+(n-1) n-1=0，所以 1+22+(n-1) n-1+0n=0，即齐次线性方程组 AX=0 有基础解系 =(1，2，n-1
11、，0) T， 又因为b=1+2+ n，所以方程组 AX=b 有特解 =(1， 1，1) T， 故方程组 AX=b 的通解为 k+=k(1，2，n-1 ，0) T+(1，1，1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数部分19 【正确答案】 由E-A=(-1) 2(-4)=0 得 1=2=1， 3=4当 =1 时，由(E-A)X=0 得属于特征值 =1 的线性无关的特征向量为 1= ， 2= ，全部特征向量为 k11+k22(k1，k 2 不同时为 0)；当 =4 时，由(4E-A)X=0 得属于特征值 =4 的线性无关的特征向量为 3= ，全部特征向量为 k3(k0)【知识模块】 线性代数
12、部分【知识模块】 线性代数部分20 【正确答案】 因为 r(A)=1，所以 AX=0 的基础解系含有 n-1 个线性无关的特征向量，其基础解系为则方程组Ax=0 的通解为 k11+k22+kn-1n-1，r1(k 1，k 2，k n-1 为任意常数)【知识模块】 线性代数部分21 【正确答案】 因为 A2=kA，其中 k=(，)= ，所以 A 的非零特征值为k，因为 A=T=k，所以非零特征值 k 对应的线性无关的特征向量为 【知识模块】 线性代数部分22 【正确答案】 令 AX=X(X0)，则有 AkX=kX，因为 Ak=O，所以 kX=0，注意到 X0，故 k=0，从而 =0，即矩阵 A
13、只有特征值 0 因为 r(0E-A)=r(A)1，所以方程组(0E-A)X=0 的基础解系至多含 n-1 个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可对角化【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分23 【正确答案】 由 AB+B=O 得(E+A)B=O，从而 r(E+A)+r(B)3，因为 r(B)=2，所以 r(E+A)1，从而 =-1 为 A 的特征值且不低于 2 重，显然 =-1 不可能为三重特征值，则 A 的特征值为 1=2=-1， 3=5由(E+A)B=O 得 B 的列组为(E+A)X=O 的解，令 Q=(1， 2， 3)，则 f=XTAX -y12-y22+5y32【知识模块】 线性代数部分24 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分
