1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 26 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 方阵 R33O，而 PQ=O，则（A）t=6 时，必有秩 (P)=1（B） t=6 时，必有秩(P)=2 （C） t6 时，必有秩 (P)=1（D）t6 时，必有秩(P)=22 设非齐次线性方程组 Ax=b 有两个不同解 1 和 2，其导出组的一个基础解系为1， 2，c 1，c 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解为（A）c 11+c2(1+2)+ (1-2)（B） c11+c2(1-2)+ (1+2)（C） c11+c2(1+2)+ (1-2)（D）c 11+c2(
2、1-2)+ (1+2)3 设 1=(1，0 ，2) T 及 2=(0，1，-1) T 都是线性方程组 Ax=0 的解，则其系数矩阵A=4 设 A 为 mn 矩阵，则齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充要条件是 A 的（A）列向量组线性无关（B）列向量组线性相关（C）行向量组线性无关（D）行向量组线性相关5 设齐次线性方程组 的系数矩阵为 A且存在 3 阶方阵BO，使 AB=O，则（A）=-2 且B=0（B） =-2 且B0 （C） =1 且B =0（D）=1 且B0 6 设矩阵 Amn 的秩为 r(A)=mn，b 为任一 m 维列向量，则（A）线性方程组 Ax=b 必无解（B）线性方程组 A
3、x=b 必有唯一解（C）线性方程组 Ax=b 必有无穷多解（D）A 的任意 m 个列向量都线性无关7 设矩阵 Amn 的秩为 r，对于非齐次线性方程组 AX=b，（A）当 r=m 时，Ax=b 必有解（B）当 r=n 时，Ax=b 必有唯一解（C）当 m=n 时，Ax=b 必有唯一解（D）当 rn 时，Ax=b 必有无穷多解8 设 1， 2， 3 是 4 元非齐次线性方程组 Ax=b 的 3 个解向量，且秩(A)=3， 1=(1，2，3，4) T， 2+3=(0，1，2，3) T，c 表示任意常数，则线性方程组Ax=b 的通解 x=9 设 A 为 n 阶实矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，则对
4、于线性方程组()：Ax=0 和()：ATAx=0，必有（A）() 的解是 ()的解，()的解也是()的解（B） ()的解是( )的解，但( )的解不是()的解（C） ()的解不是( )的解，( )的解也不是()的解（D）() 的解是 ()的解，但()的解不是()的解10 设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A、B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题：若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩(A) 秩(B)；若秩(A)秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)；若秩(A)=秩(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解以
5、上命题中正确的是（A）（B） （C） （D）11 设 A 是，2 阶矩阵， 是 n 维列向量，且秩 =秩(A)，则线性方程组（A）Ax= 必有无穷多解（B） Ax= 必有唯一解（C） =0 仅有零解（D） =0 必有非零解12 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*O，若 1， 2， 3， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系（A）不存在（B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量（D）含有三个线性无关的解向量二、填空题13 设 其中 a1，a 2，a 3，a 4，a 5是两两不同的一组常数，则线性方程组 ATX=B 的解是_14
6、 若方程组 有解，则常数 a1，a 2，a 3，a 4 应满足的条件是_15 若 3 阶非零方阵 B 的每一列都是方程组 的解，则=_，B=_16 设 n 阶方阵 A 的各行元素之和均为零，且秩(A)=n-1，则齐次线性方程组 AX=0的通解为_.17 已知线性方程组 无解，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设向量 1=(1，0，2，3)， 2=(1，1，3，5) ， 3=(1，-1，a+2，1)，4=(1， 2，4， a+8)，=(1，1，b+3，5)问：a，b 为何值时， 不能用1， 2， 3， 4 线性表示； a，b 为何值时， 能用 1， 2， 3， 4
7、 线性表示，并写出该表达式19 问 a、b 为何值时，线性方程组 无解、有唯一解、有无穷多解? 并求有无穷多解时的通解20 为何值时，线性方程组 有解? 并求其全部解21 设 4 元线性方程组()为 又已知某齐次线性方程组()的通解为k1(0，1 ，1，0)+k 2(-1，2，2，1)(1)求线性方程组()的基础解系；(2)问线性方程组()和() 是否有非零公共解 ?若有，则求出所有的非零公共解.若没有，则说明理由22 已知线性方程组 的一个基础解系为：(b11，b 12，b 1,2n)T，(b 21，b 22，b 2,2n)T，(b n1，b n2，b n,2n)T试写出线性方程组 的通解，
8、并说明理由23 设 1， 2， ， s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，1=t11+t22， 2=t12+t23， s=t11+t21，其中 t1，t 2 为实常数试问 t1，t 2 满足什么关系时， 1， 2， ， m 也为 AX=0 的一个基础解系.24 设有 3 维列向量 问 取何值时(1) 可由 1， 2， 3 线性表示且表达式唯一 ?(2) 可由 1， 2， 3 线性表示，但表达式不唯一?(3) 不能由 1， 2， 3 线性表示?25 已知线性方程组 (1)a、b 为何值时，方程组有解?(2)当方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系(3)当方程组有解时，求出方程组的全
9、部解26 k 为何值时，线性方程组 有唯一解、无解、有无穷多组解?在有解情况下，求出其全部解27 设有线性方程组 (1)证明：当 a1，a 2，a 3，a 4 两两不等时，此方程组无解；(2)设 a1=a3=k，a=a=-k(k0) 时，方程组有解 1=(-1，1，1)T， 2=(1，1，-1) T，写出此方程组的通解28 设矩阵 A、B 的行数都是 m证明：矩阵方程 AX=B 有解的充分必要条件是r(A)=r(AB)29 设矩阵 X=(xij)33 为未知矩阵，问a、b、c 各取何值时，矩阵方程 AX=B 有解?并在有解时，求出其全部解30 已知齐次线性方程组 其中 ai0，试讨论 a1，a
10、 2，a n 和 b 满足何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解在有非零解时，求此方程组的一个基础解系31 设 A 为 n 阶方阵(n2)，A *为 A 的伴随矩阵，证明：32 设 1=(1， 2，0) T， 2=(1，a+2，-3a) T， 3=(-1，-b-2，a+2b) T，=(1 ，3，-3) T，试讨论当 a， b 为何值时， () 不能由 1， 2， 3 线性表示； () 可由1， 2， 3 惟一地线性表示，并求出表示式； () 可由 1， 2， 3 线性表示，但表示式不惟一，并求表示式33 已知(1 ，-1，1，-1) T 是线性方程组 的一个解，试求(1)该方程
11、组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；(2)该方程组满足 x2=x3 的全部分34 已知齐次线性方程组同解，求a，b，c 的值考研数学二（线性方程组）模拟试卷 26 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 当 t6 时，秩(Q)=2，且由 PQ=0 知 Q 的每一列都是方程组 PX=0 的解，故 PX=0 至少有 2 个线性无关的解， 基础解系所含向量个数 3-秩(P)2 ，秩(P)1；又 PO，有秩 (P)1，故此时必有秩(P)=1 【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 B【试题解析】 因 1， 1-2
12、 是与基础解系 1， 2 等价的线性无关向量组，故1， 1-2 也是 Ax=0 的基础解系，又由 (A1+A2)= (B+B)=b 知(1+2)是 Ax=B 的一个解，由解的结构即知(B)正确【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 A【试题解析】 由条件知 Ax=0 至少有两个线性无关解，因此其基础解系所含向量个数至少为 2，即 3-r(A)2， r(A)1，故只有(A)正确【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 A【试题解析】 设 A 按列分块为 A=1， 2， n，则方程组 Ax=0 的向量形式是 x11+x22+xnn=0，由此可知 Ax=0 仅有零解 x11+x22+xnn=0，仅
13、在x1=x2=xn=0 时成立 向量组 1， 2， n 线性无关【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 C【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 C【试题解析】 注意增广矩阵只有 m 行，其秩不会大于 m，故由 m=r(A)tA bm， r(A)=r(Ab)=mn，所以，Ax=b 有无穷多解【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 A【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 C【试题解析】 由 Ax=b 的解的结构知关键在于求出 Ax=0 的基础解系，由于 Ax=0的基础解系所含解向量个数为 4-秩(A)=4-3=1，因此 Ax=0 的任意一个非零解都可作为 Ax=0 的基础解系易知 =2
14、1-(2+3)=(2，3，4，5) T 是 Ax=0 的一个非零解，故 可作为 Ax=0 的基础解系，所以，Ax=b 的通解为 x=1+c只有选项(C) 正确【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 A【试题解析】 若 x 满足 Ax=0，两端左乘 AT，得 ATx=0，故 Ax=0 的解都是ATAx=0 的解；若 x 满足 ATAx=0，两端左乘 xT，得 (xTAT)(Ax)=0，即(Ax) T(Ax)=0，或Ax 2=0，得 Ax=0，所以 ATAx=0 的解也都是 Ax=0 的解因此()与()同解，只有选项(A) 正确.【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 B【试题解析】 若 A
15、x=0 的解均是 Bx=0 的解，则 Ax=0 的解空间是 Bx=0 的解空间的子空间，从而有 n-r(A)n-r(B)， r(A)r(B)当 Ax=0 与 Bx=0 同解时，还有r(B)r(A)，从而有 r(A)=r(B)，因此，与正确【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 D【试题解析】 注意选项(D)中的方程组是 n+1 元方程组，而其系统矩阵的秩等于Ann 的秩，它最大是 n，必小于 n+1，因而该齐次线性方程组必有非零解【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 B【试题解析】 由 A*O 知 A*至少有一个元素 Aij=(-1)i+jMij0，故 A 的余子式Mij0，而 Mi
16、j 为 A 的 n-1 阶子式，故 r(A)n-1，又由 Ax=b 有解且不唯一知 r(A)n，故 r(A)=n-1因此，Ax=0 的基础解系所含向量个数为 n-r(A)=n-(n-1)=1，只有(B)正确【知识模块】 线性方程组二、填空题13 【正确答案】 (1，0，0，0，0) T【试题解析】 由于方程组的系数行列式A T=A = (ai-aj)0，故方程组有唯一解，利用 Gramer 法则( 或用观察法)易求出这个唯一解为x=(1，0，0，0，0) T【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 a 1+a2+a3+a4=0【试题解析】 对方程组的增广矩阵施行初等行变换：由阶梯形矩阵 B
17、及方程组 Ax=b 有解判定定理知，方程组有解 a1+a2+a3+a4=0【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 1；0【试题解析】 由条件知方程组有非零解，故其系数行列式A= =5(-1)=0，故 =1又由条件知 AB=O，若B0，则B 可逆，用 B-1 右乘 AB=O 两端得 A=O，这与 AO 矛盾，故B=0【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 x=k ，其中 k 作为任意常数【试题解析】 n 元齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系所含向量个数为 n-r(A)=n-(n-1)=1，故 Ax=0 的任一非零解都可作为它的基础解系由 A=(aij)nn 的元素满足aij=0(i=1
18、， 2，n) 知 Ax=0 有解 =(1，1，1) T，故 可作为 Ax=0 的基础解系，从而得方程组的通解为 x=k，其中 k 作为任意常数【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 -1【试题解析】 A ，当 a3 且 a-1 时有唯一解；当 a=3 时，秩(A)=秩 =23，有无穷多解；当 a=-1 时，秩(A)=2，秩=3，故无解【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 当 a=-1，b0 时， 不能用 1， 2， 3， 4 线性表示；当 a-1 时，有唯一的线性表示：= 3+04；当 a=-1，b=0 时，有 =(-2c1+c2)1
19、+(1+c1-2c2)2+c13+c24(c1，c 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 当 a1 时有唯一解；当 a=1 且 b-1 时，无解；当 a=1 且 b=-1 时，通解为 x1=-1+c1+c2，x 2=1-2x1-2x2，x 1=c2，x 4=c2 (c1，c 2 为任意常数)或【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 当 1 时无解；当 =1 时，通解为 x1=1-c，x 2=-1+2c，x 3=c.(c 为任意常数)【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 (1)由系数矩阵的初等行变换：A=(x3，x 4 任意)，令 x3=1，x 4=0，得 1=(
20、0，0，1，0) T；令 x3=0，x 4=1，得 2=(-1，1，0，1) T，则 1， 2 就是( )的一个基础解系 (2)若 x 是() 和()的公共解，则存在常数 1， 2， 3， 4，使由此得 1， 2， 3， 4 满足齐次线性方程组 解此齐次线性方程组，得其参数形式的通解为 1=C， 2=C， 3=-C， 4=C，其中 C 为任意常数故()和()有非零公共解，全部非零公共解为 C(0，0，10) T+C(-1，1，0，1) T=C(-1，1，1，1) T，其中 C 为任意非零常数【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 记方程组()、() 的系数矩阵分别为 A、B，则可以看出题给
21、的()的基础解系中的 n 个向量就是 B 的 n 个行向量的转置向量因此，由()的基础解系可知 AB T=O 转置即得 BAT=O 因此可知 AT 的 n 个列向量即 A 的 n 个行向量的转置向量都是方程组()的解向量 由于 B 的秩为 n(B 的行向量组线性无关)，故 ()的解空间的维数为 2n-r(B)=2n-n=n，所以()的任何 n 个线性无关的解就是( )的一个基础解系已知() 的基础解系含 n 个向量，即 2n-r(A)=n，故 r(A)=n，于是可知 A 的 n 个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成()的一个基础解系，因此() 的通解为 y=c 1(a11，a 12，a 1
22、,2n)T+c2(a21，a 22，a 2,2n)T+c(an1，a n2，a n,2n)T 其中 c1，c 2，c n 为任意常数【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 由 Ax=0 的解的线性组合都是解知， 1， 2， s 都是 Ax=0 的解向量由于已知 Ax=0 的基础解系含 s 个向量，所以，只要 1， 2， s 线性无关就可作为基础解系，否则不能作为基础解系由于 1， 2， s 由线性无关向量组 1， 2， s 线性表示的系数矩阵为 s 阶方阵故 1， 2， s 线性无关 P =t 1s+(-1)1-st2a0，即当 t1，t 2 满足 t1a+(-1)1+st2a0(s 为偶
23、数时，t 1t2；s 为奇数时，t 1-t2)时，1， 2， s 也是 Ax=0 的一个基础解系【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 (1)0 且 -3；(2)=1 ；(3)=-3【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 (1)a=1，b=3；(2) 1=(1，-2 ，1，0，0) T， 2=(1，-2，0，1，0)T， 3=(5，-6，00，1) T；(3)(-2，3，0，0，0) T+c1(1，-2，1，0，0) T+c2(1，-2，01，0) T+c3(5，-6，0，0，1) T，其中 c1，c 2，c 3 为任意常数【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 (1)当 k-1
24、且 k4 时，有唯一解：(2)当 k=-1 时，方程组无解；(3) 当 k=4时，有无穷多解，通解为 x=(0，4，0) T+c(-3，-1，1) T【知识模块】 线性方程组27 【正确答案】 (1)此时，增广矩阵的行列式是一个 4 阶范德蒙行列式，不等于零，故 =4，而 r(A)3故方程组无解；(2)r(A)= =23，方程组有无穷多解导出组 Ax=0 的基础解系含 3-r(A)=3-2=1 个解向量可取其基础解系为 1-2=(-2， 0，-2) T故此方程组的通解为 x=1+c(1-2)(-1，1，1) T+c(-2，0，2) T【知识模块】 线性方程组28 【正确答案】 设 B、X 按列
25、分块分别为 B=b1，b 2，b m，X=x1，x 2，x p，则 Ax=B 即Ax 1，Ax 2， Axp=b1，b 2，b p，故Ax=B 有解 线性方程组 Axj=bj(j=1，2，p)有解，由非齐次线性方程组有解的充要条件，即得 AX=B 有解 r(A)=rAbj(j=1，2，p) A 的列向量组的极大无关组也是矩阵A bj(j=1，2，p)的列向量组的极大无关组 r(A)=rA b1 b2 bp=r(AB)【知识模块】 线性方程组29 【正确答案】 由下列矩阵的初等行变换：可见，r(A)=rAB a=1，b=2 ，c=1 ，于是由上题知 Ax=B 有解a=1，b=2，c=1此时，对矩
26、阵 D 作初等行变换：于是若将矩阵 B 按列分块为 B=b1，b 2，b 3，则得方程组 Ax=b1 的通解为： 1=(1-l，-l ，l) T；方程组 Ax=b2的通解为： 2=(2-m，2-m，m) T；方程组 Ax=b3 的通解为： 3=(1-n，-1-n，n) T，所以，矩阵方程 Ax=B 的通解为 x=1， 2， 3= ，其中l，m，n 为任意常数【知识模块】 线性方程组30 【正确答案】 方程组的系数行列式A=b n-1(b+ ai)，故当A0，即 b0且 b+ ai0 时，方程组只有零解当 b=0 或 b+ ai=0 时，方程组有非零解当b=0 时，设 a10，由系统矩阵 A 的
27、初等行变换：得方程组的基础解系可取为：当 b+ ai=0 时，有 b= ai0，由系数矩阵的初等行变换：由此得方程组的用自由未知量表示的通解为：x 2=x1，x 3=x1，x n=x1(x1 任意)，令自由未知量 x1=1，则方程组的基础解系可取为 =(1，1， ，1) T【知识模块】 线性方程组31 【正确答案】 当秩(A)=n 时，A *=A n-10，故秩(A *)=n当秩(A)=n-1 时，A=0 且 A 中至少有某个元素的代数余子式不等于零， A*O， 秩(A *)1，再由 A*A=AE=0 知，A 的列向量均为方程组 A*x=0 的解向量， n-秩(A *)秩(A)=n-1， 秩(
28、A *)1，综合前已证过的秩(A *)1，得秩(A *)=1若秩(A)n-2，则A 的每个元素的代数余子式都为零， A*=O， 秩(A *)=0【知识模块】 线性方程组32 【正确答案】 设有一组数 x1，x 2，x 3，使得 x11+x22+x33= (*)对方程组(*)的增广矩阵施行初等行变换：(1)当 a=0，b 为任意常数时，有 可知 r(A) ，故方程组(*)无解， 不能由1， 2， 3 线性表示(2)当 a0，且 ab 时，r(A)= =3，方程组(*)有唯一解：x1=1- ，x 2= ，x 3=0故此时 可由 1， 2， 3 唯一地线性表示为：=(1- )1+ 2(3)当 a=b
29、0 时，对 施行初等行变换： 可知r(A)= =2，故方程组(*)有无穷多解，通解为：x 1=1- ，x 2= +c， 3=c，其中 c 为任意常数故此时 可由 1， 2， 3 线性表示，但表示式不唯一，其表示式为=(1- )1+( +c)2+3【知识模块】 线性方程组33 【正确答案】 将解向量 x=(1，-1 ，1，-1) T 代入方程组，得 =对方程组的增广矩阵施行初等行变换：(1)当 时，有 因 r(A)= =34故方程组有无穷多解，全部解为 x=(0， ，0) T+k(-2，1，-1，2) T，其中 k 为任意常数因 r(A)= =24，故方程组有无穷多解，全部解为 x=( ，1，0
30、，0) T+k1(1，-3，1，0) T+k2(-1，-2，0，2) T，其中 k1，k 2 为任意常数.(2)当 时，由于 x2=x3，即，故此时，方程组的解为 x=(-2，1，-1，2) T=(-1，0，0， 1)T当 = 时，由于 x2=x3，即1-3k1=2k2=k1，解得 2= -2k1故此时全部解为 x=( ，1，0，0) T+k1(1，-3，1，0)T+( -2k1)(-1， -2，0，2)T=(-1，0，0，1) T+k1(3，1，1，-4) T【知识模块】 线性方程组34 【正确答案】 方程组()的未知量个数大于方程的个数，故方程组()有无穷多个解因为方程组() 与( ) 同
31、解，所以方程组( )的系数矩阵的秩小于 3由此得a=2 此时，方程组()的系数矩阵可通过初等行变换化为由此得(-1，-1，1) T是方程组()的一个基础解系将 x1=-1，x 2=-1， x3=1 代入方程组()可得b=1，c=2 或 b=0，c=1当 b=1，x=2 时，对方程组()的系数矩阵施以初等行变换，有比较(1)式与 (2)式右边的矩阵可知，此时方程组 ()与( )同解当 b=0，c=1 时，方程组() 的系数矩阵可通过初等行变换化为比较(1)与(3)右边的矩阵可知，此时方程组()与() 的解不相同综上所述，当 a=2，b=1，c=2 时，方程组() 与 ()同解【知识模块】 线性方程组
