1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 I= f(tx)dx，其中 f(x)连续，s 0，t0，则 I 的值（A）依赖于 s，t（B）依赖于 st，x（C）依赖于 t，x，不依赖于 s（D）依赖于 s 不依赖于 t2 设 f(x)与 g(x)在( 一，+)上皆可导，且 f(x)g(x)，则必有（A）f(一 x)g(一 x)（B） f(x)g(x)（C）（D） 0xf(t)dt 0xg(t)dt3 由曲线 y= (0x)与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体体积为4 曲线 y= 与 x 轴所围成的
2、图形，绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积为（A）（B） （C）（D） 25 设函数 f(x)在(一，+)上连续，则 df(x)dx等于（A）f(x)（B） f(x)dx（C） f(x)+C（D）f(x)dx6 设 f(x)是连续函数，且 F(x)= f(t)dt，则 F(x)等于（A）一 e 一 xf(e 一 x)一 f(x)（B）一 e 一 xf(e 一 x)+f(x)（C） e 一 xf(e 一 x) 一 f(x)（D）e 一 xf(e 一 x)+f(x)二、填空题7 f(x)dx=_， abf(2x)dx=_8 积分中值定理的条件是_，结论是_9 =_10 设 f(x)连续，且 f(t)
3、dt=x，则 f(7)=_11 0tsintdt=_12 曲线 y=0x(t 一 1)(t 一 2)dt 在点(0，0)处的切线方程是 _13 设 f(x)是连续函数，且 f(x)=x+201f(t)dt，则 f(x)=_14 =_15 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 求 (a，b 是不全为零的非负常数 )17 求 01xarcsinxdx18 求过曲线 y=一 x2+1 上的一点，使过该点的切线与这条曲线及 x，y 轴在第一象限围成图形的面积最小，最小面积是多少？19 求由曲线 y=1+sinx 与直线 y=0，x=0 ，x= 围成的曲边梯形绕 Ox 轴旋转而成旋
4、转体体积 V20 设 x一 1，求 一 1x(1 一|t|)dt21 设 f(x)在( 一，+)内有连续导数，且 mf(x)Ma0(1)求 一 aaf(t+a)一 f(t 一 a)dt；(2) 求证： aaf(t)dt 一 f(x)M 一 m22 23 已知 f(2)= ，f(2)=0 及 02f(x) dx=1，求 01x2f“(2x)dx24 证明方程 lnx= 在区间(0，+)内有且仅有两个不同实根25 设抛物线 y=ax2+ bx+c 过原点，当 0x1 时，y0 ，又已知该抛物线与 x 轴及直线 x=1 所围成图形的面积为 ，试确定 a，b，c 使此图形绕 c 轴旋转一周而成旋转体的
5、体积 V 最小26 下列两个积分大小关系式：27 计算28 设 f(x)= 0x29 过 P(1，0)作抛物线 的切线，该切线与上述抛物线及 z 轴围成一平面图形，求此平面图形绕 z 轴旋转一周所成旋转体的体积考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由此可见，I 的值只与 s 有关，所以应选(D) 2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(x)和 g(x)在(一，+) 上皆可导，则必在 (一 ，+) 上连续，则 =g(x0)，又 f(x)g(x)从而 f(x 0)g(x 0)，即3
6、 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答案】 B【试题解析】 df(x)dx=(f(x)dx)dx=f(x)dx6 【正确答案】 A【试题解析】 由于 F(x)= f(t)dt 一 0xf(t)dt 则 F(x)=一 f(e 一 x)e 一x 一 f(x)，故应选(A) 二、填空题7 【正确答案】 f(x)+C ， f(2b)一 f(2a)【试题解析】 f(x)dx=f(x)+C abf(2x)dx= f(2b) 一 f(2a)8 【正确答案】 f(x)在a，b上连续；在a，b 内至少存在一点 ，使 f()(b 一 a)= abf(x) dx【试题解析】
7、由定积分中值定理：若 f(x)在a ，b上连续，则在a，b内至少存在一点 ，使 abf(x)dx=f()(b 一 a).9 【正确答案】 2(e 2+1)【试题解析】 04 202tetdt=202tdet=2(tet|02 一 02etdt)= 2(e2+1).10 【正确答案】 【试题解析】 等式 f(t)dt=x 两边对 x 求导得 3x 2f(x31)=1 令 x=2 得 12f(7)=1则 f(7)=11 【正确答案】 【试题解析】 0tsintdt=一 0tdcost=一 tcost|0+0costdt=12 【正确答案】 y=2x【试题解析】 y=(x 一 1)(x 一 2)，y
8、(0)=2则所求切线方程为 y 一 0=2(x 一 0)，即 y=2x13 【正确答案】 x 一 1【试题解析】 令 01f(t) dt=a，则 f(x)=x+2a，将 f(x)=x+2a 代入 01f(t)dt=a，得01(t+2a)dt=a，即 +2a=a 由此可得 a= 则 f(x)=x 一 114 【正确答案】 【试题解析】 原式= 01(t21)2t2 dt=210(t4 一 t 2)dt=15 【正确答案】 1【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 1)当 a=0，b0 时原式= 2)当a0，b=0 时原式= 3)当 a0 且 b0 时1
9、7 【正确答案】 18 【正确答案】 由 y=一 x2+1 知 y=一 2x 则曲线 y=一 x2+1 在点 x=x0 处切线方程为 y 一(一 x02+1)=一 2x0 (x 一 x0)该切线在 x 轴和 y 轴上的截距分别为和 x02+1，该切线与曲线，x 轴、y 轴在第一象限围成平面图形的面积为令 S(x0)=0 得 x0= 且有 S“(x0)0，由于极值点唯一，则 为极小值也即是最小值，且最小值为 所求切点坐标为19 【正确答案】 所求体积 Vx=0(sinx +1)2dx=0(sin2x+2sinx+1)dx= 2+420 【正确答案】 当一 1x0 时 一 1x(一|t|)dt=
10、一 1x(1+t)dy= (1+x)2 当 x0 时， 一 1x(1一|t|)dt= 一 10(1+t)dt+0x(1 一 t)dt=1 一 (1 一 x)2 故21 【正确答案】 (1)由于(2)由积分的不等式性质，及 mf(x)M 可知22 【正确答案】 23 【正确答案】 24 【正确答案】 当0xe 时， F(x)0，F(x)严格单调减少；当 ex+时，F(x)0，F(x) 严格单调增加，因此，F(x)在区间(0，e) ，和(e，+)内分别至多有一个零点由闭区间上连续函数的零点定理可知，F(x)在(e 一 3，e) 和(e，e 4)内分别至少有一个零点，综上所述，方程 在(0，+)内有且仅有两个不同的实根25 【正确答案】 由抛物线 y=ax2+bx+c 过原点可知， c=026 【正确答案】 “ ” 【试题解析】 由于当 x一 2，一 1时，27 【正确答案】 28 【正确答案】 29 【正确答案】 设过点(1，0)作抛物线 的切线的切点为得切线方程为
