1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)= 记 F(x)=0xf(t) dt，0x2，则2 如图 28，x 轴上有一线密度为常数 ，长度为 l 的细杆，有一质量为 m 的质点到杆右端的距离为 a，已知引力系数为 k，则质点和细杆之间引力的大小为3 设 f(x)连续，F(x) = f(t2)dt，则 F(x)等于（A）f(x 4)（B） x2f(x4)（C） 2xf(x4)（D）2xf(x 2)4 若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)有一个原函数为（A）1+sinx（B） 1 一 sin
2、x（C） 1+cosx（D）1 一 cosx5 已知 f(x)= 设 F(x)=1xf(t)dt(0x2)则 F(x)为6 设 M= (x2 sin3x 一cos4x)dx，则有（A）NPM（B） MPN（C） NM P（D）PM N二、填空题7 =_8 由曲线 y=xex 与直线 y=ex 所围成图形的面积 S=_9 设 F(x)=1x(2 一 )dt(x0)，则函数 F(x)的单调减少区间是 _10 =_11 已知曲线 y=f(x)过点(0， )，且其上任一点(x，y)处的切线斜率为 xln(1+x2)，则 f(x)=_12 =_13 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
3、14 质点以 tsin(t2)米秒作直线运动，则从时刻 t1= 秒内质点所经过的路程等于_米15 16 xsin2xdx17 曲线 y=(x 一 1)(x 一 2)和 x 轴围成一平面图形，求此平面图形绕 y 轴旋转一周所成的旋转体的体积18 设函数 f(x)在(一，+)内满足 f(x)=f(x 一 )+sinx，且 f(x)=x，x0，)，计算3f(x)dx19 20 21 设 f(x)= 求 03f(x 一 2)dx22 计算曲线 y=ln(1 一 x2)上相应于 0x 的一段弧的长度23 求曲线 y= 的一条切线 l，使该曲线与切线 l 及直线 x=0，x=2 所围成平面图形面积最小24
4、 25 26 设平面图形 A 由 x2+ y22x 与 yx 所确定，求图形 A 绕直线 x=2 旋转一周所得旋转体的体积27 设 f(x)在0，a上连续，且 f(0)=0，证明28 计算 01x(1 一 x4)29 计算30 如图 29 所示，设曲线方程为 y=x2+ ，梯形 OABC 的面积为 D，曲边梯形OABC 的面积为 D1，点 A 的坐标为(a，0)，a 0，证明：考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 当 0x1 时，F(x)= 0xf(t)dt=0xt2dt= 当 1
5、x2 时，F(x)=01t2dt+0x(2 一 t)dt= 由此可见应选(B)2 【正确答案】 A【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 由 F(x)= f(t2)dt 知 F(x)=2xf(x4)故应选 (C)4 【正确答案】 B【试题解析】 由题设 f(x)=sinx，于是 f(x)=f(x)dx=一 cosx+C， 从而 f(x)的原函数 F(x)=f(x)dx=(一 cosx+C1) dx=一 sinx+C1x+C2 令 C1=0，C 2=1，即得 f(x)的一个原函数为 1 一 sinx5 【正确答案】 D【试题解析】 F(x)= 1xf(t)dt=所以应选(D)6 【正确答
6、案】 D【试题解析】 由被积函数的奇偶性可知因此 PMN故应选(D) 二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 8 【正确答案】 e 一 1【试题解析】 由 xex=ex 可知 x(ex 一 e)=0，则 x=0 或 x=1故 S= 01(ex 一 xex)dx=e 一 19 【正确答案】 【试题解析】 则F(x)单调减少的区间为10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 (1+x2)ln(1+x2)一 1【试题解析】 由原题设可知 y=xln(1+x2)，则又曲线 y=f(x)过点故 y= (1+ x2) ln(1+x2)一112 【正确答案】 一 3sin3xf(cos3x)【试
7、题解析】 由变上求导法可知 (0cos3x f(t)dt)=一 3sin3x f (cos3x) 13 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【试题解析】 质点所经过的路程为15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 对 y 积分，由原曲线方程 y=(x 一 1)(x 一 2)可得所求旋转体体积为18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 22 【正确答案】 由弧长计算公式可知所求弧长为23 【正确答案】 设切点坐标为处的切线方程为令 S(t)=0 得 t=1，又 S“(1)0，则 t=1 时 S(t)有极小值，即最小值，此时切线方程为24 【正确答案】 25 【正确答案】 26 【正确答案】 对 y 积分(参见图 213)，则微元27 【正确答案】 设 x0，a ，则 f(x)=0xf(t) dt，该式两边取绝对值|f(x)|=| 0xf(t)0xf(t)|dt0xMdt=Mx 于是 |0xf(x)|0a|f(x)|dx0aMxdx=28 【正确答案】 29 【正确答案】 30 【正确答案】 原题得证
