1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 18 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 y“一 y=ex+1 的一个特解应具有形式 (式中 a，b 为常数)（A）ae x+b（B） axex+b（C） aex+bx（D）axe x+bx二、填空题2 微分方程 ydx+(x24x)dy=0 的通解为_3 微分方程 y“+y=一 2x 的通解为 _4 微分方程 y“+2y+5y=0 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 求微分方程 =0 的特解6 求微分方程 y“+ 2y+y=xex 的通解7 求微分方程 y+ 的通解8 设函
2、数 y=y(x)满足微分方程 y“一 3y+2y=2ex，其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x2 一 x+l 在该点处的切线重合，求函数 y 的解析表达式9 求微分方程 xy+(1 一 x)y=e2x(0x+) 满足 y(1)=0 的解10 设 f(x)=smx 一 0x(x 一 t)f(t)dt，其中 f 为连续函数，求 f(x)11 求微分方程 xlnxdy+(y 一 lnx)dx=0 满足条件 y|x=c1=1 的特解12 求微分方程 y“+4y+ 4y=eax 之通解，其中 a 为实数13 求微分方程 xy+y=xex 满足 y(1)=1 的特解14 求微分方程 y“+y=x+co
3、sx 的通解15 求微分方程(y 一 x3)dx 一 2xdy=0 的通解16 求微分方程 y“一 3y+2y=xex 的通解17 求微分方程(x 21)dy+(2xy 一 cosx)dx=0 满足初始条件 y|x=0=1 的特解18 设二阶常系数线性微分方程 y“+y+y=ex 的一个特解为 y=e2x+(1+x)ex，试确定常数 、，并求该方程的通解19 求微分方程 y“+a2y=smx 的通解，其中常数 a020 设 y=ex 是微分方程 xy+ p(x)y=x 的一个解，求此微分方程满足条件 y|x=ln2=0 的特解21 求微分方程 y“+y=x2 的通解22 设 f(x)为连续函数
4、23 求微分方程(3x 2+ 2xy 一 y 2)dx+(x22xy)dy=0 的通解24 已知 y1=xex+ e2x，y 2=xex+e 一 x，y 3=xex+e2x 一 e 一 x 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程25 设曲线 L 的极坐标方程为 r=r()，M(r，) 为 L 上任一点，M 0(2，0)为 L 上一定点，若极径 OM0、OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M0、M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的方程考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 18 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】
5、 B【试题解析】 y“一 y=ex+1 的特解应为方程 y“一 y=ex 和 y“一 y=1 的特解之和，而特征方程为 r 2 一 1=0，解得 r=1 因此 y“一 y=ex 的特解应为 y1*=axex， y“ 一 y=1的特解应为 Y2*=b 则原方程特解应具有形式 y=axex+b二、填空题2 【正确答案】 (x 一 4)y4=Cx【试题解析】 该方程是一个变量可分离方程，即(x 一 4)y4=Cx3 【正确答案】 y=一 2x+C1cosx+C2sinx【试题解析】 特征方程为 r2+1=0，解得 r1=i，r 2=一 i 齐次通解为 =C1cosx+C2sinx 易观察出非齐次一个
6、特解为 y *=一 2x 则原方程通解为 y=C1cosx+C2sinx 一 2x4 【正确答案】 y=e 一 x(C1cos2x+ C2sin2x)【试题解析】 特征方程为 r 2+2r+5=0，r 1，2 =一 12i 故通解为 y=C 1e 一 xcos2x+C2e一 xsin2x三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 【正确答案】 原方程改写为标准形式为 由一阶线性微分方程求解公式知故所求特解为6 【正确答案】 特征方程为 r 2+2r+1=0，r= 一 1 为二重根则齐次方程通解为=(C1+C2x)e 一 x设非齐次方程特解为 y*=(A0+A1x)ex，代入原方程得故
7、原方程通解为 y=(C 1+C2x)e 一 x+(x 一 1)ex.7 【正确答案】 由一阶线性方程求解公式知8 【正确答案】 特征方程 r 一 2r+2=0 解得 r1=1，r 2=2则齐次方程通解为 =C1ex+C2e2x 设非齐次方程特解为 y *=Axex，代入原方程得 A=一 2 故原方程通解为 y=C 1ex+C2e2x 一 2xex (*)又由题设 y=y(x)的图形在点(0，1)处切线与曲线 y=x2 一x+1 在该点的切线重合，由此可知 y(0)=1，y(0)=(2x 一 1)|x=0=一 1 利用此条件由(*)式可得 C 1=1，C 2=0 因此所求解为 y=(1 一 2x
8、)ex.9 【正确答案】 原方程改写为标准形式 (0x+)由一阶线性微分方程通解公式得代入初始条件 y(1)=0，得 c=一 e 故所求解为10 【正确答案】 原方程可改写为 f(x)=sinx 一 x0xf(t)dt+0xtf(t)dt 上式两端对 x 求导得 f(x)=cosx 一 0xf(t) dt 一 xf(x)+x(f)x=cosx 一 0xf(t)dt (*)两端再对 x 求导得 f“(x)=一sinx 一 f(x)即 f(x)+f(x)=一 sinx 这是一个二阶线性非齐次方程，由原方程知 f(0)=0，由 (*)式知 f(0)=1特征方程为 r2+1=0，r=i 齐次通解为 =
9、C1sinx+C2cosx 设非齐次方程特解为 y *= x(asinx+bcosx)，代入 f“(x)+f(x)=一 smx 得 a=0b= 则非齐次方程的通解为 y=C1sinx+C2xosx+ cosx 由初始条件 y(0)=0 和 y(0)=1 可知C1= ，C 2=0.11 【正确答案】 原方程改写为标准形式为12 【正确答案】 特征方程为 r 2+4r+4=0 解得 r 1 一 r2=一 2 则齐次方程通解为 =(C1+C2x)e 一 2x 当 a一 2 时，原方程特解可设为 y *=Aeax 代入原方程得故特解为 y*= 当 a=一 2 时，原方程特解可设为 y*=Ax2e 一
10、2x 代入原方程得 故特解为 y*= x2e 一 2x 综上所述，原方程通解为 y=(C1+C2x)e 一 2x+ (a一 2)y=(C1+C2x+ x2)e 一 2x (a=一 2)13 【正确答案】 将原方程化为标准形式 y+ =ex 由一阶线性方程通解公式可知由 y(1)=1，得 C=1，故所求特解为14 【正确答案】 易求得齐次方程通解为 y=C1cosx+C2sinx 设非齐次方程 y“+y=x 的特解为 y 1=Ax+B 代入方程得 A=1，B=0，所以 y1=x 设非齐次方程 y“+y=cosx 的特解为 y=Cxcos+Dxsinx 代入方程解 C=0，D= ，所以 y2= x
11、sinx 故原方程通解为 y=C1cosx+C2sinx+x+ sinx.15 【正确答案】 将原方程化为标准形式 由一阶线性微分方程通解公式知16 【正确答案】 特征方程为 r 2 一 3r+2=0 解得 r1=1，r 2=2 齐次方程通解为 =C1ex+C2e2x 设非齐次方程特解为 y *=x(ax+b)ex 代入原方程得 a= ，b=一 1 所以 从而所求通解为 y=C 1ex+ C2e2x 一( +x)ex.17 【正确答案】 原方程化为标准型由 y|x=0=1 知，C=一 1 则所求特解为18 【正确答案】 将 y=e2x+(1+x)ex 代入原方程得(4+2+)e 2x+(3+2
12、+)ex+(1+)xex=ex 比较同类项的系数有 解得 a= 一 3，=2，=一 1 即原方程为 y“一 3y+ 2y=一 ex 其特征方程为 r2 一 3r+2=0 解得 r 1=1，r 2=2 故齐次通解为 =C1ex+C2e2x 则原方程通解为 y=C 1ex+C2e2x+e2x+(1+x)ex 由于 y=e2x+(1+x)x 为原二阶线性常系数非齐次方程的特解可知 ex 和 e2x 为原方程对应齐次方程两个解， xex为非齐次方程一个解则齐次方程特征方程为 (r 一 1)(r 一 2)=0 即 r 2 一 3r+2=0 对照原方程知，a=一 3，=2 将 y=xe x 代入原方程得
13、y=一 1 故原方程为 y“ 一 3y+2y=一 ex，其通解为 y=C1ex+C2e2x+xex.19 【正确答案】 特征方程为 r2+a2=0，r=ai 则齐次方程通解为 y=C1cosax+C2sinax(1)当 a1 时，原方程特解可设为 y*=Asinx+Bcosx 代入原方程得B=0 所以 y*= (2)当 a=1 时，原方程特解可设为 y*= x(Asnx+Bcosx)代入原方程得 A=0，B= 所以 y *= xcosx 综上所述当 a1 时，通解为 y=C 1cosax+C2sinax+ 当 a=1 时，通解为 y=C 1cosx+C2siriax 一a1 和 a=1 两种情
14、况20 【正确答案】 将 y=ex 代入原方程得 xex+p(x)ex=x 得 p(x)=xe 一 x 一 x 代入原方程得 xy+ (xe 一 x 一 x)y=x 即 y+(e 一 x 一 1)y=1 解此线性方程得通解 y=ex+Cex+ex+e 一x 由 y|x=ln2=0 得 故所求特解为21 【正确答案】 令 p=y，代入原方程得 p+p=x2 故 p=e 一 x(x2exdx+C0=e 一 x(x2ex 一2xex+2ex+C0)再积分得 y=(x2 一 2x+2+C0e 一 x)dx= x3 一 x2+2x+C1+C2e 一 x解此一阶线性方程得 y=e 一 x( x3+C0)e
15、xdx+C2= x3 一 x2+2x+C1+C2e 一 x22 【正确答案】 (1)原方程两端同乘以 eax 得 yeax+ayeax=f(x)eax 从而 (ye ax)=f(x)eax所以 ye ax=0xf(t)eatdt 即 y=e ax0xf(t)eatdt(2)23 【正确答案】 令 y=xu，则 解之得 u2 一 u 一 1=Cx 一 3，即 y2 一 xy 一 x2=Cx 一 124 【正确答案】 由题设知 e2x 与 e 一 x 是相应齐次方程两个线性无关的解，且 xe2 是非齐次方程一个特解，故此方程是 y“一 y一 2y=f(x) 将 y=xex 代入上式得 f(x)=(xe x)“一 (xex)2xex=ex2xex 因此所求方程为 y“ 一 y一 2y=ex 一 2xex 由题设知，e 2x与 e 一 x 是相应齐次方程两个线性无关的解，且 xex 是非齐次方程的一个特解，故 y=xex+C1e2x+C2e 一 x 是所求方程通解，由 y=e x+xex+2C1e2x 一 C2e 一 x y“=2ex+xex+4C1e2x+C2e 一 x 消去 C1 和 C2 得所求方程为 y“一 y一 2y= ex 一 2xex25 【正确答案】 由题设可知
