1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 19 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知函数 y=f(x)在任意点 x 处的增量y= +，其中 是比 x(x0)的高阶无穷小，且 y(0)=，则 y(1)=（A）（B） 2（C） （D）2 具有特解 y1=e 一 x，y 2=2xe 一 x，y 3=3ex 的三阶常系数齐次线性微分方程是（A）y“一 y“一 y+y=0（B） y“y+y“一 y一 y=0（C） y“一 6y“+11y一 6y=0（D）y“一 2y“一 y+2y=03 设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+py+ qy=e3x 满足初始
2、条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 的极限（A）不存在（B）等于 1（C）等于 2（D）等于 34 已知 y= 的表达式为5 微分方程 y“+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为（A）y *=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)（B） y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)（C） y*=ax2+bx+c+Asinx（D）y *=ax2+bx+c+Acosx二、填空题6 微分方程 y“一 4y=e2x 的通解为_7 过点( ，0)且满足关系式 yarc sinx+=1 的曲线方程为 _8 微分方程 yy“+y2=0 满足初始条件 y|x=0=1
3、，y| x=0= 的特解是_9 微分方程(y+x 3)dx 一 2xdy=0 满足 y|x=1= 的特解为 _10 微分方程 xy+2y=xlnx 满足 y(1)= 的解为_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0 ，1) 内大于零，并满足 xf(x)=f(x)+ x2(a 为常数)，又曲线 y=f(x)与 x=1，y=0 所围的图形 s 的面积值为 2。求函数f(x)。并问 a 为何值时，图形 S 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积最小12 利用代换 y= 将方程 y“cosx 一 2ysinx+3ycosx=ex 化简，并
4、求出原方程的通解13 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度 之间的函数关系，设仪器在重力的作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k0)试建立 y 与 所应满足的微分方程，并求出函数关系式14 设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任一点(x ，y)处的曲率为 且此曲线上点(0，1) 处的切线方程为 y=x+1，求该曲线方程并求函数 y=y(x)的极值15 求初值问题 的通解16 设函数 y(x)(x0)二阶可导，
5、且 y(x)0，y(0)=1过曲线上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间0 ，x 上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1 一 S 2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程17 某湖泊的水量为 V，每年排入湖泊内含污物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不含A 的水量为 ，流出湖泊的水量为 已知 1999 年底湖中 A 的含量为 5m0，超过国家规定指标，为了治理污染，从 2000 年起，限定排入湖泊中含 A 污水的浓度不超过 问至多需经过多少年，湖泊中污染物 A 的含量降至 m0 以内？(注：设湖水中
6、的浓度是均匀的)18 设函数 f(x)，g(d 满足 f(x)=g(x)，g(x)=2e x 一 f(x)，且 f(0)=0，g(0)=2，求19 设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点( ，0)20 一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 S 成正比，比例常数K0假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 r0 的雪堆在开始融化的 3 小时内，融化了其体积的 ，问雪堆全部融化需要多少小时？21 求微分方程 xdy+(x 一 2y) dx=0 的一个解 y=y(x)，使得由曲线 y=y(x
7、)与直线x=1，x=2 以及 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体体积最小22 设函数 y=y(x)在( 一，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y) 是 y=y(x)的反函数(1)试将 x=x(y)所满足的微分方程 =0 变换为 y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)= 的解23 设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点 ，其上任一点 P(x，y)处的法线与y 轴的交点为 Q，且线段 PQ 被 x 轴平分(1)求曲线 y=f(x)的方程；(2)已知曲线y=smx 在0，上的弧长为 l，试用 l 表示曲线 y=f(x)的弧长 s24
8、有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x=(y)(y0)绕 y 轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为 2m根据设计要求，当以 3m3min 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以 m3mln 的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体) (1)根据 t 时刻液面的面积，写出 t 与 (y)之间的关系式；(2)求曲线 x=(y)的方程25 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下，现有一质量为 9 000 kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700 km/h经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系
9、数为 k=6010 6)问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 19 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由于y= x+a，其 是比x( x0)高阶的无穷小，则解此变量可分离方程得 y=Ce arctanx，再由 y(0)= 得 C= 故 y =earctanx， y(1)= .2 【正确答案】 B3 【正确答案】 C【试题解析】 由于 y(x)是方程 y“+ py+qy=e3x 满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，在方程 y“+py+qy=e3x 中，令 x=0 得 y“
10、(0)+py(0)+qy(0)=e 0=1 即 y“(0)=1 则 所以应选(C)4 【正确答案】 A【试题解析】 故应选(A)5 【正确答案】 A【试题解析】 方程 y“+y=0 的特征方程为 2+1=0，其特征根为 =i，因此方程y“+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为 y*=ax2+k+C+x(Asinx+Bcosx)，故应选(A)二、填空题6 【正确答案】 y=C 1e 一 2x+(C2+ )e2x (C1，C 2 为任意常数 )【试题解析】 特征方程为 r2 一 4=0，r 1，2 =2 齐次通解为 =C1e 一 2x+ C2e2x 设非齐次方程特解为 y *=Axe2x 代入
11、原方程得 A= ，故原方程通解为 y=C1e 一2x+C2e2x+ xe2x=C1e 一 2x+(C2+ )e2x7 【正确答案】 yarcsinx=x 一【试题解析】 由 yarcsinx+ 知 (yarcsinx)= 1 则 yarcsinx 一 x+C8 【正确答案】 y 2=x+1 或 y=【试题解析】 令 y=P，则 y“= 代入原方程得则所求的特解为 y 2=x+19 【正确答案】 【试题解析】 方程(y+x 3)dx 一 2xdy=0 可改写为 设方程为一阶线性方程，则其通解为10 【正确答案】 【试题解析】 方程 xy+2y=xlnx 是一阶线性方程，方程两端同除以 x 得：y
12、+ =lnx，则通解为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 由原题设，当 x时， 据此并由f(x)在点 x=0 处连续性，得故 a=一 5 时，旋转体体积最小12 【正确答案】 y=usecx，y=usecx+utanxsecxy“=u“secx+2utanxsecx+usec 3x+ utan2xsecx 代入原方程化简得 u“+ 4u=ex 解此线性常系数非齐次方程，得通解为 u= C1cos2x+C2sin2x+ ex 还原成 y，得原方程通解13 【正确答案】 取沉放点为原点 o，oy 轴方向铅直向下，则由牛顿第二定律得这是 y 对 t 的二阶可降阶方程
13、，其中 = ，按典型的降阶法14 【正确答案】 因曲线向上凸，则 y“0；由题设有化简，即为 y“=一(1+ y 2)曲线经过点(0，1)，故 y(0)=1，又因为在该点的切线方程为 y=x+1，即切线斜率为 1，于是 y(0)=1现在归结为求 的特解令 y=P，y“=P ，于是得 P=一(1+P 2)分离变量解得 arctanP=C 1 一 x，以 P(0)=1 代入，得以 y(0)=1 代入，得 C2=1+ 故所求曲线方程为取其含有 x=0 在内的连续的一支为当 x0，y一，故此函数无极小值当 x=时，y 为极大，极大值 y=1+15 【正确答案】 原方程可化为将 y|x=1=0 代入得，
14、C=1，故所求解为16 【正确答案】 曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处切线方程为 y 一 y=y(x)(X 一 x)它与 x轴的交点为 由于 y(x0，y(0)=1，从而 y(x)0，于是又 S 2=0xy(t) dt 由条件 2S1 一 S2=1 知 一1y(t)dt=1 (*)两边对 x 求导并化简得 yy“=(y) 2 令 P=y，则上述方程可化为=P2 从而 解得 P=C 1y， 即 =C1y 于是 注意到 y(0)=1，并由 (*)式知 y(0)=1从而可知 C1=1，C 2=0，故所求曲线的方程是 y=ex17 【正确答案】 设从 2000 年初(令此时 t=0)开始，第 t
15、 年湖泊中污染物 A 的总量为 m，浓度为 ，则在时间间隔 t，t+dt 内，排入湖泊中 A 的量为流出湖泊的水中 A 的量为 因此在此时间间隔内湖泊中污染物 A 的改变量 由分离变量法解得代入初始条件 令 m=m0，得 t=61n3 即至多需经过 61n3 年，湖泊中污染物 A 的含量降至 m0 以内18 【正确答案】 19 【正确答案】 (1)设曲线 L 过点 P(x，y)的切线方程为 Y 一 y=y(X 一 x)，令x=0，则得该切线在 y 轴上的截距为 y 一 xy由题设知令 S(x)=0，解得 x=当0x内的唯一极小点，于是所求切线为20 【正确答案】 设雪堆在时刻 t 的体积 V=
16、 r3，侧面积 S=2r2，从而 S=由题设知令 V=0，得 t=6，即雪堆全部融化需 6 小时。21 【正确答案】 原方程可化为 =一 1则由曲线 y=x+Cx2 与直线 x=1，x=2 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体体积为又 V“(C)= 为唯一极小值点，也是最小值点，于是得22 【正确答案】 由反函数导数公式知 上式两端对 y 求导得将 代入原方程得 y“y=sinx 该方程对应的齐次方程 y“一 y=0 的通解为 y=C1ex+C2e 一 x 设方程 y“一 y=smx 的特解为 =Acosx+Bsinx，代入该方程得从而 y“一 y =smx 的通解为 y(x)
17、=C1ex+ C2e 一 x 一 由 y(0) =0，y(0)= 得 C 1=1，C 2=一 1故 y(x)=e x 一 e 一 x 一23 【正确答案】 (1)曲线 y=f(x)在点 P(x，y)处的法线方程为令 X=0，则 y=y+ 故 Q 点的坐标为(0，y+ )，由题设知 y+y+ =0 即 2ydy 一+xdx=0 积分得 x 2+ 2y2=C 由 知 C=1，故曲线 y=f(x)的方程为 x2+2y2=1(2)曲线 y=sinx 在0，上的弧长为曲线 y=f(x)的参数方程为24 【正确答案】 (1)设 t 时刻液面高度为 y，则由题设知此时液面面积为 2(y)=4+t 从而 t= 2(y)一 4(2)液面高度为 y 时，液体的体积为 0y2(u) du=3t=32(y)一 12 上式两边对 y 求导得 2(y)=6(y)(y)解此方程得 (y)= 由 (0)=2 知C=2故所求曲线方程为25 【正确答案】 由题设，飞机的质量 m=9 000 kg，着陆时的水平速度 0=700 km/h从飞机接触跑道开始计时，设 t 时刻飞机的滑行距离为 x(t)，速度为(t)根据牛顿第二定律，得由以上二式得积分得 x(t)= +C由于 (0)=0，x(0)=0，故得 C= 0，从而所以，飞机滑行的最长距离为 105 km
