1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 20 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 y=C1ex+C2e 一 2x+xex 满足的一个微分方程是（A）y“一 y一 2y=3xex（B） y“一 y一 2y=3e x（C） y“+y一 2y=3xex（D）y“+y一 2y=3e x2 在下列微分方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C 2，C 3 为任意常数)为通解的是（A）y“+y“ 一 4y一 4y=0（B） y“+y“+4y+4y=0（C） y“一 y“一 4y+4y=0（D）y“一 y“+4y一 4y=03 设 y1
2、，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y+p(x)y=g(x)的两个特解，若常数 ， 使y1+y2 是该方程的解，y 1 一 y2 是该方程对应的齐次方程的解，则4 微分方程 y“一 2y=ex+e 一 x(0)的特解形式为（A）a(e x+e 一 x)（B） ax(ex+ e 一 x)（C） x(aex+be 一 x)（D）x 2(aex+be 一 x)二、填空题5 微分方程 y= 的通解是_6 二阶常系数非齐次线性微分方程 y“一 4y+3y=2e2x 的通解为 y=_7 微分方程(y+x 2e 一 x)dx 一 xdy=0 的通解是 y=_8 3 阶常系数线性齐次微分方程 y“一 2y“+
3、y一 2y=0 的通解为 y=_9 微分方程 y+y=e 一 xcosx 满足条件 y(0)=0 的解为 y=_10 微分方程 ydx+(x 一 3y2)dy=0 满足条件 y|x=1=1 的解为 y=_11 已知 y1=e3xxe2x，y 2=ex 一 xe2x，y 3=一 xe2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程满足条件 y|x=0=0，y| x=0=1 的解为 y=_12 设函数 y=y(x)是微分方程 y“+y一 2y=0 的解，且在 x=0 处 y(x)取得极值 3，则y(x)=_13 以 y=x2 一 ex 和 y=x2 为特解的一阶非齐次线性微分方程为_三
4、、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 用变量代换 x=cost(0t)化简微分方程(1 一 x2)y“一 xy+y=0，并求其满足y|x=0=1，y| x=0=2 的特解15 求微分方程 y“(x+y2)=y满足初始条件 y(1)=y(1)=1 的特解16 设 f(x)是区间0，+)上具有连续导数的单调增加函数，且 f(0)=1对任意的 t 0，+) ，直线 x=0，x=t，曲线 y=f(x)以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 z 轴旋转一周生成一旋转体若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 f(x)的表达式17 设非负函数 y=y(x)(x0)满足微分方程 xy
5、“一 y+=0当曲线 y=y(x)过原点时，其与直线 x=1 及 y=0 围成的平面区域 D 的面积为 2，求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体的体积18 设 y=y(x)在区间 (一 ，)内过点 的光滑曲线当一 x0 时，曲线上任一点处的法线都过原点；当 0x 时，函数 y(x)满足 y“+y+x=0求函数y(x)的表达式19 设函数 y=f(x)由参数方程 (t一 1)所确定，其中 (t)具有 2 阶导数，且 (1)= 求函数 (t)20 设函数 y(x)具有二阶导数，且曲线 l：y=y(x)与直线 y=x 相切于原点记 a 为曲线 l 在点(x，y) 处切线的倾角，若 ，求 y(x)的表达式
6、21 已知函数 f(x)满足方程 f“(x)+f(x)一 2f(x)=0 及 f“(x)+f(x)=2ex ()求 f(x)的表达式； ( )求曲线 y=f(x2)0x f(一 t2)dt 的拐点22 设函数 f(u)具有 2 阶连续导数，z=f(e xcosy)满足 =(4x+excosy)e2x若f(0)=0，f(0) =0 ，求 f(u)的表达式23 已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比现将一初始温度为 120的物体在 20恒温介质中冷却，30 mln 后该物体温度降至 30，若要将该物体的温度继续降至 21，还需冷却多长时间？24
7、已知 y1(x)=ex，y 2(x)=u(x)ex 是二阶微分方程(2x 一 1)y“一(2x+1)y+2y=0 的两个解若 u(一 1)=e，u(0)=一 1，求 u(x)，并写出该微分方程的通解考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 20 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 y=C1ex+C2e 一 2x+xex 知，齐次方程的两个特征根分别为 1 和一 2，所以只有(C) 和(D) 可能是正确的选项，将 y=xex 代入 (D)中方程知其满足该方程，则应选(D)2 【正确答案】 D【试题解析】 由原题设知所求方程的
8、特征方程的根为 1=1， 2，3 =2i 则其特征方程为 (p 一 1)(2+4)=0，故所求方程应为 y“一 y“+4y一 4y=0 故应选(D)3 【正确答案】 A【试题解析】 由于 y1+y2 为方程 y+p(x)y=q(x)的解，则(y 1+py2)+p(x) (y1+y2)=q(x)即 (y1+p(x)y1)+(y2+p(x)y2)=q(x)q(x)+p(x)=q(x)+=1 由于 y1 一 y2 为方程 y+p(x)y=0 的解，则(y 1 一 y2)+p(x) (y1 一 y2)=0(y1+p(x)y1)一 (y2+p(x)y2)=0q(x)一 q(x)=0 一 =0 由(1)
9、式和(2)式解得 = 4 【正确答案】 C【试题解析】 方程 y“一 2y=0 的特征方程为 r 2 一 2=1 r1=，r 2=一 方程 y“一2y=ex的特解形式为 ax ex 方程 y“一 2y=e 一 x的特解形式为 bx e 一 x 则原方程的特解形式为 y=x(axe x+bxe 一 x) 故应选(C) 二、填空题5 【正确答案】 y=Cxe 一 x【试题解析】 由 则 ln|y|= ln|x|一 x=ln|x|+ln e 一 x= ln(|x| e 一 x)y=Cxe 一 x6 【正确答案】 y=C 1ex+C2e3x 一 2e2x【试题解析】 齐次方程特征方程为 2 一 4+3
10、=0 解得 1=1， 2=3，则齐次方程通解为 y=C1ex+ C2e3x 设非齐方程特解为 =Ae2x，代入原方程得 A=一 2，则原方程通解为 y=C1ex+C2e3x 一 2e2x7 【正确答案】 y=x(C 一 e 一 x)【试题解析】 方程(y+x 2e 一 x)dx 一 xdy=0 可改写为=xe 一 xdx+C=x(一 e 一 x+C)=x(C 一 x).8 【正确答案】 y=C 1e2x+ C2cosx+C1sinx.【试题解析】 方程 y“一 2y“+ y一 2y=0 的特征方程为 r 32r2+r 一 2=0 即 r 2(r 一2)+(r 一 2)=0 (r 一 2)(r2
11、+1)=0 r1=2，r 2，3 =l 则原方程通解为 y=C1e2x+ C2cosx+C1sinx9 【正确答案】 e 一 x sinx【试题解析】 由一阶线性方程的通解公式得 y=e 一dx e 一 xcosxe dxdx+C =e 一xcosxdx+C=e 一 xsinx+C 由 y(0)=0 知，C=0，则 y=e 一 xsinx10 【正确答案】 【试题解析】 由 ydx+(x 一 3y2)dy=0 得 这是一阶线性微分方程，由通解公式得 又因为 y=1 时，x=1 ，解得 C=0，故x=y2 y= 11 【正确答案】 C 1ex+C2e3xxe2x【试题解析】 由题设知 y 1 一
12、 y 3=e3x， y 2 一 y 3=ex 为齐次方程两个线性无关的特解，则非齐次方程的通解为 y=C1ex+ C2e3xxe2x12 【正确答案】 2e x+e 一 2x【试题解析】 原方程的特征方程为 2+ 一 2=0 特征根为 1=1， 2=一 2 原方程的通解为 y=C 1ex+ C2e 一 2x 由 y(0)=3，y(0)=0 得 则 C 1= 2，C 2=1，y =2ex+e 一 2x13 【正确答案】 y一 y=2x 一 x2【试题解析】 设所求的一阶非齐次线性方程为 y+p(x)y=q(x) 则 y=x2 与 y=x2 一 ex的差 ex 应是方程 y+p(x)y=0 的解，
13、将 y=ex 代入以上方程得 p(x)=一 1， 再把 y=x2代入方程 y一 y=q(x) 得 q(x)=2x 一 x2，则所求方程为 y一 y=2x 一 x2.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 将 y，y“代入原方程，得其特征方程为 2+1=0，解得 =i，于是此方程的通解为 y=C1cost+C2sint 从而原方程的通解为 y=C1x+C2 由 y|x=0=1，y| x=0=2，得 C1=2，C 2=1，故所求方程的特解为15 【正确答案】 令 y=P，则 y“= 原方程化为由 y(1)=1 知 C1=0，则 x=P216 【正确答案】 旋转体的体积
14、 V=0xf2(x)dx，侧面积 S=20tf(x)由题设条件知 0tf2(x)dx=0xf(x) 上式两端对 t 求导得 f2(t)=将 y(0)=1 代入知 C=1，故17 【正确答案】 在方程 xy“一 y+2=0 中令 y=P，则 y“=P且 xP一 P+2=0由于曲线过原点，则 C2=0 又 2= 01则 C1=6，曲线方程为 y=2x+3x2V=201xydx=201x(2x+3x2)dx=18 【正确答案】 曲线在(x，y)处的法线方程为 Y 一 y= (X 一 x)由于当一x0 时，法线过原点，所以有 y= 由此可得，y 2=一 x2+C因为点在曲线上，所以 C=2，则所求曲线
15、为 x2+y2=2(一 x0)当 0x时，由 y“+y+x=0 解得，y=C 1cosx+C2sinx 一 x 由于曲线是光滑的，则 y(00)=y(0+0)， y 一 (0)=y+(0)而 y(0 一 0)=，y(0+0)=C 1，则 C1=y 一 (0)=0，y+(0)=C 2一 1，则 C2=1 故 19 【正确答案】 20 【正确答案】 由于 y=tan，即 =arctany，所以 于是有=y，即 y“=y(1+y 2)令 y=p，则 y“=p，代入式得 p=p(1+p2)分离变量得 两边积分得 =2x+lnC1 由题意 y(0)=1，即当 x=0 时 p=1，代入式得 C1= ，于是
16、有21 【正确答案】 () 联立 得 f(x) 一 3f(x)=一2ex，因此 f(x)=e3dx(一 2ex)e 一3dx dx+C)=ex+Ce3x 代入 f“(x)+f(x)=2ex，得 C=0，所以 f(x)=ex()y=f(x 2)0xf(一 t2)dt=当 x0 时，y“0；当 x0 时，y“ 0，又 y(0)=0，所以曲线的拐点为 (0，0) 22 【正确答案】 令 excosy=u，则 将以上两个式子代入 = (4z+excosy)e2x 得 f“(u)=4f(u)+u 即 f“(u) 一 4f(u)=u 以上方程对应的齐次方程的特征方程为 r2 一 4=0，特征根为 r=2，
17、齐次方程的通解为f(u)=C1e2u+ C2e 一 2u 设非齐次方程的特解为 f*=au+b，代入非齐次方程得a= ，b=0则原方程的通解为 f(u)=C1e2u+ C2e 一 2u 一 由 f(0)=0，f(0)=0 得C1= 则 f(u)= (e2u 一 e 一 2u 一 4u)23 【正确答案】 设 t 时刻物体的温度为 T(t)()，由题设知 =k(T 一 20)解该方程得 T(t)=20+Ce kt 又 T(20)=120，则 C=100，T(t)=20+100e ktT(30)=30，则 ek30=代入 T(t0)=21，得 t0=60，则，还需要 30 分钟物体温度降至2124 【正确答案】 将 y2(x)=u(x)ex 代入原方程并整理得(2x 一 1)u“+(2x 一 3)u=0令u(x)=z，则(2x 一 1)z+ (2x 一 3)z=0，解得 z= (2x 一 1)e 一 x，从而 u(x)= (2x 一 1)e 一 xdx= (2x 一 1)e 一 x+2e 一 x + 由 u(一 1)= e，u(0)=一 1，得=0，所以 u(x)=一(2x+1)e 一 x所以原微分方程的通解为 y=C1exC2(2x+1)
