1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 23 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)= 在(，+)内连续，且 f(x)=0，则常数 a，b 满足( )（A）a0， b0。（B） a0，b0。（C） a0，b0。（D）a0 ，b0。2 若函数 在 x=0 处连续，则( )（A）ab=1 2。（B） ab=12。（C） ab=0。（D）ab=2 。3 设函数 f(x)= ，则( )（A）x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点。（B） x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点。（C） x=0 是 f(x)的第一类间断点， x=1 是
2、f(x)的第二类间断点。（D）x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点。4 函数 f(x)= 在，上的第一类间断点是 x=( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）2。5 设函数 f(x)=ln|x|x1|sinx，则 f(x)有( )（A）1 个可去间断点，1 个跳跃间断点。（B） 1 个跳跃间断点，1 个无穷间断点。（C） 2 个跳跃间断点。（D）2 个无穷间断点。6 函数 f(x)=(xx 3)sinx 的可去间断点的个数为( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）无穷多个。7 函数 的无穷间断点的个数是( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）
3、3。8 函数 在(，+)内( )（A）连续。（B）有可去间断点。（C）有跳跃间断点。（D）有无穷间断点。9 函数 f(x)=(x2x2)|x 3x|不可导点的个数是( )（A）3。（B） 2。（C） 1。（D）0。10 设 f(x)= 其中 g(x)是有界函数，则 f(x)在 x=0 处( )（A）极限不存在。（B）极限存在，但不连续。（C）连续，但不可导。（D）可导。11 设函数 f(u)可导，y=f(x 2)当自变量 x 在 x=1 处取得增量 x=01 时，相应的函数增量y 的线性主部为 01，则 f(1)=( )（A）1。（B） 01。（C） 1。（D）05。12 设函数 f(x)连续
4、，且 f(0)0，则存在 0，使得( )（A）f(x)在(0，)内单调增加。（B） f(x)在(，0)内单调减小。（C）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0) 。（D）对任意的 x(，0)有 f(x)f(0)。13 设函数 f(x)= ，则 f(x)在( ， +)内( )（A）处处可导。（B）恰有一个：不可导点。（C）恰有两个不可导点。（D）至少有三个不可导点。14 设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，f“(x)0，x 为自变量 x 在 x0 处的增量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 x0 处对应的增量与微分，若x0，则( )（A）0dyy。（B） 0 ydy。（C） yd
5、y0。（D）dyy0。15 设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是( )16 设函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，则 =( )（A）2f(0)。（B） f(0)。（C） f(0)。（D）0。17 设函数 (0，0)，若 f(x)在 x=0 处连续，则( )（A）1。（B） 01。（C） 2。（D）02 。二、填空题18 设函数 在 x=0 处连续，则 a=_。19 设函数 在 x=0 处连续，则 a=_。20 已知函数 f(x)连续，且 =1，则 f(0)=_。21 设 f(x)= ，则 f(x)的间断点为 x=_。22 设 f(x)连续，则 ddx 0xtf(
6、x2t 2)dt=_。23 设函数 y=y(x)由方程 ln(x2+y)=x3y+sinz 确定，则 dydx| x=0=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 求函数 f(x)=(1+x 在区间(0，2) 内的间断点，并判断其类型。25 求极限 (sintsinx) x(sintsinx) ，记此极限为 f(x)，求函数 f(x)的间断点并指出其类型。26 设函数 问 a 为何值时，f(x)在 x=0 处连续；a为何值时，x=0 是 f(x)的可去间断点?27 已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)3f(1sinx)
7、=8x+(x) ，其中 (x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小，且 f(x)在 x=1 处可导，求曲线 y=f(x)在点(6， f(6)处的切线方程。28 已知函数 f(x)在(0，+)内可导，f(x) 0， f(x)=1，且满足=e1x ，求 f(x)。28 设函数 f(x)在(，+)上有定义，在区间0，2上，f(x)=x(x 24) ，若对任意的x 都满足 f(x)=kf(x+2)，其中 k 为常数。29 写出 f(x)在2，0)上的表达式；30 问 k 为何值时，f(x)在 x=0 处可导。考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 23 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有
8、一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 排除法：如果 a0，则在(，+)内 f(x)的分母 a+ebx 必有零点x0，从而 f(x)在 x=x0 处不连续，与题设不符，排除 A。若 b0，则无论 a=0 还是a0 均有 f(x)=，与题设 f(x)=0 矛盾，排除 B 和 C。故选 D。【知识模块】 函数、极限与连续2 【正确答案】 A【试题解析】 由函数连续的定义可知， f(x)=f(0)。因为 f(0)= f(x)=b， 所以 b=12a，即ab=12。【知识模块】 函数、极限与连续3 【正确答案】 D【试题解析】 由于函数 f(x)在 x=0，x=1 点处无定义，因此是间
9、断点。且 f(x)=，所以 x=0 为第二类间断点。所以 x=1 为第一类间断点，故应选 D。【知识模块】 函数、极限与连续4 【正确答案】 A【试题解析】 函数 f(x)为初等函数，则先找出函数的无定义点，再根据左、右极限判断间断点的类型。函数在 x=0，x=1，x=2 均无意义，而所以x=0 为函数 f(x)的第一类间断点，故应选 A。【知识模块】 函数、极限与连续5 【正确答案】 A【试题解析】 当 x=0，x=1 时，f(x)无定义，故 x=0，x=1 是函数的间断点。同理 f(x)=0。所以 x=0 是可去间断点，x=1 是跳跃间断点，故选 A。【知识模块】 函数、极限与连续6 【正
10、确答案】 C【试题解析】 设 n 为整数，根据定义可知函数 f(x)=(xx 3)sinx 在每个开区间(n，n+1)内连续。则当 x 取任何整数时，f(x)均无意义。故 f(x)的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，则应是 xx 3=0 的解 x1，2，3 =0，1，1。故可去间断点有 3 个，即 0，1。【知识模块】 函数、极限与连续7 【正确答案】 B【试题解析】 有间断点 x=0，1。所以 x=0 为第一类间断点。 所以 x=1 为可去间断点。所以 x=1 是无穷间断点。【知识模块】 函数、极限与连续8 【正确答案】 B【试题解析】 但是函数 f(x)在 x=0 处没有定义，
11、而由上式可知 f(x)在 x=0 处的极限是存在的，所以是可去间断点，答案选 B。【知识模块】 函数、极限与连续9 【正确答案】 B【试题解析】 方法一：当函数中出现绝对值号时，就有可能出现不可导的“尖点”，因为这时的函数是分段函数。f(x)=(x 2x2)|x|x 21|，当 x0，1 时 f(x)可导，因而只需在 x=0，1 处考察 f(x)是否可导。在这些点分别考察其左、右导数。由即 f(x)在 x= 1 处可导。又所以，f(x)在x=0 处不可导。类似，函数 f(x)在 x=1 处亦不可导。因此 f(x)只有两个不可导点，故应选 B。方法二：利用下列结论进行判断：设函数 f(x)=|x
12、a|(x) ，其中 (x)在x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处可导的充要条件是 (a)=0。先证明该结论：由导数的定义可知：可见，f(a)存在的充要条件是 (a)=(a)，也即 (a)=0。再利用上述结论来判断本题中的函数有哪些不可导点：首先，绝对值函数分段点只可能在使得绝对值为零的点，即 f(x)=(x2x2)|x 3x|只有可能在使得|x 3x|=0 的点处不可导，也即x= 1， x=0 以及 x=1。接下来再依次对这三个点检验上述结论：对 x=1，将 f(x)写成 f(x)=(x2x2)|x 2x|x+1| ，由于(x 2x2)|x 2x|在 x=1 处为零，可知 f(x)在 x
13、= 1 处可导。对 x=0，将 f(x)写成 f(x)=(x2x2)|x 21|x|，由于(x 2x2)|x21|在 x=0 处不为零，可知 f(x)在 x=0 处不可导。对 x=1，将 f(x)写成 f(x)=(x2x2)|x 2+x|x1|，由于(x 2x2)|x 2+x|在 x=1 处不为零，可知 f(x)在 x=1 处不可导。因此 f(x)有两个不可导点，故应选 B。【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 D【试题解析】 因为从而 f(0)存在，且f(0)=0，故正确选项为 D。【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 D【试题解析】 由题设y=y( 1) x，即 01=
14、y(1)( 01)于是得 y(1)=1，而由 y=f(x2)，有 y=2xf(x2)。令 x=1，得 y(1)= 2f(1)，即 f(1)=1 2=05。 故答案选 D。【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 C【试题解析】 由导数的定义，知 f(0)= 0。根据保号性，知存在0，当 x(，0)(0，)时，有 0。即当 x( ，0)时，f(x)f(0)；而当 x(0，)时，有 f(x)f(0)。故应选 C。【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 C【试题解析】 当|x|1 时，f(x)= =1；当|x|=1 时，f(x)= =1；当|x|1 时，f(x)= +1)1n =|x|
15、2。因此，当 x1 时，f(x)必可导。在 x=1 处，因此 f(x)在 x=1 处不可导。同理， f(x)在 x=1 处也不可导。故选 C。【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x)0 ，f“(x)0 知，函数 f(x)单调增加，曲线 y=f(x)是凹的，作函数 y=f(x)的图形如图所示，显然当 x0 时，ydy=f(x 0)dx=f(x0)x0，故应选 A。【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 D【试题解析】 A、B 两项中分母的极限为 0，因此分子的极限也必须为 0，均可推导出 f(0)=0。若 f(x)x 存在，则 f(0)=0，f(0)可
16、见 C 也正确，故应选 D。事实上，可举反例：f(x)=|x|在 x=0 处连续，且 极限存在，但 f(x)=|x|在 x=0 处不可导。【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(x)在 x=0 处可导，f(0)=0 ，且=f(0)2f(0)=2f(0)。因此选 B。【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 A【试题解析】 x0 时，f(x)=x 1 cos +x(sin1x )(x 1 )=x1 cos1x +x 1 sin1x ，x0 时，f(x)=0，由于 f(x)在 x=0 处连续，所以有 f(x)=f+(0)=f (0)=0，所以有 10，10。
17、又因为 0， 0，所以有 1，答案为 A。【知识模块】 一元函数微分学二、填空题18 【正确答案】 2【试题解析】 由题设得f(x)在 x=0处连续，则 a=2。【知识模块】 函数、极限与连续19 【正确答案】 13【试题解析】 根据题意，函数 f(x)在 x=0 处连续，则 f(x)=f(0)=a，sinx23x 2=13，所以 a=13。【知识模块】 函数、极限与连续20 【正确答案】 2【试题解析】 所以 f(0)=2。【知识模块】 函数、极限与连续21 【正确答案】 0【试题解析】 当 x=0 时，f(x)=0；当 x0 时，有=xx 2=1x。 因为 1x=f(0)，故 x=0 为
18、f(x)的间断点。【知识模块】 函数、极限与连续22 【正确答案】 xf(x 2)【试题解析】 作积分变量代换 u=x2t 2，则 0xtf(x2t 2)dt tf(u)(1 2t)du ddx 0xtf(x2t 2)dt=12f(x 2)(x 2)=12f(x 2)2x=xf(x 2)。【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 1【试题解析】 y(x) 是由方程 ln(x2+y)=x3y+sinx 所确定，所以当 x=0 时，y=1。在方程 ln(x2+y)=x3y+sinx 两边分别对 x 求导，得 =3x2y+x3y+cosx，把 x=0 和y=1 代入得 y(0)=dydx| x
19、=0=1。【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 f(x)在区间(0 ，2)内的间断点为 无定义的点，即x=4，3 4，54，74 各点。在 x=4 处， f(x)=+；在 x=54 处，f(x)=+，故 x=4， 54 为 f(x)的第二类间断点；在 x=34 处， f(x)=1；在 x=74 处， f(x)=1，但相应的函数值在该点无定义，故 f(x)在x=34，74 处为可去间断点。【知识模块】 函数、极限与连续25 【正确答案】 由f(x)=exsinx 的表达式，可以看出自变量 x 应满足 sinx0，从而xk，k=0 ， 1
20、，2， 。当 x0 时， =e1=e，所以 x=0 为 f(x)的可去间断点；对于非零整数 k，故 x=k，k=1，2，为f(x)的无穷间断点。【知识模块】 函数、极限与连续26 【正确答案】 =2a2+4。令 f(00)=f(0+0)，有 6a=2a2+4，得 a=1 或 a=2。当 a=1 时， f(x)=6=f(0)，即 f(x)在 x=0 处连续。当 a=2 时， f(x)=12f(0)，因此 x=0 是 f(x)的可去间断点。【知识模块】 函数、极限与连续27 【正确答案】 将 f(1+sinx)3f(1sinx)=8x+(x)两边令 x0 取极限，由 f(x)的连续性得 f(1)3
21、f(1)= 8x+(x)=0 2f(1)=0 ，故 f(1)=0，又由题设 f(x)在 x=1处可导，两边同除 sinx，根据导数的定义，得 f(1)+3f(1) 4f(1)=8，所以 f(1)=2，又因 f(6)=f(5+1)=f(1)，所以 f(6)=2，由点斜式，切线方程为yf(6)=f(6)(x6)。把 f(6)=f(1)=0，f(6)=2 代入得 y=2(x6)，即 2xy12=0。【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 由已知条件得 exlvf(x)=e1x ，因此 xlnf(x)=1x，即lnf(x)=1x 2，解得 f(x)=Ce1x 。由 f(x)=1，得 C=1。故 f(x)=e1x 。【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 当2x0，即 0x+22 时， f(x)=kf(x+2)=k(x+2)(x+2) 24=kx(x+2)(x+4)。 所以 f(x)在2，0)上的表达式为 f(x)=kx(x+2)(x+4)，2x0。【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 由题设知 f(0)=0。令 f (0)=f+(0)，得k=1 2。即当 k=1 2 时，f(x)在 x=0 处可导。【知识模块】 一元函数微分学
