1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 24 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 y=x lnx 是微分方程 y= +(xy)的解，则 (xy)的表达式为( )（A）y 2x 2。（B） y 2x2。（C） x2y 2。（D）x 2y 2。2 设函数 g(x)可微，h(x)=e 1+g(x)，h(1)=1，g(1)=2，则 g(1)等于( )（A）ln31。（B） ln31。（C） ln21。（D）ln21。3 函数 f(x)=ln|(x1)(x 2)(x3)|的驻点个数为( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。4 设函数 f(x)=(
2、ex1)(e 2x2)(e nxn)，其中 n 为正整数，则 f(0)=( )（A）(1) n 1(n1)! 。（B） (1) n(n1)! 。（C） (1) n1 n!。（D）(1) nn!。5 已知 y=f(x)由方程 cos(xy)lny+x=1 确定，则 nf(2n) 1=( )（A）2。（B） 1。（C） 1。（D）2。6 设函数 y=y(x)由参数方程 确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与 x轴交点的横坐标是( )（A）18ln2+3 。（B） 18ln2+3。（C） 8ln2+3。（D）8ln2+3 。7 曲线 y=x2 与曲线 y=alnx(a0)相切，则 a=(
3、)（A）4e。（B） 3e。（C） 2e。（D）e。二、填空题8 设函数 y=y(x)由方程 2xy=x+y 所确定，则 dy|x=0=_。9 y=2x 的麦克劳林公式中 xn 项的系数是_。10 设 y=(1+sinx)x，则 dy|x=_。11 设函数 y=y(x)由方程 y=1xe y 确定，则 dydx| x=0=_。12 设函数 y= ，则 y(n)(0)=_。13 设 y=y(x)是由方程 xy+ey=x+1 确定的隐函数，则 d2ydx 2|x=0=_。14 函数 y=ln(12x)在 x=0 处的 n 阶导数 y(n)(0)=_。15 设函数 f(x)=1 x dt，则 y=f
4、(x)的反函数 x=f1 (y)在 y=0 处的导数dxdy| y=0=_。16 设 则 d2ydx 2=_。17 函数 f(x)=x22 x 在 x=0 处的 n 阶导数 f(n)(0)=_。18 设 f(x)连续，(x)= xf(t)dt，若 (1)=1，(1)=5，则 f(1)=_。19 已知函数 f(x)在(，+)上连续，且 f(x)=(x+1)2+20xf(t)dt，则当 n2 时，f (n)(0)=_。20 设函数 y=y(z)由参数方程 确定，则 d2ydx 2|t=0=_。21 曲线 在点(0，1)处的法线方程为_。22 设函数 y=f(x)由方程 e2x+ycos(xy)=e
5、1 所确定，则曲线 y=f(x)在点(0，1)处的法线方程为_。23 设函数 y=f(x)由方程 xy+2lnx=y4 所确定，则曲线 y=f(x)在点(1，1) 处的切线方程是_。24 曲线 上对应于 t=4 的点处的法线斜率为_。25 曲线 sin(xy)+ln(yx)=x 在点(0，1)处的切线方程为_。26 曲线 在(0，0)处的切线方程为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 求函数 f(x)=x2ln(1+x)在 x=0 处的 n 阶导数 f(n)(0)(n3)。28 设函数 y=y(x)由参数方程 (t1)所确定，求 d2ydx 2|x=9。29 已知函数 f
6、(u)具有二阶导数，且 f(0)=1，函数 y=y(x)由方程 yxe y1 =1 所确定。设 z=f(lnysinx)，求 dzdx| x=0，d 2zdx 2|x=0。30 已知曲线的极坐标方程是 r=1cos ，求该曲线上对应于 =6 处的切线与法线的直角坐标方程。考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 24 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 将 y=xlnx 代入微分方程 y= +(xy)，得即 (lnx)=1ln 2x。令 lnx=u，有 (xy)=1u 2，故(xy)=y 2x 2。应选 A。【知识模块】 一元
7、函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 对函数 h(x)=e1+g(x)两边对 x 求导可得 h(x)=e1+g(x)g(x)。上式中令x=1，结合已知 h(1)=1，g(1)=2，可知 1=h(1)=e1+g(1)g(1)=2e1+g(1) g(1)=ln21，因此选 C。【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 由已知可得 f(x)ln|x1|+ln|x2|+ln|x3|，令 f(x)=0，即3x212x+11=0 ，根据其判别式=(12) 243110，所以 f(x)=0 有两个实数根，即 f(x)有两个驻点，因此选 C。【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案
8、】 A【试题解析】 根据导数的定义，有=(1) n1 (n1)!，因此正确选项是 A。【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 A【试题解析】 将 x=0 代入方程得 y=f(0)=1，在方程两边对 x 求导，得sin(xy)(y+xy) +1=0，代入 x=0，y=1 ，知 y(0)=f(0)=1。故应该选 A。【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 A【试题解析】 当 x=3 时，有 t2+2t=3，得 t=1，t=3(舍去) ，于是 dydx| t=1=18，可见过点 x=3(此时 y=ln2)的法线方程为：yln2= 8(x3)，令 y=0，得其与 x 轴交点的横坐标为 18
9、ln2+3 ，故应选 A。【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 C【试题解析】 (x 2)=2x=(alnx)=ax，可得 x2=a2，由 x2=alnx,可得x=e12 ，a=2e。【知识模块】 一元函数微分学二、填空题8 【正确答案】 (ln21)dx【试题解析】 方法一：对方程 2xy=x+y 两边求微分，有 2 xyln2(xdy+ydx)=dx+dy。 由所给方程知，当 x=0 时 y=1。将 x=0，y=1 代入上式，有ln2dx=dx+dy。所以， dy| x=0=(ln21)dx。 方法二：两边对 x 求导数，视 y 为该方程确定的函数，有 2 xyln2(xy+y)=
10、1+y。 当 x=0 时 y=1，以此代入，得y=ln21，所以 dy| x=0=(ln21)dx。【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 ln n2n!【试题解析】 因为 y=2xln2，y“=2 x(ln2)2，y (n)=2x(ln2)n，于是有 y(n)(0)=(ln2)n，故麦克劳林公式中 xn 项的系数是 y(n)(0)n!=ln n2n!【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 dx【试题解析】 方法一：y=(1+sinx) x=exln(1+sinx)，于是 y=exln(1+sinx)ln(1+sinx)+x 从而 dy|x=y()dx=dx。方法二：两边取对数，
11、lny=xln(1+sinx)，求导得 于是 y=(1+sinx)xln(1+sinx)+x ，故 dy|x=y()dx=dx 。【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 e【试题解析】 当 x=0 时，y=1，方程两边同时对 x 求导，y=e yxe yy，则y(1+xey)=e y，y| x=0 =e。【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 (1) n2nn!3 n+1【试题解析】 函数 的麦克劳林展开式为则 y(n)(0)n!=(1)n2n 3n+1，解得 y(n)(0)=(1) n2nn!3 n+1。【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 3【试题解析】 方程 x
12、y+ey=x+1 两边关于 x 求导有 y+xy+yey=1，得 y= 对y+xy+yey=1 再次求导可得 2y+xy“+y“ey+(y)2ey=0，得当 x=0 时，y=0，y(0)=1，代 ru(*)式得 =(2+1)=3。【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 2 n(n1)!【试题解析】 由泰勒展式可得 令t=2x，代入可得 比较系数可得 y=ln(12x)在 x=0处的 n 阶导数为 y(n)(0)=2 n(n1)!。【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 【试题解析】 由反函数的求导法则可知 dxxy| y=0【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 48【
13、试题解析】 根据参数方程的求导公式有： =3(1+t2)2，从而 d2ydx 2 =12t(1+t2)2，所以d2ydx 2|t=1=48。【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 n(n1)(ln2) n2【试题解析】 由莱布尼茨公式有 f(n)(x)=(x22x)(n)=C n0(2x)(n)x2+Cn1(2x)(n1)2x+C n2(2x)(n2)2，从而 f(n)(0)=Cn2(2x)(n2)2| x=0=( 2x(ln2)n22)| x=0=n(n1)(ln2)n2。【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 2【试题解析】 由已知条件有 (1)=01f(t)dt=1，(x
14、)= xf(t)dt=x f(t)dt。(x)= f(t)dt+xf(x2)2x，(1)= 01f(t)dt+f(1)2=5。故 f(1)=2。【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 52 n1【试题解析】 由已知条件得 f(0)=1，f(x)=2(x+1)+2f(x)，则 f(0)=4，f“(x)=2+2f(x)，且有 f“(0)=10。 在等式 f“(x)=2+2f(x)两边同时对 x 求 n2 阶导可得 f(n)(x)=2f(n1)(x)。则 f (n)(0)=2f(n1) (0)=2n2 f“(0)=52 n1 。【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 18【试题解析】
15、 则d2ydx 2|t=0=18。【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 y+2x1=0【试题解析】 点(0，1) 对应 t=0，把 t=0 代入得 dydx=12，所以该点处法线斜率为2，故所求法线方程为 y+2x1=0 。【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 x2y+2=0【试题解析】 在等式 e2x+ycos(xy)=e 1 两边对 x 求导，其中 y 视为 x 的函数，得 e 2x+y(2x+y)+sin(xy)(xy)=0， 即 e2x+y(2+y)+sin(xy)(y+xy)=0 。 将 x=0，y=1代入上式，得 e(2+y)=0，即 y(0)=2。故所求法线方
16、程斜率k= 12=12，根据点斜式法线方程为 y1=1 2x，即 x2y+2=0 。【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 xy=0【试题解析】 等式 xy+2lnx=y4 两边直接对 x 求导，得 y+xy+ =4y3y，将x=1，y=1 代入上式，有 y(1)=1。故过点(1，1)处的切线方程为 y1=1(x 1)，即 xy=0 。【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 1+【试题解析】 因为 dydx t=4 所以曲线在对应于 t=4 点的切线斜率为 ，故曲线在对应于 t=4 的点的法线斜率为=1+【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 y=x+1【试题解析】 在
17、方程 sin(xy)+ln(yx)=x 两边同时对 x 求导可得 cos(xy)(y+xy)+(y1)=1，把点(0，1)带入上式可得 y(0)=1，即切线斜率为 1，又由于切线过点(0 ，1) ，则由点斜式可知切线方程为 y1=x 0，即 y=x+1。【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 y=2x【试题解析】 由 x=01t du 可知，当 x=0，t=1 ，先求该曲线在点(0，0)的切线斜率 k=dy dx|t=1。dydt| t=1=2tln(2t 2)t 2 |t=1= 2，dxdt| t=1= ( 1)| t=1=1，所以 dydx| (0，0) =2，所以切线方程为y=2
18、x。【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 【正确答案】 y=f(x)带佩亚诺余项的麦克劳林公式： f(x)=f(0)+f(0)x+xn+o(xn)，求 f(n)(0)(n3)可以通过先求 y=f(x)的麦克劳林展开式，则展开式中 xn 项的系数与 n!的乘积就是 y=f(x)在点 x=0 处的 n 阶导数值 f(n)(0)。由麦克劳林公式， 所以x2ln(1+x)=x3 +(1) n1 +o(xn)。对照麦克劳林公式 f(x)=f(0)+xn+o(xn)，从而推知 f(n)(0)n!=(1) n1 n2，得 f(n)(0)=(1) 1 n!n2 ，
19、n=3 ，4，。【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 当x=9 时，由 x=1+2t2 及 t 1，得 t=2，所以【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 在 yxe y1 =1 中，令 x=0，得 y=1，即 y(0)=1。yxe y1 =1 两边对 x 求导，得 ye y1 xe y1 y=0。把 x=0，y=1 代入得 y|x=0=1。在一阶导函数两边继续对 x 求导，得(2y)y“(y 1)y 22e y1 y=0。再把 x=0，y=1，y=1 代入得，y“|x=0=2。dzdx=f(lny sinx)( cosx)，(1)把 x=0，y=1 ，y=1 代入上式，得dzdx| x=0=0 在(1)式左右两端关于 x 求导，得 d2zdx 2=f“(lnysinx)( cosx)2+f(lnysinx) +sinx，把 x=0，y=1，y=1，y“=2 代入上式，得=d2zdx 2|x=0=1。【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 此曲线的参数方程为由 =6 得切点的坐标为于是所求切线方程为【知识模块】 一元函数微分学
