1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 28 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列反常积分收敛的是( )2 反常积分 01x 2e1x dx 与 0+1x 2e1x dx 的敛散性为( )（A）发散， 收敛。（B） 收敛，发散。（C） 收敛，收敛。（D）发散， 发散。3 设 f(x)是奇函数，除 x=0 外处处连续，x=0 是其第一类间断点，则 0xf(t)dt 是( )（A）连续的奇函数。（B）连续的偶函数。（C）在 x=0 间断的奇函数。（D）在 x=0 间断的偶函数。4 设函数 y=f(x)在区间1，3上的图形如右图所示，则函数 F(x)=0
2、xf(t)dt 的图形为( )5 设函数 f(x)= F(x)=0xf(t)dt，则( )（A）x= 是 F(x)的跳跃间断点。（B） x= 是 F(x)的可去间断点。（C） F(x)在 x= 处连续不可导。（D）F(x)在 x= 处可导。6 如图，曲线段的方程为 y=f(x)，函数 f(x)在区间0，a 上有连续的导数，则定积分xf(x)dx 等于 ( )（A）曲边梯形 ABOD 面积。（B）梯形 ABOD 面积。（C）曲边三角形 ACD 面积。（D）三角形 ACD 面积。二、填空题7 1 dx=_。8 0+ dx=_。9 曲线 y=x 3+x2+2x 与 x 轴所围成的图形的面积 A=_。
3、10 位于曲线 y=xex (0x+) 下方，x 轴上方的无界图形的面积是 _。11 设曲线的极坐标方程为 =ea(a0)，则该曲线上相应于 从 0 变到 2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积为_。12 当 0 时，对数螺旋 r=e的弧长为_。13 曲线 y=0xtanxdx(0x4)的弧长 s=_。14 设封闭曲线 L 的极坐标方程为 r=cos3(66)，则 L 所围平面图形的面积是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设有曲线 ，过原点作其切线，求由此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积。16 设曲线 y=ax2(a0，x0)与
4、 y=1x 2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线 y=ax2 围成一平面图形。问 a 为何值时，该图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?17 设 =(x)是抛物线 y= 上任一点 M(x，y)(x1)处的曲率半径，s=s(x)是该抛物线上介于点 A(1，1) 与 M 之间的弧长，计算 3d2ds 2(dds) 2 的值。(在直角坐标系下曲率公式为 K= )17 曲线 y= 与直线 x=0，x=t(t 0)及 y=0 围成一曲边梯形。该曲边梯形绕 X轴旋转一周得一旋转体，其体积为 V(t)，侧面积为 S(t)，在 x=t 处的底面积为 F(t)。18 求
5、S(t)V(t) 的值；19 计算极限 S(t)F(t)19 已知曲线 L 的方程 (t0)。20 讨论 L 的凹凸性；21 过点(1，0) 引 L 的切线，求切点 (x0，y 0)，并写出切线的方程；22 求此切线与 L(对应于 xx0 的部分)及 x 轴所围成的平面图形的面积。22 设 D 是位于曲线 y= ax2a (a1，0x+)下方、x 轴上方的无界区域。23 求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V(a)；24 当 a 为何值时， V(a)最小?并求此最小值。25 一个高为 l 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2a，短轴为 2b 的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为
6、32b 时(如图)，计算油的质量。(长度单位为 m，质量单位为 kg，油的密度为常数 kgm 3)26 过点(0 ，1)作曲线 L： y=lnx 的切线，切点为 A，又 L 与 x 轴交于 B 点，区域D 由 L 与直线 AB 围成。求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积。27 设 D 是由曲线 y=x13 ，直线 x=a(a0) 及 x 轴所围成的平面图形。V x，V y 分别是 D 绕 x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积。若 Vy=10Vx，求 a 的值。考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 28 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题
7、目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 故选 D。【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 01x 2e1x dx=e 1x | 0=1，故收敛；0+1x 2e1x dx=e 1x |0+，由于 e1x =+，故发散。因此选 B。【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 对 0x f(t)dt 作变量代换，令 u=t，可得 0x f(t)dt=0xf(u)( du)=0xf(u)( du)=0xf(u)du， 可知 0xf(t)dt 为偶函数。 由于函数 f(x)仅有一个第一类间断点，可知 f(x)可积，因此变上限积分 0xf(t)dt 是连续的。故选
8、 B。【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 D【试题解析】 观察被积函数 f(x)的图像可知： 在区间1，3上，f(x) 只有两个跳跃间断点，所以 f(x)可积，则 F(x)=0xf(t)dt 连续，据此可排除选项 B。 注意到在区间1 ，0) 上， f(x)=1，故当1x0 时，F(x)= 0xf(t)dt=0xdt=x，据此可排除选项A、C。 综上所述，选 D。【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 F(0)= 0sintdt=02 sintdt+2 sintdt=2，F(+0)=2，可见F(0)=F(n+0)，所以 F(x)在 x= 处是连续的。由于可
9、知 F ()F+()，所以 F(x)在 x= 处是不可导的。因此选 C。【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 C【试题解析】 0axf(x)dx=0axdf(x)=xf(x)|0a 0af(x)dx=af(a) 0af(x)dx， 其中 af(a)是矩形 ABOC 的面积， 0af(x)dx 为曲边梯形 ABOD 的面积，所以 0axf(x)dx 为曲边三角形 ACD 的面积。【知识模块】 一元函数积分学二、填空题7 【正确答案】 38【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 3712【试题解析】 y=x
10、3+x2+2x 与 x 轴的交点，即x 3+x2+2x=x(x 2)(x+1)=0 的根为 x= 1，0，2。当1x0 时，y0；当 0x2 时，y0，从而A=1 0ydx+ 02ydx=1 0(x3x 22x)dx+ 02(x 3+x2+2x)dx=( x 2)|1 0(x 2)|02【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 1【试题解析】 所求面积为 S=0+xex dx=0+(x)dex = xex |0+0+ex dx=e x |0x =1。【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 14a(e 4a1)【试题解析】 所求面积为 S=12 022()d=12 02e2ad=1
11、4ae 2a|02=14a(e 4a1)。【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 (e1)【试题解析】 由弧长公式：l=ds= 0 d=0 ed= (e1)。【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 ln( +1)【试题解析】 s= 04 dx=04 dx=04 secxdx=ln(secx+tanx)|0 4=ln( +1)。【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 12【试题解析】 所求面积为S=12 6 6 r2d=12 6 6 cos23d=13 02 cos2tdt=12，所以答案为12。【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
12、。15 【正确答案】 先求切线方程：(x 0，y 0)处的切线为 yy 0=12y 0(xx 0)。以x=0，y=0 代入切线方程，解得 x0=2，y 0= =1，切线方程为 y=12x(见下图)。 由曲线段 (1x2)绕 x 轴的旋转面面积而由曲线段y=12x(0x2)绕 x 轴的旋转面面积由此，旋转体的表面积为S=S1+S2=6(11 1)。【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 首先联立两式，求直线与曲线的交点：1x 2=ax2，得：x=，而 x0，则交点坐标为：(x，y)=( )。由点斜式，故直线 OA的方程为 y= 由旋转体体积公式 V=abf2(x)dx，要求的体积就是用大
13、体积减去小体积： 为了求 V 的最大值，对函数关于 a 求导，令dVda=0 ，得唯一驻点 a=4，所以 a=4 也是 V 的最大值点，最大体积为 V|a=4=。【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 抛物线在点 M(x，y)处的曲率半径=12(4x+1) 32 。若已知平面曲线 的显式表示为 y=f(x)(axb)，则弧长为 s=abdx，其中 f(x)在a ，b有连续的导数。根据上述结论，所以抛物线上的弧长为 s=s(x)=1x dx=9(1+4x)36x=9。【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 S(t)=0t2y dx =20t( )2dx
14、，V(t)=0ty2dx=0t( )2dx，故 S(t)V(t)=2。【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 F(t)=y 2|x=t=( )2，【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 dxdt=2t，dydt=4 2t，dydx= 1，=(2t 2)12t=1t 30(t0)，所以曲线 L 在 t0 处是凸的。【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 切线方程为 y0=( 1)(x+1)，设 x0=t02+1，y 0=4t0t 02，则4t0t 02=( 1)(t 02+2)，4t 02t 03=(2t 0)(t02+2)，得 t02+t0=
15、2=0，(t 01)(t 0+2)=0，因为 t00，所以 t0=1。于是切点为(2，3) ，切线方程为 y=x+1。【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 设 L 的方程 x=g(y)，则 S=03g(y)(y1)dy，由 t24t+y=0 解出t=2 ，得 x=(2 )2+1。由于(2，3)在 L 上，由 y=3 得 x=2，可知x=(2 )2+1=g(y)。S= 039y4 )(y1)dy= 03102y)dy4 03dy=(10yy 2)|03+403 d(4y)=21+4 (4y) 32 |03【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 V(a
16、)= 0+xaxa dx=a lna 0+xdaxa【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 令 V(a) =0，得 a=e。当 ae 时，V(a) 0，V(a)单调增加。当 1ae 时，V(a)0，V(a)单调减少。所以 V(a)在 a=e 取得极小值，即为最小值，且最小值为 V(e)=e2。【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 如下图，建立直角坐标系，则油罐底面椭圆方程为图中阴影部分为油面与椭圆所围成的图形。记 S1 为下半椭圆面积，则 S1=12ab，记 S2 是位于 x 轴上方阴影部分的面积，则 S2=2a0b2 dy，记 y=bsint，则 dy=bcostdt，于是
17、S2=2ab06 costdt=2ab06 cos2tdt=ab06 (1+cos2t)dt=ab( )。因此，油的质量为(S 1+S2)l=(12ab+ )abl。【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 设切点坐标为 A(x0，lnx 0)，斜率为 1x 0，所以设切线方程为ylnx 0=1x 0(xx 0)，又因为该切线过(0，1)，所以 x0=e2，故切线方程为y=1x 2x+1。 L 与 x 轴交点为 B(1，0)，直线 AB 的方程为 y= (x1)。区域D 的面积为 =e2+1(e 21)=2。旋转一周所围成的体积为 V=V1V 2 =(2e22) =23(e 21)。【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 由题意可得 Vx=0a(x13 )2dx=3 5a53 ，V y=20axx 13 dx=67a 73 。由于 Vy=10Vx，所以67a 73 =1035a 53【知识模块】 一元函数积分学
