1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=a 处可导，则 等于（A）f(a)（B） 2f(a)（C） 0（D）f(2a)2 f(x) = +6x+1 的图形在点(0，1)处切线与 x 轴交点坐标是（A）（B） (一 1，0)（C）（D）(1 ，0)3 若函数 y=f(x)，有 f(x)= ，则当x0 时，该函数在 x=x0 处的微分 dy 是（A）与x 等价无穷小（B）与 x 同阶无穷小（C）比 x 低阶的无穷小（D）比x 高阶的无穷小4 设函数 y=f(x)是微分方程 y“一 2y+ 4y=0
2、 的一个解，且 f(x0)0，f(x 0)=0，则 f(x)在 x0 处（A）有极大值（B）有极小值（C）某邻域内单调增加（D）某邻域内单调减少5 当 x0 时，曲线 y=（A）有且仅有水平渐近线（B）有且仅有铅直渐近线（C）既有水平渐近线，也有铅直渐近线（D）既无水平渐近线，也无铅直渐近线6 若 3a2 一 5b0，则方程 x5+2ax3+3bx+4c=0（A）无实根（B）有唯一实根（C）有三个不同实根（D）有五个不同实根7 设两函数 f(x)和 g(x)都在 x=a 处取得极大值，则函数 F(x)=f(x)g(x)在 x=a 处（A）必取极大值（B）必取极小值（C）不可能取极值（D）是否取
3、极值不能确定8 设 f(x)在 x=a 的某个邻域内有定义，则 f(x)在 x=a 处可导的一个充分条件是9 已知函数 f(x)具有任意阶导数，且 f(x)=f(x)2，则当 n 为大于 2 的正整数时，f(x)的 n 阶导数 f(n)(x)是（A）n！f(x) n+1（B） nf(x)n+1（C） f(x)2n（D）n！f(x) 2n10 设 F(x)= 其中 f(x)在 x=0 处可导，f(0)0，f(0)=0，则 x=0 是F(x)的（A）连续点（B）第一类间断点（C）第二类间断点（D）连续点或间断点不能由此确定二、填空题11 设 y=ln(l+ax)，则 y=_，y“=_12 曲线 y
4、=arctanx 在横坐标为 1 的点处的切线方程是_；法线方程是_13 设 f(t)= ，则 f(t)=_14 =_15 设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n)，则 f(0)=_16 设 tany=x+y，则 dy=_17 曲线 处的法线方程是_18 设 则 y=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 20 21 (1)设 f(x)在a，b 内可导，且 f(x)0，则 f(x)在(a，b)内单调增加(2)设 g(x)在 x=c 处二阶可导，且 g(c)=0，g“(c)0，则 g(c)为 g(x)的一个极大值22 设 y 一 1+xery，求 y|x=0，y“| x=
5、023 将长为 a 的一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使正方形与圆的面积之和最小，问两段铁丝长各为多少？24 求函数 y= 的单调区间，极值，其图形的凹凸区间，拐点，渐近线，并画图25 已知 y= 求 y26 已知27 确定函数 的单调区间，极值，凹向，拐点及渐近线28 求由方程 2y 一 x=(x 一 y)ln(x 一 y)所确定的函数 y 一 y(x)的微分 dy29 求曲线 y= (x0)的拐点30 在椭圆 =1 的第一象限部分上求一点 P，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小(其中 a0，b0) 31 证明：当 x0，有不等式 arctanx+考研数学二
6、（高等数学）历年真题试卷汇编 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 2 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)=x 2+x+6，f(0)=6，(0，1)点切线方程为 y 一 1=6x，令 y=0 得 x=即此切线与 x 轴的交点坐标为( ，0).3 【正确答案】 B【试题解析】 dy=f(x 0)x= x 则当x0 时，dy与x 是同阶无穷小4 【正确答案】 A【试题解析】 由题设知 f“(x) 一 2f(x)+4f(x)=0，令 x=x0 得 f(x0)一 2f(x0)+4f(x0)=0， 即 f“(x0) +4f(x0
7、)=0 又 f(x0)0，则 f“(x0)0故 f(x)在 x0 处取得极大值5 【正确答案】 A【试题解析】 由于 又 =0 则原曲线有且仅有水平渐近线 y=16 【正确答案】 B【试题解析】 由于 x5+ 2ax3+ 3bx+4c=0 为 5 次方程，则该方程至少有一个实根(奇次方程至少有一实根) 令 f(x)=x5+2ax3+ 3bx+4c，f(x)=5x 4+ 6ax2+3b 而 =(6a) 2一 60b =12(3a2 一 5b)0，则 f(x)0 因此，原方程最多一个实根，故原方程有唯一实根7 【正确答案】 D【试题解析】 本题的关键在于由题设可知在 x=a 的某邻域内有 f(a)
8、f(x)，g(a)g(x)，由此能否得到 g(a). f(a)g(x)f(x)或 g(a)f(a)g(x)f(x)，这在一般情况下是得不到此结论的若取 f(x)=一(x 一 a) 2，g(x)=一(x 一 a) 2，显然 f(x)和 g(x)在 x=a 处取极大值0，但 f(x)g(x)= (x 一 a)4 在 x=a 处取极小值，则(A)(C)都不正确：若取 f(x)=1 一(x一 a)2， g(x)=1 一(x 一 a)2，则 f(x)和 g(x)都有极大值 1，而 f(x)g(x)=1 一 (x 一 a)22在 x=a 仍有极大值 1，则(B)也不正确，从而只有(D)对8 【正确答案】
9、D【试题解析】 由于 h+ 时 一 f(a)存在只能得出f(x)在 a 点的右导数存在不能得出口点导数存在，(B)(C)明显不对，因为 f(x)在 a点如果没定义，(B)(C)中的两个极限都可能存在，但函数若在 a 点无定义，则在该点肯定不可导又 则应选(D)9 【正确答案】 A【试题解析】 等式 f(x)=f(x)2 两边对 x 求导得 f“(x)=2f(x)f(x)=2f(x) 3 f“(x)=23f(x)2f(x)=23f(x)4 f(n)(x)=f(x)n+1n!.10 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(0)=0，f(x) 在 x=0 处可导，则而 F(0)=f(0)=0，则极限
10、 F(x)存在但不等于 F(0)，故 x=0 为 F(x)的第一类间断点二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 由 y=ln(l+ax)知，y=12 【正确答案】 【试题解析】 ，则 x=1 处切线方程为 (x一 1)，法线方程为 y 一 =一 2(x 一 1)13 【正确答案】 (1+2t) e 2t【试题解析】 f(t)= = te2t 则 f(t)=e 2t+2te2t=(1+2t)e2t.14 【正确答案】 1【试题解析】 15 【正确答案】 n!【试题解析】 16 【正确答案】 【试题解析】 等式 tany=x+y 两边求微分得 sec2ydy=dx+dy 则17 【正确答案】
11、【试题解析】 18 【正确答案】 【试题解析】 由复合函数求导法知三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 (1)设 ax 1x 2b，由拉格朗日中值定理知：f(x 2) 一 f(x 1)=f()(x2 一 x1)，由 f(x)0 知 f(x2)f(1) ，则 f(x)在(a ， b)上单调增(2) 由于 g“(c)=0，根据极限的保号性知，存在 c 的某个去心邻域，使 0，则 c 点左半邻域 g(x)0，而 c 点的右半邻域 g(x)0由极值第一充分条件知 g(x)在 x=c 取得极大值22 【正确答案】 y=e xy+ x
12、exy(y+xy) 令 x=0，由 y=1+xexy 知 y=1，将 x=0，y=1 代入上式得 y|x=0=1， 将 xexy=y 一 1 代入 y=exy+xexy (y+ xy) 得 y=e xy+(y 一 1)(y+xy) 此式两边对 x 求导得 y“=e xy(y+xy)+y(y+xy)+(y 一 1)(2y+ xy“) 将 x=0，y=1 ，y(0)=1代入上式得 y“(0)=223 【正确答案】 设围成圆的铁丝长为 x，则围成正方形的一段铁丝长为 a 一 x，圆与正方形面积之和为 y令 y=0，得 x= 又处极小值，由于极值点唯一，则此极小值为 f(x)的最小值24 【正确答案】
13、 令 y=0 得 x=1，令y“=0，得 x=0，x=2 函数在(一 ，1) 上单调增，在(1，+)上单调减，在 x=1 取极大值 2，其图形(见图 25) 在(一，0)(2，+) 上是凹的，在 (0，2)上是凸的，为曲线拐点 =0，则该曲线有水平渐近线y=025 【正确答案】 26 【正确答案】 27 【正确答案】 令 y=0得 x=一 2；令 y“=0 得 x=一 3则该函数在(一 2，0)上单调增，在(一，一 2)和(0，+) 上单调减，在 x=一 2 取极小值 ，其图形在 (一 3，0)和(0，+)上是凹的，在(一，一 3)上是凸的，拐点为则该曲线有水平渐近线 y=0 和垂直渐近线 x
14、=028 【正确答案】 等式 2y 一 x=(x 一 y)ln(x 一 y)两边微分得 2dy 一 dx = (dx 一 dy)ln(x 一 y) + (x 一 y) (dx 一 dy) = (dx 一 dy) 1+ln(x 一 y)则.29 【正确答案】 令 y“=0，得 x=为拐点30 【正确答案】 设 P(x0，y 0)为所求点，则此点处椭圆的切线方程为令 x=0，得该切线在 y 轴上的截距为 令 y=0，得该切线在 x轴上截距为 所围图形面积为 因为S1 的极大点即 S 的极小点，为计算方便，求 S 的极小值点改为求 S1 的极大值点令 S1=0，得 x0= ，且 S1在 x0= 点处左侧为正；右侧为负，则 S1 在 x0= 取得极大值，又 x0= 为 S1 在(0，a)上唯一极值点，则 S1 在x0= 取极大值，从而 x0= 时 S 为最小，此时 y0= 为所求之31 【正确答案】 令 f(x)=arctanx+ 0，(x0)所以 f(x)在(0，+)上单调减少，又 f(x)=0，所以，当 x0 时，f(x)=arctanx+ 即 arctanr+.
