1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在( 一，+)内可导，且对任意 x1，x 2，当 x1 x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)，则（A）对任意 x，f(x)0（B）对任意 x，f(一 x)0（C）函数 f(一 x)单调增加（D）函数一 f(一 x)单调增加2 设函数 f(x)在0，1上 f“(x)0，则 f(1)、f(0) 、f(1)一 f(0)或 f(0) 一 f(1)的大小顺序是（A）f(1)f(0)f(1)一 f(0)（B） f(1)f(1)一 f(0)f(0)（C） f(1)一 f(
2、0)f(1) f(0)（D）f(1)f(0)一 f(1)f(0)3 设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)若 F(x)在 x=0 处可导，则必有（A）f(0)=0（B） f(0)=0（C） f(0)+f(0)=0（D）f(0) 一 f(0)=04 设当 x0 时，e x 一(ax 2+ bx +1)是比 x2 高阶的无穷小，则（A）a = ， b =1（B） a =1，b = 1（C） a = ，b =一 1（D）a = 一 1 ，b = 15 设函数 f(x)在区间(一 ，)内有定义，若当 x(一 ，)时，恒有|f(x)|x 2，则 x=0必是 f(x)的（A）间断点（B）
3、连续而不可导的点（C）可导的点，且 f(0)=0（D）可导的点，且 f(0)06 设 f(x)处处可导，则7 在区间(一 ，+)内，方程 一 cosx=0（A）无实根（B）有且仅有一个实根（C）有且仅有两个实根（D）有无穷多个实根8 已知 y=f(x)对一切的 x 满足 xf“(x)+3xf(x)2= 1 一 e 一 x，若 f(x0)=0(x00)，则（A）f(x 0)是 f(x)的极大值 （B） f(x0)是 f(x)的极小值（C） (x0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点 （D） f(x 0)不是 f(x)的极值，(x 0，f(x 0)也不是曲线 y=f(x)的拐点9 函数 f(x
4、)=(x2 一 x 一 2)|x3 一 x|的不可导点的个数为（A）0（B） 1（C） 2（D）310 设函数 f(x)在 x=a 的某个邻域内连续，且 f(a)为其极大值，则存在 0，当x(a 一 ，a+)时，必有（A）(x 一 a)f(x)一 f(a)0（B） (x 一 a)f(x)一 f(a)0（C）（D）二、填空题11 设 y=cos(x 2)sin2 则 y=_12 曲线 在 t=2 处的切线方程为_13 曲线 y=x2 的渐近线方程为_14 设 y= 则 y|x=0=_15 设 y= 则 y“|t=0=_16 =_17 曲线 y=xln(e+ )(x0)的渐近线方程为_ 18 曲线
5、 在点(0，1)处的法线方程为=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设函数 y=y(x)由方程 xef(y)=ey 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f1，求20 设 f(x)= 试讨论 f(x)在 x=0 处的连续性21 如图 22 所示，设曲线 L 的方程为 y=f(x)，且 y“0，又 MT、MP 分别为该曲线在点 M(x0，y 0)处的切线和法线已知线段 MP 的长度为 (其中y0=y(x0)，y“ 0=y“(x0)，试推导出点 P(，)的坐标表达式22 设 =1，且 f“(x)0，证明 f(x)x23 设 ，其中 f(u)具有二阶导数，且 f(u)0，求24 求
6、函数 f(x)= 在 x=0 点处带拉格朗日型余项的 n 阶泰勒展开式25 设函数 y=y(x)由方程 2y32y2+2xy 一 x2=1 所确定，试求 y=y(x)的驻点，并判别它是否为极值点26 设 f(x)在区间a，b上具有二阶导数，且 f(a)=f(b) =0，f(a)f(b)0试证明：存在 (a，b)和 (a，b)，使 f()=0 及 f“()=027 设 y=y(x)由28 就 k 的不同取值情况，确定方程 x 一 sinx=k 在开区间(0， )内根的个数，并证明你的结论29 设 x(0，1)，证明(1)(1+x)ln 2(1+x)x 2；考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编
7、6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于对任意的 x1，x 2，当 x1x 2 时一 x1一 x2，则有 f(一 x1)f(一x2)，即一 f(一 x1)一 f(一 x2)，也就是说，当 x1x 2 时，一 f(一 x1)一 f(一 x2)，故一 f(一 x)单调增2 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f“(x)0 x0，1则 f(x)单调增，又 f(1)一 f(0)=f(c) c(0，1)从而 f(1)f(c)f(0)即 f(1)f(1)一 f(0)f(0).3 【正确答案】 A【试题解析】 由于 F(x)=f(x)
8、+f(x)|sinx|，而 f(x)可导，则 F(x)在 x=0 可导等价于f(x)|sinx|在 x=0 可导，令 (x)=f(x)|sinx|则要使 F(x)在 x=0可导，当且仅当 f(0)=一 f(0)，即 f(0)=04 【正确答案】 A【试题解析】 由泰勒公式可知则 a= ，b=15 【正确答案】 C【试题解析】 由|f(x)|x 2 知，f(0)=0故应选(C)6 【正确答案】 D【试题解析】 直接法，由于 f(x)=+，则存在 M0，及 x00，当 xx 0 时，f(x)M ，于是当 xx 0 时有 f(x) 一 f(x 0)=f()(x 一 x0)M(x 一 x0)即 f(x
9、)f(x 0)+M(x一 x0)+(x+)则 f(x)=+，故应选(D) 7 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(x) = 一 cosx，显然， f(x)是偶函数所以，只要考虑 f(x)=0 在 (0，+)上的实根情况，当 x0 时则 f(x)在(0， )上严格单调增，因此 f(x)=0 在(0， )上有唯一实根，而当 x 时，f(x)0，故在(0，+)上方程 f(x)=0 有且仅有唯一实根，由对称性可知，f(x)=0 在(一， +)上有且仅有两个实根8 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x0)=0 知 x=x0 为 f(x)的驻点，将 x=x0 代入 xf(x)+3xf(x)2=1 一
10、e 一 x 得 x 0f(x0)=1 一 e 一 x0f“(x0)= 0 所以 x=x0 为 f(x)的极小值点9 【正确答案】 C【试题解析】 由导数定义知|x|在 x=0 不可导，而 x|x|在 x=0 可导，而 f(x)=(x2x一 2)|x3 一 x|= (x 一 2)(x+1)|x|x 一 1|x+1|，则 f(x)在 x=0 和 x=1 不可导，则应选(C)10 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(x)在 x=a 取得极大值，则存在 0，使得当 x(a 一 ，a+)时 f(x)f(a)即 f(x) 一 f(a)0 从而有 又因为 f(x)在x=a 连续，则 所以应选(C)二、填
11、空题11 【正确答案】 一 2xsin(x2)sin2 cos(x2)【试题解析】 12 【正确答案】 3x 一 y 一 7=0【试题解析】 当 t=2 时 x=5，y=8则所求切线方程为 y一 8=3(x 一 5)，即 3x 一 y 一 7=013 【正确答案】 y=0【试题解析】 由于 =0，原曲线仅有一条水平渐近线 y=014 【正确答案】 【试题解析】 15 【正确答案】 【试题解析】 16 【正确答案】 【试题解析】 由洛必达法则知17 【正确答案】 y=x+【试题解析】 18 【正确答案】 y+2x 一 1=0【试题解析】 当 x=0 时，t=0，故 从而在(0， 1)处的法线方程
12、为 y 一 1=一 2x即 y+2x 一 1=0.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 方程两边取对数得 lnx+f(y)=y上式两边对 x 求导得 +f(y)y=y从而 20 【正确答案】 当 x0 时， 所以 f(x)在 x=0 是连续的21 【正确答案】 由题设得(x 0) 2+(y0 一 ) 2= (1)又 PMMT，所以 y0= (2)由(1) ，(2)解得(y 0 一 )2= 由于 y“0，曲线 L 是凹的，故 y0 一 0，从而22 【正确答案】 由题设可知，f(x)二阶可导，从而 f(x)连续且有一阶导数，又=1，则 f(0)=0 令 F(x)=
13、f(x)一 x，则 F(0)=0由于 F(x)=f(x)一 1，所以 F(0)=0，又由 F“(x)=f“(x)0 知F(0)是 F(x)的极小值和 F(x)严格单调增，故 F(x)只有一个驻点，从而 F(0)是 F(x)的最小值因此 F(x)F(0)=0 即 f(x)x 23 【正确答案】 24 【正确答案】 所以 f(x)=1 一2x+2x2 一+(一 1)n2xn+ (一 1)n+1 (0 1).25 【正确答案】 原方程两边对 x 求导得 3y2y一 2yy +y+ xy一 x=0 (*)令 y=0，得y=x，代入原方程得 2x3 一 x21=0，从而解得唯一驻点 x=1(*)式两边对
14、 x 求导得(3y2 一 2y+x)y“+2(3y 一 1)y2+2y一 1=0 因此 y “|(1，1) = 0 故 x=1 为 y=y(x)的极小值点26 【正确答案】 不妨设 f(a)0，f(b) 0故存在 x1(a，a+ 1)和x2(b 一 2，b)，使 f(x1)0，f(x 2)0，其中 1 和 2 是充分小的正数显然 x1x 2在x 1， x2上应用介值定理得，存在 (x1，x 2)使，()=0以下同证 1若 f(x0)0，则存在 0当 x(x0 一 ，x 0)时 f(x)f(x 0)当 x(x0，x 0+)时，f(x)f(x 0)但因特别注意，由 f(x0)0 得不到存在 x0
15、某邻域(x 0 一 ，x 0+)，在此邻域内 f(x)单调增27 【正确答案】 等式 2y 一 ty2+e=5 两边对 t 求导得28 【正确答案】 设 f(x)=x 一 sinx，则 f(x)在0， 上连续由 f(x)=1 一cosx=0，解得 f(x)在(0， )内的唯一驻点 x0=arccos 由于当 x(0，x 0)时，f(x)0，当 x(x0， )，f(x)0，所以 f(x)在0，x 0上单调减少在x 0， 上单调增加，因此 x0 为 f(x)在(0， )内唯一的最小值点，最小值为 y0=f(x0)=x0 一 ，又因f(0)=f( )=0，故在(0， )内 f(x)的取值范围为(y
16、0，0)因此，当 k y0，0)，即ky 0 或 k0 时，原方程在(0， )内没有根当 k =y0 时，原方程在(0， )内有唯一实根 x0当 k(y0，0)时，原方程在(0，x 0)和(x 0， )内各恰有一根，即原方程在(0， )内恰有两个不同的根29 【正确答案】 (1)令 (x)=(1+x)ln 2(1+x) 一 x2，(0)=0(x)= ln 2(1+x) + 2ln(1+x) 一 2x， (0)=0 于是 “(x)在(0，1)内严格单调减少，“(0)=0，所以在(0，1)内“(x)0于是 (x)在(0 ，1)内严格单调减少，又 (0)=0，故在(0，1)内 (x)0故 (x)在(0，1)内严格单调减少，又 (0)=0，故在(0，1)内 (x)0由(1)知f(x)0，(当 x(0，1)，于是可知 f(x)在(0，1)上严格单调减少，f(1)= 一 1，故当 x(0，1)时 不等式左边证毕，又故当 x(0，1)时，f(x)= 不等式右边证毕
