1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 其中 g(x)是有界函数，则 f(x)在 x=0 处（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导2 设函数 f(x)满足关系式 f“(x)+f(x)2=x，且 f(0)=0，则（A）f(0)是 f (x)的极大值 （B） f(0)是 f (x)的极小值（C）点 (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 （D）f(0)不是 f(x)的极值，点(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点3 设函数 f(x)，g(x) 是大于零的可导函数
2、，且 f(x)g(x) 一 f(x)g(x) 0，则当axb 时有（A）f(x)g(b) f(b)g(x)（B） f(x)g(a) f(a)g(x)（C） f(x)g(x)g(b)f(b)（D）f(x)g(x) f(a)g(a)4 （A）0（B） 6（C） 36（D）5 曲线 y=(x 一 1)2(x 一 3)2 的拐点个数为（A）0（B） 1（C） 2（D）36 已知函数 f(x)在区间(1 一 ，1+)内具有二阶导数，f(x)严格单调减少，且 f(1)=f(1)=1，则（A）在(1 一 ，1) 和(1，1+)内均有 f(x)x（B）在 (1 一 ，1)和(1，1+)内均有 f(x)x（C）
3、在 (1 一 ，1)内，f(x)x，在(1，1 +a)内，f(x)x（D）在(1 一 ，1) 内，f(x)x，在(1，1+)内，f(x)x7 已知函数 y=f(x)在其定义域内可导，它的图形如图 23 所示，则其导函数y=f(x)的图形为8 设函数 f(u)可导，y=f(x 2)当自变量 x 在 x=一 1 处取得增量 x=一 01 时，相应的函数增量y 的线性主部为 01，则 f(1)=（A）一 1（B） 0.1（C） 1（D）0.59 设函数 y=f(x)在(0，+)内有界且可导，则10 设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有（A）一个极小值点和两个极大
4、值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极小值点和一个极大值点11 设 f(x) =|x(1 一 x)|，则（A）x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点（B） x=0 不是 f(x)的极值点，但 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（C） x=0 是 f(x)的极值点，且 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点二、填空题12 设函数 y=y(x)由方程 ln(x+y)=x3y+sinx 确定，则 |t=0=_13 =_14 设函数 y=y(x)由方程
5、 2y= x+y 所确定，则 dy|t=0=_15 曲线 y=(2x 一 1) 的斜渐近线方程为 _16 设函数 y=f(x)由方程 e2x+y 一 cos(xy)=e 一 1 所确定，则曲线 y=f(x)在点(0，1)处的法线方程为_17 设函数 y=f(x)由方程 xy+21nx=y4 所确定，则曲线 y=f(x)在点(1，1)处的切线方程是_18 y=2x 的麦克劳林公式中 xn 项的系数是_19 设函数 y(x)由参数方程 确定，则曲线 y=y(x)向上凸的 x 取值范围为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 21 已知函数 y= 求(1) 函数的增减区间及极值；(
6、2)函数图形的凹凸区间及拐点；(3)函数图形的渐近线22 设函数 f(x)在闭区间一 1，1上具有三阶连续导数，且 f(一 1)=0，f(1)=1，f(0)=0，证明：在开区间(一 1，1) 内至少存在一点 ，使 f“()=323 求函数 f(x)=x2ln(l+x)在 x=0 处的 n 阶导数 f(n)(0)(n3)24 已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 某个邻域内满足关系式f(1+sinx)一 3f(1 一 sinx)=8x+a(x)其中 a(x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小，且 f(x)在 x=1 处可导，求曲线 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程25
7、已知曲线的极坐标方程是 r=1 一 cos，求该曲线上对应于 = 处的切线与法线的直角坐标方程26 已知函数 f(x)在(0，+)上可导，f(x) 0， =1，且满足求 f(x)27 设 0a b，证明不等式28 设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有二阶连续导数，且 f(0)0，f(0)0 ，f“(0)0证明：存在惟一的一组实数 1， 2， 3，使得当 h0 时， 1f(h) +2f(2h) +3f(3h) 一 f(0)是比 h2 高阶的无穷小29 设函数 问 a 为何值时，f(x)在 x=0 处连续；a 为何值时， x=0 是 f(x)的可去间断点？30 讨论曲线 y=41nx+k 与
8、 y=4x+ln4x 的交点个数考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 所以 f(x)在 x=0 处可导2 【正确答案】 C【试题解析】 原式两端对 x 求导得f“(x)+2f(x)f“(x)=1令 x=0 得 f“(0)=10，又 f“(0)=0点(0， f(0)是曲线 y=f(x)的拐点3 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x)g(x)一 f(x)g(x)0， axb 可知 0， axb 则 在(a，b) 内单调减，从而应有 即 f(x)g(b) f(b)g(x) 故应选 (A
9、)4 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答案】 C【试题解析】 y = 2(x 一 1) (x 一 3) 2+2(x 一 1)2(x 一 3)= 4(x 一 1) (x 一 3) (x 一 2)y“=4(x 一 3) (x 一 2) + (x 一 1) (x 一 2) + (x 一 1) (x 一 3)= 4(3x2 一 12x+11) 令 y“=0得 x1=2+ y“= 12(x 一 x 1) (x 一 x 2)，显然，在 x1，x 2 两侧变号则原曲线两个拐点6 【正确答案】 A【试题解析】 由拉格朗日中值定理知f(x)一 f(1)=f()(x 一 1) ( 介于 1 与 x 之间)
10、又 f(1)=f(1) =1f(x)在(1 一 ，1+)严格单调减少，则当 x(1 一 ， 1)时，f(x)一 11(x 一 1) 即 f(x)x当 x(1，1+)时，f(x)一 11(x 一 1) 即 f(x)x所以应选(A) 7 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)的图形可以看出，当 x0 时，f(x)严格单调增，则当 x0 时，f(x)0；因此(A)(C)肯定不正确因此只能在(B)和(D)中选，又由 f(x)图形可看出当 x0 时，f(x)由增变减再变增，因此在 x0 处，f(x)由正变负再变正由 f(x)的图形可看出应选(D) 8 【正确答案】 D【试题解析】 由以上分析知 01
11、=y(一 1)x 而 y(一 1)=f(x2)2x| x=一 1=一 2f(1)，x=一 01 代入上式得 01=一 2f(1)(一 01) 由此可得 f(1)= =05 故应选(D)9 【正确答案】 B【试题解析】 所以，也不能选(C) ，事实上，从刚才分析也可看出不能选(D) ，因此，只能选(B)10 【正确答案】 C【试题解析】 如图，从导函数图形可知，f(x)只在 x=x1，x=x 2，x=x 3 处导数为零，而在 x=0 处导数不存在，则 f(x)只可能在这四个点取得极值而 f(x)在 x=x1 和 x=0两点的导数都是由正变负，则 f(x)在这两点处取极大值；而 f(x)在 x=x
12、2 和 x=x3 两点的两侧导数都是由负变正，则 f(x)在这两点处取极小值，故应选(C)11 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)=|x(1 一 x)|知 f(0) =0，而在 x=0 的去心邻域内 f(x)0，则 f(x)在 x=0 处取极小值；又即在 x=0 两侧 f“(x)变号，所以(0 ，0)是曲线 y=f(x)的拐点，故应选(C)二、填空题12 【正确答案】 1【试题解析】 原方程两边对 x 求导得 = 3x2y + x3y+ cosx 由原方程可知，当 x=0 时 y=1，将 x=0，y=1 代入上式，得 y=113 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 (ln2
13、 一 1)dx【试题解析】 等式 2xy=x+y 两端求微分得 2 xyln2(ydx+xdy)=dx+dy 由原式可知当x=0 时， y=1，将 x=0，y=1 代入上式得 dy| x=0=(ln2 一 1)dx15 【正确答案】 y=2x+1【试题解析】 16 【正确答案】 x 一 2y+2=0【试题解析】 方程 e2x+ycos(xy)=e 一 1 两边对 x 求导得(2+y)e 2x+y+sin(xy)(y+xy)=0 将 x=0，y=1 代入上式得 y=一 2则 y=f(x)在(0，1)处的法线方程为 y 一 1=即 x 一 2y+2=0.17 【正确答案】 x 一 y=0【试题解析
14、】 等式 xy+2lnx=y4 两端对 x 求导得 y+xy+ =4y3y将 x=1，y=1 代入上式得 则曲线 y=f(x)在点(1，1) 处的切线方程为 y 一 1=x 一 1即 x一 y=018 【正确答案】 【试题解析】 (2 x)(n)|x=0=2x(ln2)(n)|x=0 =(ln2)(n)则所求系数为19 【正确答案】 (一，1)【试题解析】 为了确定 t0时 x 的取值范围，先求 =3t2+30，则 x=3t3+3t+1 在 t0 时为增函数，又 t=0时 x=1， =一，则当 t0 时，x (一，1)，故本题应填(一，1)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20
15、 【正确答案】 分子有理化得21 【正确答案】 所给函数定义域为(一，1)(1， +) 令y=0，得驻点 x=0 及 x=3 令 y“=0 得 x=0，由此可知(1)函数的单调增加区间为(一，1) 和(3，+)，单调减少区间为(1，3)；极小值为 y|x=3= (2)函数图形在区间(一，0) 内是(向上)凸的，在区间(0，1)，(1，+)内是(向上)凹的，拐点为点(0 ，0) (3) 由 =+知，x=1 是函数图形的铅直渐近线；又=2故y=x+2 是函数图形的斜渐近线.22 【正确答案】 由泰勒中值定理可知 f(x)=f(0)+f(0)x+ f“()x3 其中 介于 0 与 x 之间，x一 1
16、，1分别令 x=一 1 和 x=1，并结合已知条件得0=f(一 1)=f(0)+ f“(1)，一 1 101=f(1)=f(0)+ f“(2)，0 21 两式相减可得 f“(1)+f“(2)=6 由 f“(x)的连续性，f“(x)在闭区间 1， 2上有最大值和最小值，设它们分别为 M 和 m，则有 m f“(1)+f“(2)M 再由连续函数的介值定理知，至少存在一点 1， 2 (一 1，1)使 f“()= f“(1)+f“(2)=323 【正确答案】 由麦克劳林公式24 【正确答案】 所以 f(1)=2 由于 f(x+5)=f(x)，所以 f(6)=f(1)=0，f(6)=f(1)=2 故所求
17、切线方程为y=2(x 一 6)即 2x 一 y 一 12=025 【正确答案】 此曲线的参数方程为26 【正确答案】 27 【正确答案】 先证右边不等式故当 xa 时， (x)单调减少，又 (a)=0，所以，当 xa 时 (x)(a)=0，即从而，当 ba0 时，lnb 一 lna 再证左边不等式，令 f(x)=lnx (xa0) 由拉格朗日中值定理知，至少存在一点 (a，b)，使由于 0a b，故 从而有28 【正确答案】 只需证存在惟一的一组实数 1， 2， 3，使由题设和洛必达法则，从知， 1， 2， 3 应满足方程组因为系数行列式 所以上述方程组的解存在且惟一，即存在惟一的一组实数 1
18、， 2， 3，使得当 h0 时， 1f(h)+2f(2h)+3f(3h) 一 f(0)是比 h2 高阶的无穷小29 【正确答案】 令有一 6a=2a2+4，得 a=一 1 或 a=一 2；当 a=一 1 时，=6=f(0)，即 f(x)在 x=0 处连续，当 a=一 2 时 =12f(0)，因而x=0 是 f(x)的可去间断点30 【正确答案】 令 (x)=ln4x+ 4x 一 4lnx 一 k 则 显然 (1)=0当 0x1 时， (x)0，(x)单调减少；当 x1 时，(x)0，(x)单调增加故 (1)=4 一 k 为 (x)在(0，+)上的最小值所以当 k4，即 4 一k0 时，(x)=0 无实根，那两条曲线无交点；当 k=4，即 4 一 k =0 时，(x)=0 有唯一实根，即两条曲线有唯一交点，当 k4，即 4 一 k0 时，由于故 (x)=0 有两个实根，分别位于(0 ，1)与(1，+)内，即两条曲线有两个交点【试题解析】 求两曲线 y=4lnx+k 与 y=4x+ln4x 的交点个数的问题等价于确定方程4lnx+k=4x+ln4x 有几个实根而方程 ln4 x+4x 一 4lnx 一 k=0 中含有参数 k，此时，一般将方程左端的函数令为 (x)，然后求 (x)的极值，再利用连续函数介值定理及 (x)的单调性确定方程根的个数
