1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0，使得（A）f(x)在(0，)内单调增加（B） f(x)在 c 一 ，0)内单调减少（C）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0) （D）对任意的 x(一 ，0)有 f(x)f(0)2 设函数 f(x)= 则 f(x)在(一 ，+)内（A）处处可导（B）恰有一个不可导点（C）恰有两个不可导点（D）至少有三个不可导点3 设函数 y=y(x)由参数方程 确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与x 轴交点的横坐标是（A）（B
2、）（C）一 81n2+3 （D）81n2+34 设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，f“(x)0，x 为自变量 x 在点 x0 处的增量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 x0 处对应的增量与微分，若x0，则（A）0dyy（B） 0 ydy（C） ydy0（D）dyy05 设函数 g(x)可微，h(x)=e 1+g(x)h(1)=1，g(1)=2，则 g(1)等于（A）ln3 一 1（B）一 ln3 一 1（C）一 ln2 一 1（D）ln2 一 16 设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是7 曲线 y= +ln(l+ ex)渐近线的条数为（A）0（B） 1（C）
3、 2（D）38 设函数 f(x)在(0，+)上具有二阶导数，且 f“(x)0，令 un=f(n)(n=1，2，) ，则下列结论正确的是（A）若 u1u 2，则u n必收敛（B）若 u1u 2，则u n必发散（C）若 u1u 2，则u n必收敛（D）若 u1u 2，则u n必发散9 设函数 f(x)=x2(x 一 1)(x 一 2)，则 f(x)的零点个数（A）0（B） 1（C） 2（D）310 若 f“(x)不变号，且曲线 y=f(x)在点(1，1) 处的曲率圆为 x2+y2=2，则函数 f(x)在区间(1 ，2) 内（A）有极值点，无零点（B）无极值点，有零点（C）有极值点，有零点（D）无极
4、值点，无零点11 曲线 y=x2 与曲线 y=alnx(a0)相切，则 a=（A）4e. （B） 3e. （C） 2e. （D）e.二、填空题12 设 y=(1+ sinx)x，则 dy|x=0=_13 曲线 y= 的斜渐近线方程为_14 曲线 y= 的水平渐近线方程为_15 设函数 y=y(x)由方程 y=1 一 xey 确定，则 |x=0=_16 曲线 上对应于 t= 的点处的法线斜率为_17 设函数 y= ，则 y(n)(0)=_18 曲线 sin(xy)+ln(y 一 x)=x 在点(0，1)处的切线方程是_19 曲线 y 一(x 一 5) 的拐点坐标为_20 设 y=y(x)是由方程
5、 xy+ey=x+1 确定的隐函数，则 |x=0=_21 曲线 在点(0，0)处的切线方程为_22 函数 y=x2x 在区间(0，1 上的最小值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 设函数 f(x)在(一，+)上有定义，在区间0，2上，f(x)=x(x 24)，若对任意的x 都满足 f(x)=kf(x+2)，其中 k 为常数 ()写出 f(x)在一 2，0上的表达式； ()问 k 为何值时，f(x)在 x=0 处可导24 设 eabe 2，证明 ln2b 一 ln 2a25 已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1证明：()存在
6、 (0，1) ，使得 f()=1 一 ；()存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()=126 试确定常数 A，B，C 的值，使得 ex(l+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3)其中 o(x3)是当 x0时比 x3 高阶的无穷小27 证明：当 0a b 时，bsinb+ 2cosb+ Kbasina+2cosa+a28 设函数 f(x)，g(x) 在a，b上连续，在(a ，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在 (a，b)，使得 f“()=g“()29 设函数 y=y(x)由参数方程 确定，其中 x(t)是初值问题30 ()证明拉格朗日
7、中值定理：若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则存在 (a，b) ，使得 f(b) 一 f(a)=f()(b 一 a)() 证明：若函数 f(x)在 x=0 处连续，在(0， )(0)内可导，且 f(x)=A，则 f+(0)存在，且 fx(0)=A考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(0)= 0，由极限的保号性知，存在 0，当 x(一 ， 0)或 x(0，)时， 0，而当 x(0，)时 x0，则此时f(x)一 f(0)0，即 f(x)f(0)，故应选(C)本
8、题主要考查当函数在一点处导数大于零时，函数在该点邻近的性态关于此问题有以下结论：“若 f(x0)0，则存在0，使得当 x(x0 一 ，)时，有 f(x)f(x 0)；当 x(x0，x 0+)时，f(x) f(x 0)”(若 f(x0)0 时有类似的结论)本结论可利用本题题解中的方法证明，即利用导数定义和函数极限的保号性证明，本题很容易选(A)，这个选择是错误的，事实上没有以下结论：“若 f(x0)0，则存在 0，在 (x 0 一 ，x 0+)内 f(x)单调增”，反例如下 可以证明 f(0)=10，但 f(x)在 x=0 的任何邻域内却不单调增，事实上可以证明，在 x=0 的任何邻域内既有使
9、f(x)0 的点，也有使得 f(x)0 的点2 【正确答案】 C【试题解析】 当|x|1 时，则 f(x)在 x=1 处不可导，故应选 (C)3 【正确答案】 A【试题解析】 由 知，x=3 时 t=1，y=ln2 因为则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线方程为 y 一 ln2=一8(x 一 3)令 y=0，得 x=3+4 【正确答案】 A【试题解析】 直接法： 由于 dy=f(x 0)x y=f(x0+x)一 f(x0)=f()x，(x 0 x 0+x) 由于 f“(x)0，则 f(x)单调增，从而有 f(x0)f()，又 f(x)0，x0，则 0dyy，故应选(A) 5 【正确答案】
10、C【试题解析】 由 h(x)=e2 知 h(x)=e 1+g(x)g(x) 令 x=1 得： 1=e 1+g(1)2 则 g(1)=一ln2 一 1.6 【正确答案】 D【试题解析】 由 存在及 f(x)在 x=0 处的连续性知，f(0)=0 ，从而有=f(0)，所以，命题(A)和(C) 是正确的；由(f(x)+f(一 x)=2f(0)=0，则 f(0)=0，所以，命题(B)也是正确的事实上，命题(D) 是错误的例如，令 f(x)=|x|，显然，但 f(x)=|x|在 x=0 处不可导，即 f(0)不存在，故应选(D) 7 【正确答案】 D【试题解析】 则 y=x+1 为原曲线的一条斜渐近线，
11、由此可知原曲线共有三条渐近线所以，本题应选(D)8 【正确答案】 D【试题解析】 直接法：由拉格朗日中值定理知 u2 一 u1=f(2) 一 f(1)=f(c) (1c 2)而 u 2u 1，则 f(c)0，由于 f“(x)0，则 f(x)单调增，从而有 f(2)f(c) 0，由泰勒公式得，f(x)=f(2)+f(2)(x 一 2)+ (x 一 2) 2 x(0， +)则 f(n)=f(2)+f(2)(n一 2)+ (n2)2f(2)+f(2)(n2) (n2)由于 f(2)0，则 (f(2)+f(2)(n 一 2)=+，从而 =+，故u n发散9 【正确答案】 D【试题解析】 由于 f(0)
12、=f(1)=f(2)；由罗尔定理知 f(x)在(0，1) 和(1，2)内至少各有一个零点，又 x=0 是 f(x)的二重零点，则 x=0 是 f(x)的一个零点，即 f(x)至少有 3个零点，又 f(x)是一个 3 次多项式，最多 3 个零点，故应选 (D)10 【正确答案】 C【试题解析】 由题设条件知曲线 y=f(x)是凸的，且 f“(x)0，曲率半径为而 y(1)=f(1)=一 1，则 y“(1)=f“(1)=一2由于 f“(x)0，则 f(x)在1，2上单调减，从而 f(x)f(1)0，从而函数 f(x)在1，2上单调减，故该函数没有极值点又 f(1)=10，f(2)一 f(1)=f(
13、)(21)=f()一 1则 f(2)一 1+f(1)=0，即 f(2)0，所以，函数 f(x)在(1，2)内有唯一零点，故应选(B) 11 【正确答案】 C【试题解析】 由于曲线 y=x2 与曲线 y=alnx 相切，则由(2)式得 x2= 代入(1)式得 a=2x2= 2e二、填空题12 【正确答案】 一 dx【试题解析】 由 y=(1+sinx)x 知 lny=xln(1+sinx)，两端求导得令 x=，得 y|x=一 ，则 dy|x=一 dx13 【正确答案】 y=x+【试题解析】 14 【正确答案】 y=【试题解析】 由于 则水平渐近线为 y=15 【正确答案】 一 e【试题解析】 方
14、程 y=1 一 xey 两端对 x 求导得 由原方程知，当 x=0 时，y=1，将 x=0，y=1 代入上式得16 【正确答案】 1+【试题解析】 17 【正确答案】 【试题解析】 y= =(2x+3)一 1；y=(一 1)(2x+3)一 22；y“(一 1)(一 2)(2x+3)一 32 2 则 y(n)=(一 1)nn!(2x+3)一(n+1) 2 n；y (n)(0)=(一 1)nn! 3 一(n+1) 2 n=18 【正确答案】 y=x+1【试题解析】 由 sin(xy)+ln(y 一 x)=x 知 sin(xy)(y+xy)+ =1 在上式中令x=0，y=1，得 y=1则该曲线在点
15、(0，1)处的切线方程是 y=x+119 【正确答案】 (一 1，一 6)【试题解析】 令 y“=0，得 x=一 1，在 z 一一 1 两侧 y“变号，则(一 1，一 6)为原曲线的拐点，这里应注意 x=0 时，y“不存在，所以(0，0)也可能是拐点，但在 x=0 的两侧 y“不变号，故(0 ，0)不是该曲线的拐点20 【正确答案】 一 3【试题解析】 等式 xy +ey=x+1 两端对 x 求导得 y+xy+ye y=1 将 x=0，y=0 代入上式得 y(0)=1 y+xy+ye y=1 两端对 x 求导得 y+y+xy“+y“e y+(y)2ey=0，再把x=0，y=0 及 y(0)=1
16、 代入得，y“(0)=一 321 【正确答案】 y=2x【试题解析】 由题设知，当 x=0 时，t=1 故过(0，0)点的切线方程为 y 一 0=2(x 一 0)，即 y=2x22 【正确答案】 【试题解析】 由 y=(e2xlnx)=x2x(2lnx+2)=0 得，x= 当 x0， )时，y0，y=x 2x 单调减；当 x( ，1时，y0，y=x 2x 单调增，则 y=x2x 在 x= 取最小值，且三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 () 当一 2x0，即 0x+22 时，f(x)=kf(x+2)=k(x+2)(x+2) 24=kx(x+2)(x+4)()由
17、题设知 f(0)=024 【正确答案】 设 (x)=ln2x 一 则所以当 xe 时，“(x)0，故(x)单调减少，从而当 exe 2 时，(x)(e 2)= 即当 exe 2 时，(x)单调增加因此当 eabe 2 时，(b)(a) ，25 【正确答案】 () 令 g(x)=f(x) +x 一 1，则 g(x)在0，1上连续，且 g(0)=一10，g(1)=1 0 所以存在 (0，1)，使得 g()=f()+ 一 1=0 即 f()=1 一 ()根据拉格朗日中值定理，存在 (0，)，(，1)，使得26 【正确答案】 因为 ex=1+x+ x3+o(x3)将其代入题设等式，整理得27 【正确答
18、案】 设 f(x)=xsinx+2cosx+x，x 0，则 f(x)=sinx+xcosx 一 2sinx+ xcosx 一 sinx+f(x)=cosx 一 xsinx 一 cosx=一 xsinx0，x (0，)故 f(x)在0 ， 上单调减少，从而f(x)f()=0 ，x (0，)因此 f(x)在0，上单调增加，当 0ab 时f(b)f(a)即 bsinb+2cosb+basina+2cosa+a28 【正确答案】 令 (x)=f(x) 一 g(x)，以下分两种情况讨论： 1)若 f(x)和 g(x)在(a， b)内的同一点处 c(a，b)取到其最大值，则 (c)=f(c) 一 g(c)
19、=0，又 (a) =(b)=0，由罗尔定理知 1(a，c) ，使 (1)=0； 2(c，b)，使 (2)=0 对 (x)在1， 2上用罗尔定理得， 1(1， 2)，使 “()=02)若 f(x)和 g(x)在(a，b)内不在同一点处取到其最大值，不妨设 f(x)和 g(x)分别在 x1 和 x2(x1x 2)取到其在(a ，b)内的最大值，则 (x1)=f(x1) 一 g(x 1)0， (x 2)=f(x2) 一 g(x 2)0 由连续函数的介值定理知， c(x1，x 2)，使 (c)=0以下证明与 1)相同29 【正确答案】 由 一 2te 一 x=0 得 exdx=2tdt，积分并由条件 x|t=0=0，得 ex=1+ t2，即 x=ln(1+ t2)30 【正确答案】 () 取 F(x)=f(x)一 由题意知 F(x)在a ，b上连续，在(a，b)内可导，且 根据罗尔定理，存在 (a，b)，使得 F()= =0，即 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)()对于任意的 t(0，) ，函数 f(x)在0，t上连续，在(0，t)内可导，由右导数定义及拉格朗日中值定理故f+(0)存在，且 f+(0)=A
