1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x0 时，下列无穷小中，哪个是比其他三个更高阶的无穷小( )（A）x 2（B） 1-cosx（C）（D）x-tanx2 若 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 =1，则下列正确的是( )（A）x=0 是 f(x)的零点（B） (0，f(0)是 y=f(x)的拐点（C） x=0 是 f(x)的极大点（D）x=0 是 f(x)的极小点3 曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴所围成的图形面积可表示为 ( )（A）- 02x(x-1)(2-x)dx（B） 01x(x
2、-1)(2-x)dx=12x(x-1)(2-x)dx（C） -01x(x-1)(2-x)dx+12x(x-1)(2-x)dx（D） 02x(x-1)(2-x)dx二、填空题4 =_5 y= ，则 y=_6 设 f(x)=ln(2x2-x-1)，则 f(n)(x)=_7 =_8 =_9 设 y=y(x，z)是由方程 ex+y+z=x2+y2+z2 确定的隐函数，则 =_10 连续函数 f(x)满足 f(x)=30x(x-t)dt+2，f(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求12 若13 14 求15 求常数 a， b 使得 f(x)= =在 x=0 处可导16 设
3、k0，讨论常数 k 的取值，使 f(x)=xlnx+k 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点17 求18 19 20 计算21 曲线 y=(x-1)(x-2)和 x 轴围成平面图形，求此平面图形绕 y 轴一周所成的旋转体的体积22 设 f(x，y)= 讨论函数 f(x，y)在点(0，0)处的连续性与可偏导性23 求 u=x2+y2+z2 在 =1 上的最小值24 计算25 求微分方程 xy“+2y=ex 的通解26 求微分方程 x2y“-2xy+2y=2x-1 的通解考研数学二（高等数学）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答
4、案】 D【试题解析】 当 x0 时，1-cosx所以 x-tanx 是比其他三个无穷小阶数更高的无穷小，选(D)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 D【试题解析】 由 =1 得 f(0)=0，由 1=得 x=0 为极小点，应选(D)【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 C【试题解析】 曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴的三个交点为 x=0，x=1 ，x=2，当 00，所以围成的面积可表示为(C)的形式，选(C)【知识模块】 高等数学部分二、填空题4 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 cotxsec 2x-【试题解析】 y=lntan
5、x- ln(x2+1)，y=cotx sec 2x-【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 【试题解析】 f(x)=ln2x+1)(x-1=ln(2x+1)+ln(x-1)，f(x)=【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 【试题解析】 因为 ln(x+ )为奇函数，所以 x2ln(x+ )为奇函数，【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 【试题解析】 e x+y+z=x2+y2+z2 两边对 z 求偏导得 ex+y+z +2z，从而【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 2e 3x【试题解析】 由 2xf(x-t)d
6、t x0f(u)(-du)=0xf(u)du 得 f(x)=30xf(u)du+2，两边对x 求导得 f(x)-3f(x)=0，解得 f(x)=C-3dx=Ce3x，取 x=0 得 f(0)=2，则 C=2，故 f(x)=2e3x【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 令 f(x)=arctanx，由微分中值定理得【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 因为 f(x)在 x=0 处可导，所以 f(
7、x)在 x=0 处连续，从而有 f(0+0)=2a=f(0)=f(0-0)=3b，由 f(x)在 x=0 处可导，则 3+2a=10+6b，解得【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 f(x)的定义域为(0 ，+)， 由 f(x)=lnx+1=0，得驻点为 x= ，由 f“(x)= 0，得 x= 为 f(x)的极小值点，也为最小值点，最小值为 (1)当 k 时，函数 f(x)在(0，+) 内没有零点；(2)当 k= 时，函数 f(x)在(0，+)内有唯一零点 x= (3)当 0 时，函数 f(x)在(0，+) 内有两个零点，分别位于 与 内【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 【
8、知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 令 =tdx=6t 5dt，则【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 取x，x+dx 1，2，dv=2x(x-1)(x-2)dx=-2x(x-1)(x-2)dx，V= 12dv=-212(x3-3x2+2x)dx=【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 因为，所以不存在，故函数 f(x，y)在点(0 ，0)处不连续因为，所以函数 f(x，y)在点(0，0)处对 x，y 都可偏导【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 令 F=x2+y2+z2+
9、( -1)，u=x2+y2+z2 在 =1 上的最小值为【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 令 D1=(z，y) 1x2 ， yx)，D2=(x，y) 2x4 ， y2，D 1+D2=D=(x，y) 1y2，yxy 2，【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 xy“+2y=e x 两边乘以 x 得 xxy“+2xy=xex，即(x xy)=xex，积分得x2y=(x-1)ex+C1，即 y= 再积分得原方程通解为 y=【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 令 x=et，则 x2y“= ，原方程化为+2y=2et-1， 十 2y=0 的通解为 y=C1et+C2e2t，令+2y=2et 的特解为 y0(t)=atet，代入 +2y=2et，得 a=-2，显然+2y=-1 的特解为 y= ，所以方程 +2y=2et-1 的通解为y=C1et+C2e2t-2tet- 原方程的通解为 y=C1x+C2x2-2xlnx-【知识模块】 高等数学部分
