1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设当 x0 时，(x-sinx)ln(1+x)是比 -1 高阶的无穷小，而 -1 是比高阶的无穷小，则 n 为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）42 设曲线 y=x2+ax+b 与曲线 2y=xy3-1 在点(1，-1) 处切线相同，则 ( )（A）a=1 ，b=1（B） a=-1，b=-1（C） a=2，b=1（D）a=-2，b=-13 设 f(x)，g(x) 在区间a，b上连续，且 g(x)0) ，且 f(a)=0证明：存在 (a，b)，使得 f()=17 求18 设
2、f(lnx)= 求f(x)dx 19 设 f(x)=f(x-)+sinx，且当 x0， 时，f(x)=x，求 3f(x)dx20 计算21 求曲线 y=3-x 2-1与 x 轴围成的封闭图形绕 y=3 旋转所得的旋转体的体积22 讨论 f(x， y)= 在点 (0，0) 处的连续性、可偏导性及可微性23 平面曲线 L： 绕 x 轴旋转所得曲面为 S，求曲面 S 的内接长方体的最大体积24 把二重积分 f(x,y)dxdy 写成极坐标下的累次积分的形式(先 r 后 )，其中 D 由直线 x+y=1，x=1，y=1 围成25 求微分方程(y+ )dx-xdy=0 的满足初始条件 y(1)=0 的解
3、26 设 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，设 f(x)在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x)考研数学二（高等数学）模拟试卷 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 当 x0 时， -1x n，因为 sinx=x- +o(x3)，所以(x-sinx)ln(1+x) 又因为所以当 x0 时， ，于是 n=3，选(C)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 B【试题解析】 由 y=x2+ax+b 得 y=2x+a，2y=xy 3-1 两边对 x 求导得2y=y3+3xy2y，解得 y
4、= 因为两曲线在点(1，-1)处切线相同，所以应选(B)【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 B【试题解析】 由元素法的思想，对x，x+dx a，b，dv=7m-g(x) 2-m-f(x)2dx=2m-f(x)-g(x)f(x)-g(x)dx，则 V=abdv=ab2m-f(x)-g(x)f(x)-g(x)dx，选(B)【知识模块】 高等数学部分二、填空题4 【正确答案】 -2【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 【试题解析】 lny=sin 2(2x+1)lnx， =2sin(4x+2)lnx+ ，则【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 f(x)【试题解析】
5、【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 2【试题解析】 因为 收敛【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 e-1【试题解析】 当 x=0 时，y=1， 两边对 x 求导，得【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 当 0x1 时，0 lnn(1+x)xn 积分得 0由夹逼定理得【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 由 arctanx=x- +o(x3)得当 x0 时，x 2(x-arctanx)【知识模块】
6、高等数学部分13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 令 f(x)= 由A(2x+1)+B(x-2)=4x-3 得 ，解得 A=1，B=2，即 f(x)=【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，3上连续，所以 f(x)在0，2上连续，故 f(x)在0，2取到最大值 M 和最小值 m，显然 3mf(0)+f(1)+f(2)3M，即 m1M，由介值定理，存在 c0，2 ，使得 f(c)=1因为 f(x)在c ，3上连续，在(c，3)内可导，且 f(c)=f(3)=1，根据罗尔定理，存在 (c，3) (0，3)，使得 f()=0【知识模块】 高等数
7、学部分16 【正确答案】 令 (x)=(b-x)af(x)，显然 (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，因为 (a)=(b)=0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()=0，由 (x)=(b-x)a-1(b-x)f(x)-af(x)得(b-) a-1(b-)f()-af()且(b-) a-10，故 f()=【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 由 f(lnx)=由 C1=1+C2，取 C2=C 得f(x)dx=【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 3f(x)dx=3f(x-)+sinxdx=3f(x-)dx+3sinxdx
8、=02f(x)dx=0xdx+2f(x)dx= +2f(x-)+sinxdx= +2f(x-)dx+2sinxdx= +0xdx-2=2-2【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 x=1 为被积函数的无穷间断点，则【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 取x，x+dx 0，1，dv 1=32-(x2-1)2dx=(8+2x2-x4)dx，V 1=01dv1=01(8+2x2-x4)dx，x，x+dx 1，2 ，dv 2=32-(1-x2)2dx=(8+2x2-x4)dx， V2=12dv2=12(8+2x2-x4)dx，则所求体积为 V=2(V1+V2)=202(8+2x2-x4)
9、dx=【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 因为 =0=f(0，0)，所以 f(x，y) 在点(0，0)处连续因为 ，所以 fx(0，0)=0，由对称性得 fy(0，0)=0，即函数 f(x，y)在点(0，0)处可偏导 z-fx(0，0)x-f y(0，0)y=f(x ，y)-f x(0，0)x-f y(0，0)y=xysin 因为 0所以函数 f(x，y)在点(0 ，0) 处可微【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 曲线 L： 绕 x 轴旋转一周所得的曲面为根据对称性，设内接长方体在第一卦限的顶点坐标为M(x，y，z)，则体积为 V=8xyz令 F=xyz+ ，由由实际问题的特性及点的唯一性，当时，内接长方体体积最大，最大体积为 V=【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 由(y+ )dx-xdy=0，得 令 u= ，则原方程化为 ，积分得 ln(u+ )=lnx+1nC，即 u+ =Cx，将初始条件 y(1)=0 代入得 C=1由 ，即满足初始条件的特解为 y=【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 根据题意得 ，则有 0xf(t)dt= ，两边求导得 f(x)=【知识模块】 高等数学部分
