1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 25 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+py+qy=sin2x+2ex 的满足初始条件f(0)=f(0)=0 的特解，则当 x0 时， ( )（A）不存在（B）等于 0（C）等于 1（D）其他2 设 f(x)在 x=a 处可导，且 f(a)0，则f(x)在 x=a 处( )（A）可导（B）不可导（C）不一定可导（D）不连续3 下列说法正确的是( ) 二、填空题4 5 6 设 f(x)为二阶可导的偶函数，f(0)=1，f“(0)=2 且 f“(x)在 x=0 的邻域内连续
2、，则=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 设 a1=1，当 n1 时，a n+1= ，证明：数列a n收敛并求其极限8 设 f(x)在a ，+)上连续，且 存在证明：f(x)在a，+) 上有界9 设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义，且满足 f(x)-2ex(x-1) 2，研究函数 f(x)在 x=1 处的可导性9 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(x)a，f“(x)b，其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1)内任意一点10 写出 f(x)在 xC 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；11 证明：12 设 f(x)是在a，b上连续且严格单调的函数，在(a，b
3、)内可导，且 f(a)=ai(a，b)(i=1，2，n)，使得13 设函数 y=f(x)二阶可导，f(x)0，且与 x=(y)互为反函数，求 “(y)14 设 f(x)在 x=x0 的邻域内连续，在 x=x0 的去心邻域内可导，且 证明：f(x 0)=M15 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(1)=0证明：存在 (0，1)，使得 f“()=16 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，证明：对任意的a0，b0，存在 ，(0 ，1) ，使得17 18 18 设点 A(1，0，0) ，B(0 ，1，1)，线段 AB 绕 z 轴一周所得旋转曲
4、面为 S19 求旋转曲面的方程；20 求曲面 S 介于平面 z=0 与 z=1 之间的体积21 设 z=z(x，y)满足22 已知 f(x， y)= ，设 D 为由 x=0、y=0 及 x+y=t 所围成的区域，求23 设 f(x)在0，a(a0)上非负、二阶可导，且 f(0)=0， 为 y=f(x)，y=0，x=a 围成区域的形心，证明：23 设 f(x)是连续函数24 求初值问题 的解，其中 a0；25 若f(x)k，证明：当 x0 时，有26 设非负函数 f(x)当 x0 时连续可微，且 f(0)=1由 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线围成的图形的面积与
5、 y=f(x)在0，x上弧的长度相等，求 f(x)考研数学二（高等数学）模拟试卷 25 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(0)=f(0)=0，所以 f“(0)=2，于是 ，选(C)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 A【试题解析】 不妨设 f(a)0，因为 f(x)在 x=a 处可导，所以 f(x)在 x=a 处连续，于是存在 0，当x-a 时，有 f(x)0，于是f(a)，即f(x)在 x=a 处可导，同理当 f(a)0 时，f(x)在 x=a 处也可导，选 (A)【知识模块】 高等数学部分3 【正确答
6、案】 D【试题解析】 选(D)【知识模块】 高等数学部分二、填空题4 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 13【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 1【试题解析】 因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)为奇函数，于是 f(0)=0，又因为 f“(x)在 x=0 的邻域内连续，所以 f(x)=f(0)+f(0)x+ x2+o(x2)=1+x2+o(x2)，于是【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 令 f(x)= 0(x0)，所以数列an单调又因为 a1=1，0a n+11，所以数列a
7、 n有界，从而数列 an收敛，令=A，则有【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 设 ，取 0=1，根据极限的定义，存在 X00，当xX 0 时，f(x)-A 0上连续，根据闭区间上连续函数有界的性质，存在 k0，当xa，X 0，有f(x)k取 M=maxA+1，k，对一切的 xa，+)，有f(x)M【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 把 x=1 代入不等式中，得 f(1)=2e当 x1 时，不等式两边同除以x-1 ，得【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 f(x)=f(c)+f(c)(x-c)+ (x-c)2，其中 介于 c 与 x 之间【知识模
8、块】 高等数学部分11 【正确答案】 分别令 x=0，x=1 ，得【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 令 ，因为 f(x)在a ，b上连续且单调增加，且 f(a)=a1c 2 n-1b，使得 f(c1)=a+h，f(c 2)=a+2h， ，f(c n-1)=a+(n-1)h，再由微分中值定理，得 f(c1)-f(a)=f(1)(c1-a)， 1(a，c 1)，f(c 2)=f(c1)=f(2)(c2-c1)， 2(c1，c 2)，f(b)-f(cn-1)=f(n)(b-cn-1)， n(cn-1，b)，【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导
9、数互为倒数，所以【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)-f(x0)=f()(x-x0)，其中 介于 x0 与 x 之间，由 =M，即f(x0)=M【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 令 (x)=(x-1)2f(x)，显然 (x)在0，1上可导由 f(0)=f(1)=0，根据罗尔定理，存在 c(0， 1)，使得 f(c)=0，再由 (c)=(1)=0，根据罗尔定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 ()=0，而 (x)=2(x-1)f(x)+(x-1)2f“(x)，所以 2(-1)f()+(-1)2f“()=0，整理得 f“()=【知识模块】 高等数
10、学部分16 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上连续，f(0)=0，f(1)=1，且 ，所以由端点介值定理，存在 c(0，1)，使得 由微分中值定理，存在(0， c)， (c，1) ，使得【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 令 x=tant，则【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 =-1，1，1)，直线 AB 的方程为 设对任意的M(x，y，z)S ，过 M 垂直于 z 轴的截口为圆，其与直线 AB 及 z 轴的交点为M0(x0，y 0，z)，T(0 ，0，z)，由MT=M 0T，得 x2+y2=x0
11、2+y02，因为 M0 在直线 AB 上，所以有 从而 代入 x2+y2=x02+y02 中得曲面方程为 S：x 2+y2=(1-z)2+z2，即 S：x 2+y2=2z2-2z+1【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 对任意的 z0，1，垂直于 z 轴的截口圆面积为 A(z)=(x2+y2)=(2z2-2z+1)【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 当 t【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 y+ay=f(x)的通解为 y=0xf(t)eatdt+Ce-ax， 由 y(0)=0 得 C=0，所以y=e-ax0xf(t)eatdt【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 当 x0 时，y=e -ax 0xf(t)eatdte ax0xke-atdt=【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 由 y(0)=1，得 C=1，所以【知识模块】 高等数学部分
