1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 29 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)连续可导，g(x) 连续，且 ，又 f(x)=-2x2+0xg(x-t)dt，则( ) （A）x=0 为 f(x)的极大点（B） x=0 为 f(x)的极小点（C） (0，0) 为 y=f(x)的拐点（D）x=0 既不是 f(x)极值点，(0，0)也不是 y=f(x)的拐点2 设 f(x)二阶连续可导，且 ，则( )（A）f(0)是 f(x)的极小值（B） f(0)是 f(x)的极大值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 是 f(x)的驻点但不
2、是极值点二、填空题3 当 x0 时，x-sinxcos2xcx k，则 c=_，k=_4 当 x0 时， -1cos 2x-1，则 a=_5 6 7 8 9 10 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 12 设 ，证明：数列a n有界13 已知 ，求 a，b 的值13 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，f(0)=0， ，f(1)=0证明：14 存在 ，使得 f()=；15 对任意的 k(-，+) ，存在 (0，) ，使得 f()-kf()-=116 设 f(x)在a，6上连续，且 f“(x)0，对任意的 x1，x 2a，b及 01+(1-)x2f(x1)+(1
3、-)f(x2)17 设 f(x)二阶可导， 且 f“(x)0证明：当 x0 时，f(x)x17 设 f(x)在(-a，a)(a0) 内连续，且 f(0)=218 证明：对 00xf(x)dt+0-xf(t)dt=xf(x)-f(-x)；19 20 证明： ，其中 a0 为常数21 设 u=f(x， y，xyz)，函数 z=z(x，y)由 exyz=xyzh(xy+z-t)dt 确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求22 已知二元函数 f(x，y)满足 且 f(x，y)=g(u，v) ，若 =u2+v2，求 a，b23 计算 (x+y2)dxdy，其中 D：x 2+y22x+2y-124 设
4、f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明：24 设函数 f(x)在0，+)内可导，f(0)=1，且25 求 f(x)；26 证明：当 x0 时，e -xf(x)127 设 A 从原点出发，以固定速度 v0 沿 y 轴正向行驶， B 从(x 0，0)出发(x 00)，以始终指向点 A 的固定速度 v1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程考研数学二（高等数学）模拟试卷 29 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 0xg(x-t)dt=0xg(t)dt 得 f(x)=-2x2+0xg(t)dt，f“(x)=-4x+g(
5、x)，即当 x(-，0)时，f“(x)0；当 x(0，)时，f“(x)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)二阶连续可导，且 ，即 f“(0)=0又 ，由极限的保号性，存在 0，当 0 ，即当 x(-，0)时，f“(x)0，当 x(0，) 时，f“(x)【知识模块】 高等数学部分二、填空题3 【正确答案】 ，3【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分4 【正确答案】 -3【试题解析】 因为 x0 时， cos2x-1=(cosx+1)(cosx-1)-x 2，且 -1cos 2-1，所以 a=-3【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 0【试题解析】 当
6、 x=0 时，t=0；当 t=0 时，由 y+ey=1，得 y=0【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 取 0=1，因为 ，根据极限定义，存在 N0，当 nN 时，有a n-A nA+1 取 M=maxa
7、 1，a 2，a N，A+1 ，则对一切的 n，有a nM【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 令 (x)=f(x)-x，(x)在0，1上连续， ，(1)=-1，使得 ()=0，即 f()=【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 设 F(x)=e-kx(x)，显然 F(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且F(0)=F()=0，由罗尔定理，存在 (0，)，使得 F()=0，整理得 f()-kf()-=1【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 令 x0=x1+(1-)x2，则 x0a，b，由泰勒公式得 f
8、(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+ (x-x0)2，其中 介于 x0 与 x 之间，因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)，于是 两式相加，得x 1+(1-)x2f(x1)+(1-)f(x2)【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 由 ，得 f(0)=0，f(0)=1，又由 f“(x)0 且 x0，所以f(x)f(0)+f(0)x=x【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt+0-xf(t)dt，显然 F(x)在0，x上可导，且 F(0)=0，由 微分中值定理存在 00xf(t)dt+0-
9、xf(t)dt=xf(x)-f(-x)【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 D：x 2+y22x+2y-1 可化为 D：(x-1) 2+(y-1)21，【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 等价于 01f2(x)dx01xf(x)dx01f(x)dx01xf2(x)dx，等价于 01f2(x)dx01yf(y)dy01f(x)dx01yf2(y)dy，或者 01dx01yf(x)f(y)f(x)-
10、f(y)dy0 令 I=01dx01yf(x)f(y)f(x)-f(y)dy，根据对称性，I= 01dx01xf(x)f(y)f(y)-f(x)dy，2I= 01dx01f(x)f(y)(y-x)f(x)-f(y)dy，因为 f(x)0 且单调减少，所以(y-z)f(x)-f(y)0，于是 2I0，或 I0，所以【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 (x+1)f(x)+(x+1)f(x)- 0xf(t)dt=0，两边求导数，得(x+1)f“(x)=-(x+2)f(x) 再由 f(0)=1，f(0)+f(0)=0，得 f(0)=-1，所以 C=-1，于是【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 当 x0 时，因为 f(x)-x，g(0)=0 ，g(x)=f(x)+e -x= 0，【知识模块】 高等数学部分27 【正确答案】 设 t 时刻 B 点的位置为 M(x，y)，则 ，即【知识模块】 高等数学部分
