1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 49 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=a 处可导，则 等于( )（A）f(a) （B） 2f(a) （C） 0 （D）f(2a)2 F(x)=cosx|sin2x|在(0，2)内( )（A）有一个不可导点（B）有两个不可导点（C）有三个不可导点（D）可导3 设 f(x)= 则 f(x)在 x=1 处( )（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导4 设 f(x)可导，且 F(x)=f(x)(1+|sinx|)在 x=0 处可导，则( )（A）f(0)=0（B） f(0)=0
2、（C） f(0)=f(0)（D）f(0)=一 f(0)5 设 f(x)可导，则下列结论正确的是( )6 若曲线 y=x2+ax+b 与曲线 2y=一 1+xy3 在(1，一 1)处相切，则( ) （A）a=3 ，b=1（B） a=1，b=3（C） a=一 1，b=一 1（D）a=1 ，b=17 设 f(x)二阶连续可导且满足 f“(x)+f2(x)=2x，且 f(0)=0，则( ) （A）x=0 为 f(x)的极大值点（B） x=0 为 f(x)的极小值点（C） (0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 既非 f(x)的极值点，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点8 若函数 f(
3、-x)=f(x)(一x+) ，在(一，0)内 f(x)0 且 f“(x)0，则在(0，+) 内有 ( )（A）f(x)0，f“(x)0（B） f(x)0，f“(x)0（C） f(x)0，f”(x)0（D）f(x)0，f“(x)09 设 f(x)二阶可导，且 f(x)0，f”(x)0，又y=f(x+x)一 f(x)，则当x0 时有( )（A）ydy0（B） ydy0（C） dyy0（D）dyy010 设 f(x)在( 一,+)上连续，F(x)= 0xf(t)dt，则下列命题错误的是( )（A）若 f(x)为偶函数，则 F(x)为奇函数（B）若 f(x)为奇函数，则 F(x)为偶函数（C）若 f(
4、x)为以 T 为周期的偶函数，则 F(x)为以 T 为周期的奇函数（D）若 f(x)为以 T 为周期的奇函数，则 F(x)为以 T 为周期的偶函数11 设 f(x)为连续的奇函数，且 ，则( )（A）x=0 为 f(x)的极小点（B） x=0 为 f(x)的极大点（C）曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线平行于 x 轴（D）曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线不平行于 x 轴12 设偶函数 f(x)有连续的二阶导数，并且 f“(0)0，则 x=0( )（A）不是函数的驻点（B）一定是函数的极值点（C）一定不是函数的极值点（D）不能确定是否是函数的极值点13 曲线 上 t=1 对应的点处的曲
5、率半径为( )14 下列曲线有斜渐近线的是( )（A）（B） y=x2+sinx（C）（D）y=x 2+sin2x二、填空题15 设 f(x)= 可导，则 a=_，b=_16 的斜渐近线为_17 函数 y=x2x 的极小值点为_18 函数 y=x+2cosx 在 上的最大值为_19 设函数 y=y(x)由 e2x+y-cosxy=e 一 1 确定，则曲线 y=y(x)在 x=0 对应点处的法线方程为_20 椭圆 2x2+y2=3 在点(1 ，一 1)处的切线方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设 f(x)= 求 f(x)22 设 存在，求 a23 24 求 f(x)
6、的连续区间及间断点25 求函数 的间断点，并进行分类26 设 f(x)在(0，1)内有定义，且 exf(x)与 e-f(x)在(0，1)内都是单调增函数，证明：f(x)在(0，1) 内连续27 设 f(x)= 若 F(x)=f(x)+g(x)在 R 上连续，求 a，b28 设 f(x)=3x2+x2|x|，求使得 f(n)(0)存在的最高阶数 n29 设函数 y=y(x)可导并满足 y“+(x 一 1)y+x2y=ex，且 y(0)=1，若求 a30 设 f(x)是以 4 为周期的可导函数，f(1)= 求y=f(x)在(5，f(5)处的法线方程31 已知微分方程 y+y=f(x)，其中 f(x
7、)= 求该微分方程的解 y=y(x)满足 y(0)=0考研数学二（高等数学）模拟试卷 49 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 应选(B)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 F(x)=0x= 不可导， F-()F+()同理故 F(x)=cosx|sin2x|在(0，2)内有一个不可导点，应选(A)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(10)=f(1)=1，f(1+0)=1 得 f(x)在 x=1 处极限存在且连续因为 f-(1)=f+(1)=2，所以 f(1)=2，应选(D)【知
8、识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 F(0)=f(0) ，因为 F(x)在 x=0 处可导，所以 F-(0)=F+(0)，于是 f(0)=0，故应选(A)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 应选(B)事实上，对任意的 M0，因为 =+，所以存在 X00，当 xX0 时，有 f(x)M0当 xX 0 时，f(x)一 f(X0)=f()(xX0)M(xX0)(X0x)，从而f(x)f(X0)+M(x-X0)，两边取极限得【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 由 y=x2+ax+b 得 y=2x+a； 2y=一 1+xy3 两边对 x 求导得 2
9、y=y3+3xy2y，解得 因为两曲线在(1，一 1)处相切，所以解得 a=一 1，b= 一 1，应选(C)【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 C【试题解析】 取 x=0 得 f“(0)=0 由 f“(x)+f2(x)=2x 得 f“(x)+2f(x)f“(x)=2，从而f“(0)=2因为 ，所以存在 0，当 0|x| 时，从而 故(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点，应选(C)【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)为奇函数，f“(x) 为偶函数，从而在(0，+) 内有 f(x)0，f“(x) 0，应选(C)【知识模块】 高等数学
10、9 【正确答案】 A【试题解析】 y=f(x+x)一 f(x)=f(c)x(xcx+x)，由 f(x)0，f“(x)0 得f(c)xf(x) x0，即ydy0，应选(A)【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 C【试题解析】 取 f(x)=1 一 cosx，f(x) 是以 2 为周期的偶函数，而 F(x)=0x(1 一cost)dt=xsinx，F(x)不是以 2 为周期的奇函数，应选(C)【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 C【试题解析】 由 得 f(0)=0，f(0)=0 ，则曲线 y=f(x)在 x=0 的切线平行于 x 轴，应选(C) 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】
11、B【试题解析】 因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)为奇函数，从而 f(0)=0因为 f(0)=0，而 f”(0)0，所以 x=0 一定是 f(x)的极值点，应选(B)【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 高等数学二、填空题15 【正确答案】 a=3，b=一 2【试题解析】 f(10)=f(1)=a+b，f(1+0)=1， 因为 f(x)在 x=1 处连续，所以a+b=1； 因为 f(x)在 x=1 处可导，所以 a=3，故 a=3，b= 一 2【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 y=一 x 一
12、 2 及 y=x+2【试题解析】 y=x+2 为曲线的另一条斜渐近线【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【试题解析】 令 y=2x+x2xln2=2x(1+xln2)=0 得 当时，y0，故 x= 为函数 y=x2x 的极小值点【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【试题解析】 令 y=12sinx=0 得 y“=一 2cosx，因为为 y=x+2cosx 的极大值点，也是最大值点，故最大值为【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【试题解析】 当 x=0 时，y=1，e 2x+y 一 cosxy=e 一 1 两边对 x 求导得【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 y=2x 一
13、 3【试题解析】 2x 2+y2=3 两边对 x 求导得 4x+2yy=0，即 所求的切线方程为 y+1=2(x 一 1)，即 y=2x 一 3【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 因为 f(0 一 0)f(0+0)，所以【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 f(x)的连续区间为(一 ，1) (1，+)因为 =+，所以 x=1 为 f(x)的第二类间断点【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 x=0，x=1 及 x=2 为函数的间断点【知识模块】 高等
14、数学26 【正确答案】 对任意的 c(0，1)， 当 xc 时，由 exf(x)ecf(c)及 e-f(x)e-f(x)得f(c)f(x)ec-xf(c)， 令 xc -得 f(c 一 0)=f(c)； 当 xc 时，由 exf(x)exf(c)及 e-f(x)e-f(c)得 f(c)f(x)ec-xf(c)， 令 xc +得 f(c+0)=f(c)， 因为 f(c-0)=f(c+0)=f(c)，所以 f(x)在 x=c 处连续，由 c 的任意性得 f(x)在(0，1) 内连续【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 F(一 1)=f(一 1)+g(一 1)=11=0，F(一 10)=f(-1
15、-0)+g(一 1 一 0)=a 一 1，F(一 1+0)=f(-1+0)+g(一 1+0)=11=0，由 F(x)在 x=一 1 处连续，所以 a=1；F(1)=f(1)+g(1)=一 1+b，F(10)=f(10)+g(10)=一 1+1=0，F(1+0)=f(1+0)+g(1+0)=一 1+b，由 F(x)在 x=1 处连续得 b=1，故 a=1，b=1 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 因为 f-“(0)f+“+(0)，所以 f“(0)不存在，故 f(n)(0)存在的最高阶数为 n=2【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 由 得 y(0)=0，将 y(0)=0，y(0)=1 代入原方程得 y“(0)=2，故 a=1【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 因为 f(x)以4 为周期，所以 f(5)=f(1)= f(5)=f(1)= 一 2，故 y=f(x)在(5，f(5)的法线方程为【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 当 0x1 时，y+y=2 的通解为 y=C 1e-x+2； 当 x1 时，y+y=0的通解为 y=C 2e-x， 由 y(0)=0 得 C1=-2，再由 C1e-1+2=C2e-1 得 C2=2e 一 2，故所求的特解为【知识模块】 高等数学
