1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 52 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 记 则( )（A）PQR（B） QR P（C） QP R（D）RP Q2 (1)下列广义积分收敛的是( ) 3 下列广义积分发散的是( )二、填空题4 已知 F(x)为函数 f(x)的一个原函数，且 f(x)= 则 f(x)=_5 设 f(sin2x)=cos2x+tan2x，则 f(x)=_(0x1)6 7 8 设 f(x)=x+0af(x)dx，a1，则 0af(x)dx=_9 设封闭曲线 L 的极坐标方程为 r=cos3 则 L 所围成的平面图形的面积为_10 区域 D：(
2、x 2+y2)2x2 一 y2 所围成的面积为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 f(lnx)=1+x，且 f(0)=1，求 f(x)12 设 f(x)= 且 f(0)=1，求 f(x)13 设 f(lnx)= 又 f(1)=e，求 f(x)14 设 x0，可微函数 y=f(x)与反函数 x=g(y)满足 0f(x)g(t)dt= 求 f(x)15 设函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=0，且其反函数为 g(x)若 0f(x)g(t)dt=x2ex，求f(x)16 设 f(x)在( 一，+)内可微，且 f(0)=0，又 f(lnx)= 求 f(x)的表达式17
3、18 求不定积分19 求不定积分20 求不定积分21 求不定积分sin 4xcos 3xdx22 求不定积分23 求不定积分24 求不定积分25 求不定积分26 求不定积分27 求不定积分28 求不定积分cos(lnx)dx29 30 设连续函数 f(x)满足 0xtf(xt)dt=1cosx，求31 设函数 y=y(x)满足微分方程 y“一 3y+2y=2ex，且其图形在点(0 ，1)处的切线与曲线 y=x2 一 x+1 在该点的切线重合，求函数 y=y(x)考研数学二（高等数学）模拟试卷 52 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试
4、题解析】 Q=-11(x3cosx-e-x)dx=一 -11e-xdx0， 三者的大小为 QP R ，应选(C)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 1+e-xdx=一 e-x|1+=e-1 收敛，应选(A)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 一 x2 一 ln(1 一 x)+C【试题解析】 则 f(x)=一 x2 一 ln(1 一 x)+C【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识
5、模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 令 A=0af(x)dx，则 f(x)=x+A，两边积分得【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 曲线所围成的平面图形的面积为【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 1【试题解析】 设区域 D 位于第一卦限的区域为 D1，由对称性，区域 D 的面积为 A=4A1=1【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 由 f(lnx)=1+x 得 f(x)=1+ex， f(x)=x+e x+C， 由 f(0)=1 得 C=0，故f(x)=x+ex【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识
6、模块】 高等数学13 【正确答案】 由 f(x)连续得 f(x)连续，又由f(1-0)=f(1)=e+C1，f(1+0)=e+C 2 且 f(1)=e 得 C1=C2=0，【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 0f(x)g(t)dt=x2ex 两边求导得 gf(x)f(x)=(x 2+2x)ex，整理得 f(x)=(x+2)ex，则 f(x)=(x+1)ex+C， 由 f(0)=0 得 C=一 1，故 f(x)=(x+1)ex 一 1【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 由 f(0)=0得 C1=0，C 2=一 2，故 f(x)=【知识模块】
7、高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 sin 4xcos3xdx=sin4x(1 一 sin2x)d(sinx)=(sin4xsin6x)d(sinx)=【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答
8、案】 【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 由 0xtf(x 一 t)dt x0xf(u)du 一 0xuf(u)du 得 x0xf(u)du 一0xuf(u)du=1 一 cosx两边求导得 0xf(u)du=sinx，故【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 特征方程为 2 一 3+2=0，特征值为 1=1， 2=2，y“一 3y+2y=0的通解为 y=C1ex+C2e2x 令特解 y0=axex，代入得 a=一 2， 原方程的通解为y=C1ex+C2e2x 一 2x ex 曲线 y=x2 一 x+1 在(0，1)处的斜率为 y|x=0=一 1，由题意得y(0)=1，y(0)=一 1，从而 解得 C1=1，C 2=0， 故所求的特解为y=ex 一 2xex【知识模块】 高等数学
