1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 57 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 (xa)，则 等于( )（A）e（B） e2（C） 1（D）2 设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0 时有 f(x)0，f(x) 0，则当 x0 时有 ( )（A）f(x)0，f(x)0（B） f(x)0，f(x)0（C） f(x)0，f(x)0（D）f(x)0，f(x)03 设 f(x)在a，+)上二阶可导， f(a)0，f(a)=0，且 f(x)k(k0)，则 f(x)在(a， +)内的零点个数为( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个二、填空题4
2、=_.5 设 f(x)连续，且 =_.6 设 f(x)=x2 ，则 f(x)=_7 设函数 y=y(x)由 确定，则 y=y(x)在 x=ln2 处的法线方程为_8 求 =_.9 设函数 y=y(x)满足y= c+o(c)，且 y(1)=1，则 02y(x)dx=_10 上的平均值为_11 设 z=xf(x+y)+g(xy，x 2+y2)，其中 f，g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则=_.12 设 f(x)= D 为 xOy 面，则 f(y)f(c+y)dxdy=_13 设 y(x)为微分方程 y-4y+4y=0 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=2 的特解，则 01y(x)dx=_
3、三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 f(x)连续，f(0)=0 ，f(0)0，F(x)= 0xtf(t2-x2)dt，且当 x0 时，F(x)x n，求 n及 f(0)15 证明：16 设 f(x)在0，1上可导， f(0)=0，f(x) f(x)证明：f(x)0，x0 ，117 设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，对任意的 x1，x 2a，b及 01，证明：fx1+(1-)x218 就 k 的不同取值情况，确定方程 x3-3x+k=0 根的个数19 设 f(x)二阶连续可导，且 f(x)0，又 f(x+h)=f(x)+f(x+h)h(0 1)证明：20 21
4、设 an= tannxdx(n2)，证明：22 设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f(x)0证明：23 设 ，其中 f(s，t)二阶连续可偏导，求 du 及24 计算 (x2+y2)dy+02dx (x0+y0)dy25 设函数 f(x)满足 xf(x)-2f(x)=-x，且由曲线 y=f(x)，x=1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为 D若 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：(1)曲线 y=f(x)；(2)曲线在原点处的切线与曲线及直线 x=1 所围成的平面图形的面积考研数学二（高等数学）模拟试卷 57 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要
5、求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 ，所以 =0于是选(D)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)为二阶可导的奇函数，所以 f(-x)=-f(x)，f(-x)=f(x) ，f(-x)=-f(x)，即 f(x)为偶函数，f(x)为奇函数，故由 x0 时有 f(x)0，f(x) 0，得当 x0 时有 f(x)0，f(x)0，选(A)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(a)=0，且 f(x)k(k0)，所以 f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+(x-a)2，其中 介于 a 与 x 之间而(x-a)2=+，故 f(x)=+，再由
6、 f(a)0 得 f(x)在(a，+)内至少有一个零点又因为 f(a)=0，且 f(x)k(k0)，所以 f(x)0(xa)，即 f(x)在a，+) 单调增加，所以零点是唯一的，选(B)【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 1【试题解析】 因为所以【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 1【试题解析】 0xtf(x-t)dt x0(x-u)f(u)(-du)=x0xf(u)du-0xuf(u)du， 02arctan(x-t)2dt x0arctanu2(-du)=0xarctanu2du，则【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 2x(1+4x)e 8x【试题解析】 由 f(x)
7、=x2 =x2=x2e8x，得 f(x)=2xe8x+8x2e8x=2x(1+4x)e8x【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 当 x=ln2 时， t=1；当 t=1 时，y=0 (1)当 t=-1 时，由=-1， 0xeu2du+t21arcsinudu=0 两边对 t 求导数得 ey2 -2tarcsint2=0，则 ，则法线方程为 y= (x-ln2)；(2)当 t=1 时，由 =1 0yeu2du+t21arcsinudu=0 两边对 t 求导得 ey2 2tarcsint2=0则 ，法线方程为 y= (x-ln2)，即法线方程为 y= (x-ln2)【知识模块】 高
8、等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 因为 ，于是由y(1)=1 得 C=0，故 y(x)= 01y(x)dx=01(x-1)【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 f+xf+x y-1g1+yxy-1lnxg1+yx2y-1lnxg11+2y2xy-1g12+2xy+1lnxg21+4xyg22【试题解析】 由 x=xf(x+y)+g(xy，x 2+y2)，得 =f(x+y)+xf(x+y)+yxy-1g1(xy，x 2+y2)+2xg2(xy，x 2+y2) =f+xf+xy-1
9、g1+yxy-1lnxg1+yx2y-1lnxg11+2y2xy-1g12+2xy+1lnxg21+4xyg22【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 在 D1=(x，y) x+ ，0y1上，f(y)=y ；在 D0：0x+y1 上，f(x+y)=x+y，则在 D0=D1D0=(x，y)-yx1-y，0y1上，f(y)f(x+y)=y(x+y)，所以 f(y)f(x+y)dxdy=01dy-y1-yy(x+y)dx= .【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 (e2-1)【试题解析】 y-4y+4y=0 的通解为 y=(C1+C2x)e2x，由初始条件 y(0)=1，y(0)
10、=2得 C1=1，C 2=0，则 y=e2x，于是 01f(x)dx= 02exdx= e2 02= (e2-1)【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 F(x)= 0xtf(t2-x2)dt= 0xf(t2-x2)d(t2-x2)= -x22f(u)du= 0-x2f(u)du，【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 当 x1，2 时有 1 ，则 112 dx，当 x2，3时有当 xn，n+1时有 从而有=ln(n+1)又当 x1，2 时，当 x2，3 时， 当 xn-1，n时， 从而有=1+lnn，故由迫敛定理得【知识模块】 高等数学1
11、6 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上可导，所以 f(x)在0，1上连续，从而f(x)在0， 1上连续，故 f(x)在0，1上取到最大值 M，即存在 x0，1，使得f(x 0)=M 当 x0=0 时，则 M=0，所以 f(x)0，x0，1；当 x00 时，M=f(x 0)=f(x 0)-f(0)=f()x 0f() f() 其中 (0，x 0)，故M=0，于是 f(x)0，x0 ，1 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 不妨设 ab，由微分中值定理，存在 1(0，a) ， 2(b，a+b)，使得 两式相减得 f(a+b)-f(a)-f(b)=f(2)-f(1)a因为f(x)0，所以
12、 f(x)单调增加，而 1 2，所以 f(1)f( 2)，故 f(a+b)-f(a)-f(b)=f(2)=f(1)a0，即 f(a+b)f(a)+f(b) 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 令 f(x)=x3-3x+k， 由 f(x)=3x2-3=0，得驻点为 x=-1，x=1 f(x)=6x，由 f(-1)=-6，f(1)=6 ，得 x1=-1，x 2=1分别为 f(x)的极大值点和极小值点，极大值和极小值分别为 f(-1)=2+k，f(1)=k-2(1)当 k -2 时，方程只有一个根；(2) 当 k=-2 时，方程有两个根，其中一个为x=-1，另一个位于(1，+)内；(3)当-2
13、 k2 时，方程有三个根，分别位于 (-，-1)，(-1，1)，(1，+) 内；(4) 当 k=2 时，方程有两个根，一个位于 (-，-1) 内，另一个为 x=1； (5)当 k2 时，方程只有一个根【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 由泰勒公式得 f(x+h)=f(x)+f(x)h+ h2其中 介于 x 与 x+h之间由已知条件得 f(x+h)h=f(x)h+ h2，或 f(x+h)-f(x)= ，两边同除以 h，得 而两边取极限得 f(x)【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 a n+an+2= (1+tan2x)tannxdx= tan
14、nxd(tanx)=，同理 an+an-2= ，因为 tannx，tan n+2x 在 上连续，tan nxtann+2x，且 tannx，tan n+2x 不恒等，所以 tannxdx tann+2xdx，即ana n+2，于是 =an+an+22a n，即以 an ，同理可证 an【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 由泰勒公式得，其中 介于 x 与 之间，因为 f(x)0，所以有 f(x)，两边积分得 abf(x)dx(b-a)令 (x)= f(x)+f(a)-axf(t)dt，且 (a)=0，(x)= f(x)+f(a)+ f(x)-f(x)= f(x)-f(a)= (x-a)f(
15、x)-f()，其中 ax，因为 f(x)0，所以 f(x)单调不减，于是 (x)0(axb)，由得 (b)0，于是 abf(x)dx f(a)+f(b)，故(b-a)abf(x)dx f(a)+f(b)【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 令【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 (1)由 xf(x)-2f(x)=-x f(x)- f(x)=-1 f(x)=x+cx2设平面图形 D绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V，则 V(c)=01(x+cx2)2dx因为 V(c)= 0，所以 c= 为 V(c)的最小值点，且曲线方程为 f(x)=x- x2.(2)f(x)=1-，f(0)=1，曲线 f(x)=x- x2 在原点处的切线方程为 y=x，则 A=01x-(x- x2)dx=【知识模块】 高等数学
