1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 59 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y+Py+qy=sin2x+2ex 的满足初始条件f(0)=f(0)-0 的特解，则当 x0 时， ( )（A）不存在（B）等于 0（C）等于 1（D）其他2 设 f(x)在 x=a 的邻域内有定义，且 f+(a)与 f-(a)都存在，则 ( )（A）f(x)在 x=a 处不连续（B） f(x)在 x=a 处连续（C） f(x)在 x=a 处可导（D）f(x)在 x=a 处连续可导3 曲线 的渐近线的条数为( )（A）0 条（B） 1
2、条（C） 2 条（D）3 条4 设 F(x)=xx+2esintsintdt，则 F(x)( )（A）为正常数（B）为负常数（C）为零（D）取值与 x 有关5 设 D=(x， y)0x 0y，则 sinxsiny.maxx，yd 等于( )6 二阶常系数非齐次线性微分方程 y-2y-3y=(2x+1)e-x 的特解形式为( )（A）(ax+b)e -x（B） x2e-x（C） x2(ax+b)e-x（D）x(ax+b)e -x二、填空题7 =_.8 =_.9 设函数 满足 f(x)= =_.10 设 F(x)=0x(x2-t2)f(t)dt，其中 f(x)在 x=0 处连续，且当 x0 时，F
3、(x)x 2，则f(0)=_11 求 =_.12 0 =_.13 设 z=f(x，y)二阶可偏导， ，且 f(x，0)=1，f y(x，0)=x，则 f(x，y)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 a0， x10，且定义 xn-1= (n=1，2，)，证明： xn 存在并求其值15 求极限16 设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0 且 f(x)=-1证明：存在 (0，1)，使得 f()817 设 f(x)二阶可导， 且 f(x)0证明：当 x0 时，f(x)x18 设 f(x)在-1 ，1 上可导，f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f(0)=0，f(0)=
4、4 求19 求 的最大项20 21 设 f(x)在(-，+) 上有定义，且对任意的 x，y(- ，+)有f(x)-f(y)x-y证明： abf(z)dx-(b-a)f(a) (b-a)222 设直线 y=ax 与抛物线 y=x2 所围成的图形面积为 S1，它们与直线 x=1 所围成的图形面积为 S2，且 a1 (1)确定 a，使 S1+S2 达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积23 设 z=0x2+y2，求24 计算二重积分 (x0+4x+y0)dxdy，其中 D 是曲线(x 0+y0)0=a0(x0-y0)围成的区域25 一条曲线经过点
5、(2，0)，且在切点与 y 轴之间的切线长为 2，求该曲线考研数学二（高等数学）模拟试卷 59 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(0)=f(0)=0，所以 f(0)=2，于是 ，选(C)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f+(a)存在，所以 f(x)=f(a)，即f(x)在 x=a 处右连续，同理由 f-(a)存在可得 f(x)在 x=a 处左连续，故 f(x)在 x=a 处连续，选(B) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 ，所以曲线 无水平渐近线；由，得曲
6、线 有两条铅直渐近线；由，得曲线 有一条斜渐近线 y=x，选(D)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 由周期函数的平移性质，F(x)= xx+2esintsintdt=-esintsintdt，再由对称区间积分性质得 F(x)=0(esintsin-e-sintsint)dt=0(esint-e-sint)sintdt，又(e sint-e-sint)sint连续、非负、不恒为零，所以 F(x)0，选(A) 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 根据对称性，令 D1=(x，y)0x，0yx， sinxsiny.maxx，yd= xsinxsinyd=20x
7、sinxdx2xsinydy=20xinx(1-cosx)dx=20xsinxdx-20xsinxcosxdx=0sinxdx-0xd(sin2x)= 选(B)【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 D【试题解析】 方程 y-2y-3y=(2x+1)e-x 的特征方程为 2-2-3=0，特征值为 1=-1， 2=3，故方程 y-2y-3y=(2x+1)e-x 的特解形式为 x(ax+b)e-x，选(D)【知识模块】 高等数学二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 由 0xtsin(x2-t2)dt= 0xsin(x2-t2)d(x2-t2)= 0x2sinudu，得【知识模块】 高等数学8
8、【正确答案】 2【试题解析】 当 x0 时，有 1-cosax x2，则 (2x)2=x2，原式=【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 由 y= 得于是【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 F(x)=x 0xf(t)dt-0xtf(f)dt，F(x)=2xf(t)dt，因为当 x0 时，F(x)x 2，所以 =1而=2f(0)，故 f(0)=【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 y 2+xy+1【试题解析】 由 =2y+(x)，因为 fy(x，0
9、)=x ，所以 (x)=x，即=2y+x，z=y 2+xy+C，因为 f(x，0)=1，所以 C=1，于是 z=y2+xy+1【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 因为正数的算术平均数不小于几何平均数，所以有从而 xn+1-xn= 0(n=2，3，)，故x nn=2 单调减少，再由xn0(n=2，3，)，则 xn 存在，令 xn=A，等式 xn+1= 两边令n得 A= 解得【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 由 (i=1，2，n)，得由迫敛定理得【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上二阶可导，所以 f(x
10、)在0，1上连续且 f(0)=f(1)=0， f(x)=-1，由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在0，1取到最小值且最小值在(0，1) 内达到，即存在 c(0，1)，使得 f(c)=-1，再由费马定理知 f(c)=0，根据泰勒公式 f(0)=f(c)+f(c)(0-c)+ (0-c)2， 1(0，c)f(1)=f(c)+f(c)(1-c)+(1-c)2， 2(c，1)整理得 f(1)= ，f( 2)= 当 c 时，f( 1)=8，取 =1；当 c 时，f( 2)= 8，取 =2所以存在 (0，1)，使得 f()8【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 由 =1，得 f(0)=0，f(0)
11、=1 ，又由 f(x)0 且 x0，所以f(x)f(0)+f(0)x=x【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 对 x0，有 ln(1+x)x所以原式=2【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 令 f(x)= (x1)，由 f(x)= ，令f(x)=0 得 x=e当 x(0，e)时，f(x)0；当 x(e， +)时，f(x)0，则 x=e 为 f(x)的最大点，于是 的最大项为 因为 ，所以最大项为【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 令 ，则【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 因为(b-a)f(a)= abf(a)dx，所以 abf(x)dx-(b-a)f(a)= abf(x)
12、-f(a)dx abf(x)-f(a)dx ab(x-a)dx= (x-a) ab= (b-a)2【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 (1)直线 y=ax 与抛物线 y=x2 的交点为(0，0)，(a，a 2)当 0a 1时，S=S 1+S2=0a(ax-x2)dx+a1(x2-ax)dx= 令 S=a2-时，S 1+S2 取到最小值，此时最小值为 当 a0 时，S= a(ax-x2)dx+01(x2-ax)dx=因为 S= (a2+1)0，所以 S(a)单调减少，故 a=0 时 S1+S2 取最小值，而 S(0)= =S(0)，所以当 a= 时，S1+S2 最小(2) 旋转体的体积为【
13、知识模块】 高等数学23 【正确答案】 =2xex2+y2， =2ex2+y2+4x2ex2+y2， =2yex2+y2， =2ex2+y2+4y2ex2+y2，则=41+(x2+y2)ex2-y2【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 根据对称性 (x2+4x+y2)dxdy= (x2+y2)dxdy，其中 D1 是 D 位于第一卦限的区域令 则(x2+y2)dxdy= cos22d(2)= 故 (x2+4x+y2)dxdy=【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 曲线在点(x，y)处的切线方程为 Y-y=y(X-x)，令 X=0，则 Y=y-xy，切线与 y 轴的交点为(0，y-xy) ，由题意得 x2+x2y2=4，解得 y= ，变量分离得 dy= ，积分得因为曲线经过点(2，0)，所以C=0，故曲线为 y=【知识模块】 高等数学
