1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)= 则在点 x=0 处 f(x)( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但导数不连续（D）导数连续2 设 M= (sin3x+cos4x)dx，P= (x2sin3x-cos4x)dx，则有( )（A）N0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数17 18 19 02sinx-cosxdx20 设 f(2)= ，f(2)=0 ， 02f(x)dx=1，求 01x2f“(2x)dx21 求双纽线(x 2+y2)2=a2(x2-y2)所围成的面积22 设 u=f(x
2、+y，x 2+y2)，其中 f 二阶连续可偏导，求23 设变换 ，求常数 a24 改变积分次序25 计算 ，其中 D=(x，y)x 2+y21，x0，y026 求微分方程 y“+2y-3y=(2x+1)ex 的通解考研数学二（高等数学）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 ，所以 f(x)在 x=0 处连续；由 ，得 f(x)在x=0 处可导，且 f(0)=0；当 x0 时，f(x)=3x 2sin -xcos ；当 x，所以 f(x)在 x=0 处导数连续，选(D)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案
3、】 D【试题解析】 M= cos4xdx=0N= (sin3x+cos4x)dx= cos4xdx0，P=(x2sin3x-cos4x)dx= cos4xdx【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 C【试题解析】 因为原方程的特征方程的特征值为 1=-2， 2=3，而-2 为其中一个特征值，所以原方程的特解形式为 x(ax+b)e-2x，选(C)【知识模块】 高等数学部分二、填空题4 【正确答案】 1【试题解析】 因为 ，所以当 x0 +时 x-1=exlnx-1xlnx，从而原式=1【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 a 2f(a)【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分6 【正
4、确答案】 y=-x+【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 【试题解析】 +2xyg(x2+y2)，+y2f“(xy)+2xg(x2+y2)+4xy2g“(x2+y2)【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 因为当 x0 时， -1x 2，xln(1+2x)2x 2，所以【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 x=-1、x=0、x=1、x=2 为 f(x)的间断点，由得
5、 x=-1 为第二类间断点，由得 x=0 为可去间断点，由得 x=1 为第二类间断点， 由 f(2+0)= 得 x=2 为第二类间断点【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 由【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 因为 =f(0)=g(0)，所以 g(x)在 x=0 处连续当 x0 时，g(x)= 当 x=0 时，由得 g(0)= f“(0)，即 g(x)=【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 因为所以g(x)在 x=0 处连续【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 对任意的 x1，x 2(a，b)且 x1x2，取 x0= ，由泰勒公式得f
6、(x)=f(x0)+f(x0)(x=x-x0)+ (x-x0)2，其中 介于 x0 与 x 之间因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)，“=”成立当且仅当“x=x 0”，两式相加得 f(x0)由凹函数的定义，f(x)在(a， b)内为凹函数【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 令 =t则 x=ln(1+t2)，dx= 则【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 01x2f“(2x)dx= 01(2x)2f“(2x)d(2x)= 02x2f“(x)dx= 02x/
7、2df(x)=x2f(x) 02-202xf(x)dx= 02xdf(x)= xf(x) 02-02f(x)dx= 2f(2)-1=0【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 根据对称性，所求面积为第一卦限面积的 4 倍，令 则双纽线的极坐标形式为 r2=a2cos2(0 )，第一卦限的面积为所求面积为 A=4A1=a2【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 f1+2xf2， =f1+2yf2， =f“11+2xf“12+2f2+2x(f“21+2xf“22)=f“11+4xf“12+4x2f“22+2f2， =f“11+2yf“12+2f2+2y(f“21+2yf“22)=f“11
8、+4yf“12+4y2f“22+2f2，则 =2f“11+4(x+y)f“12+4(x2+y2)f“22+4f2【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 将 u，v 作为中间变量，则函数关系为 z=f(u，v)， 则有将上述式子代入方程=0根据题意得解得 a=3【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 因为 D=(x，y)a- xy，0ya ，所以【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 由极坐标法得【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 特征方程为 2+2-3=0，特征值为 1=1， 2=-3，则 y“+2y-3y=0 的通解为 y=C1ex+C2e-3x令原方程的特解为 y0=x(ax+b)ex，代入原方程得所以原方程的通解为 y=C1ex+C2e-3x+ (2x2+x)ex【知识模块】 高等数学部分
