1、考研数学（数学一）模拟试卷 290 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若函数 y=f(x)有 f(x0)=1/2，则当缸 x0 时，该函数在 x=x0。点外的微分 dy 是( )（A）与x 等价的无穷小（B）与 x 同阶的无穷小（C）比 x 低阶的无穷小（D）比x 高阶的无穷小2 设 ，则存在函数 u=u(x)，使( )（A）I 1=I2+x（B） I1=I2-x（C） I2=-I1（D）I 2=I13 若 ，则级数 ( )（A）发散（B）收敛于 0（C）收敛于 1/b1（D）其敛散性不确定4 设 ，其中 f 为连续的奇函数，D 是由 y=-x3，x
2、=1，y=1 所围成的平面闭域，则 k 等于( )（A）0（B） 2/3（D）25 A 是 n 阶矩阵，且 A3=0，则( )（A）A 不可逆，层-A 也不可逆（B） A 可逆，E+A 也可逆（C） A2-A+E 与 A2+A+E 均可逆（D）A 不可逆，且 A2 必为 06 已知 A=(aij)nn，B=(b ij)mn，且有关系 bij=aij+ akjbik(i,j=1，2，n)，则下列关系式正确的是( ) （A）A(B+E)=B（B） (B+E)A=B（C） B(A-E)=A（D）(E-A)B=A7 设 X 服从正态分布 N(0，2 2)，而 X1，X 2，X 15 为来自总体 X 的
3、简单随机样本，则随机变量 所服从的分布为( )（A） 2(15)（B） t(14)（C） F(10， 5)（D）F(1，1)8 设 X1 和 X2 任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f1(x)和 f2(x)，分布函数分别为 F1(x)和 F2(x)，则( )（A）f 1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度（B） f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度（C） F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数（D）F 1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数二、填空题9 已知曲线 y=x3-3a2x+b 与 x 轴相切，则 b2 可以通过 a 表示为 b2
4、=_10 周期为 2 的函数 f(x)在- ，) 上定义为 f(x)= ，设 f(x)的傅里叶级数的和函数为 S(x)，则 S(2)=_11 设函数 y=y(x)由参数方程 所确定，则 d2y/dx2=_12 若 =_13 设 A= ，A *是 A 的伴随矩阵，则(A *)-1=_14 一射手对同一目标独立地进行 4 次射击，若至少命中一次的概率 80/81，则该射手的命中率为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)= ，求 13(x-2)dx16 设函数 u(x，y) ，v(x，y) 在 D：x 2+y21 上一阶连续可偏导，又 f(x)=v(x，y)i+u(x
5、，y)j，g(x，y)= ，且在区域 D 的边界上有 u(x，y)1，v(x，y)y，求17 设 f(x)为0，1上的单调增加的连续函数，证明18 设二阶常系数微分方程 y+ay+y=e2x 有一个特解为 y=e2x+(1+x)ex，试确定a， 和此方程的通解19 证明方程 lnx= 在区间(0， +)内有且仅有两个不同实根20 设四阶矩阵 B= ，且矩阵 A 满足关系式A(E-C-1B)TCT=E，其中 E 为四阶单位矩阵，C -1 表示 C 的逆矩阵，C T 表示 C 的转置矩阵，将上述关系式化简并求矩阵 A21 设 A，B 为同阶方阵，()如果 A， B 相似，试证 A，B 的特征多项式
6、相等()举一个二阶方阵的例子说明() 的逆命题不成立()当 A，B 均实对称矩阵时，试证()的逆命题成立22 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等，以X 表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 X 的概率分布(信号灯的工作是相互独立的)23 设总体 X 服从(0，)( 0)上的均匀分布，x 1，x 2，x n 是来自总体 x 样本，求 的最大似然估计量与矩估计量考研数学（数学一）模拟试卷 290 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试
7、题解析】 由导数与微分的关系 (当x=dx0)，dy 是与x 同阶且不等价的无穷小应选(B) 2 【正确答案】 D【试题解析】 应选(D)3 【正确答案】 C【试题解析】 4 【正确答案】 B【试题解析】 如图： 加一条曲线 y=x3，将 D 分为 D1 和 D2，因为 f 为奇函数，所以 f(-xy)=-f(xy)，而 D1，D 2 分别对称 y 轴和 x 轴，故有 从而原积分 故应选(B)5 【正确答案】 C【试题解析】 由A 3=A 3=0 知 A 不可逆，而 (E-A)(E+A+A 2)=E-A3，(E+A)(E-A+A2)=E+A3 知，E-A ，E+A ，E+A+A 2，E-A+A
8、 2 均可逆由行列式性质A 3=A 3=0，可知 A 必不可逆，但从 (E-A)(E+A+A 2)=E-A3=E，(E+A)(E-A+A2)=E+A3=E，知 E-A ，E+A，E+A+A 2，E-A+A 2 均可逆当 A3=0 时，A 2 是否为 0 是不能确定的，例如：A 1= ，有 A13=0，但A120，A 23=0，且 A22=o，故选 (C)6 【正确答案】 B【试题解析】 由关系 bij=aij+ 得B=A+BA，从而得 B=(E+B)A故应选(B)7 【正确答案】 C【试题解析】 ，(C)是答案8 【正确答案】 D【试题解析】 首先可否定选项(A)与(C) ，因F1(+)+F2
9、(+)=1+1=21对于选项(B)，若 f1(x)= 则对任何x(-， +)， f1(x)f2(x)0， -+f1(x)f2(x)=01，因此也应否定(C)，综上分析，用排除法应选(D) 进一步分析可知，若令 X=max(X1，X 2)，而 Xif i(x)，i=1，2， 则X 的分布函数 F(x)恰是 F1(x)F2(x) F(x)=Pmax(X 1，X 2)x=PX1x，X 2x=PX1xPX2x=F1(x)F2(x)故应选(D) 二、填空题9 【正确答案】 4a 6【试题解析】 由题设，曲线 Y=X3-3a2x+b 与 x 轴相切，设切点为 (x0，0)， 则y x=x0=3x02-3a
10、2=0，即 x02=a2又由切点在曲线上，则 0=x03-3a2x0+b， 因而b=2x03 b2=4x06=46，所以 b2 可以通过 a 表示为 b=4a610 【正确答案】 -(/2)【试题解析】 因 f(x)是以 2为周期的函数，故 S(2)=S(0)，而 x=0 是 f(x)的间断点由狄氏定理，在 x=0 点处，傅里叶级数收敛于=-(/2)11 【正确答案】 【试题解析】 由参数方程求法则 dy/dx=yt/xt，12 【正确答案】 【试题解析】 由题设，13 【正确答案】 【试题解析】 因为 AA*=AE，从而(A *)-1=14 【正确答案】 2/3【试题解析】 设该射手的命中率
11、为 p，X 表示射手对同一目标独立地进行 4 次射击中命中目标的次数，则 XB(4，p)，由题设：PX1=80/81， 而 PX1=1-PX=0=1-(1-p)4， 故(1-p) 4=1-(80/81)=1/81，解得 p1=2/3，p 2=4/3(舍去)，故应填了2/3三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 由17 【正确答案】 类似处理，又有 将(*)，(*)式相加，并注意到假设及(x-y)f(x)-f(y)0，就有，即 I0，故命题成立18 【正确答案】 由此方程的非齐次项含 e2x 及特解形式知，e 2x 是非齐次方程的特解，而由线性微
12、分方程解的性质知(1+x)e x 应是其对应的齐次方程的解，故 r=1 为此方程的齐次方程的特征方程的二重根，故特征方程为 r2-2r+1=0，由此得 a=-2，=1，故原方程为 y-2+y=ye2x，将 e2x 代入得 y=1，故得原方程为 y-2y+y=e2x，其通解为 y=(C1+C2x)ex+e2x19 【正确答案】 记 k= ，方程化为 lnx=x/e -k令 f(x)=lnx-(x/e)+k，则 f(x)=1/x - 1/e由 f(x)=0 解得唯一驻点 x=e，且 f(x)在此由正变负，x=e 是极大点也是最大点，最大值为 f(e)=k0；又由 ，知f(x)在(0，e)与(e，+
13、)各有且仅有一个零点，即 f(x)在(0，+)有且仅有两个零点20 【正确答案】 知(AB) T=BTAT，知(E-C -1B)TCT=C(E-C)T=(C-B)T那么由 A(C-B)T=E 知 A=(C-B)T-1=(C-B)-1T21 【正确答案】 () 若 A，B 相似，那么存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B， 故E-B=E-P -1AP=P -1EP-P-1AP=P -1(E-A)P=P -1E-AP =E-A () 令 A= ，那么E-A = 2=E-B 但 A，B 不相似，否则，存在否逆矩阵 P，使 P-1AP=B=0从而 A=P0P-1=0，矛盾，亦可从r(A)=1，r(B)=
14、0 而知 A 与 B 不相似 () 由 A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵若 A，B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为 1， 1，则有A 相似于 即存在可逆矩阵 P，Q 使 P-1AP=于是(PQ -1)-1A(PQ-1)=B由 PQ-1 为可逆矩阵知，A 与 B 相似22 【正确答案】 X i= (i=1，2，3)，则 X 的可能取值为0，1，2，3，P(x=0)=p(X 1=1)=1/2，p(X=2)=p(X 1=0，X 2=0，X 3=1)=1/8，P(X=3)=P(X1=0，X 2=0，X 3=0)=1/8，所以 X 的分布律为 X23 【正确答案】 () 总体 X 的密函数是 f(x，)= 似然函数是L(0；x 1，x 2， xn)= 记 x(n)=maxxi当x(n)时， L()是单调减小函数，所以当 =x(n)= ，L(0 ；x 1，x 2，x n)最大所以 是 的最大似然估计量 ()因为 E(X)=令 ，所以 的矩阵估计量是
