1、考研数学（数学一）模拟试卷 394 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)，g(x) 在点 x=x0 处可导且 f(x0)=g(x0)=0，f(x 0)g (x0)（A） 不是 f(x)g(x)的驻点（B） x0 是 f(x)g(x)的驻点，但不是 f(x)g(x)的极值点（C） x0 是 f(x)g(x)的驻点，且是 f(x)g(x)的极小值点（D）x 0 是 f(x)g(x)的驻点，且是 f(x)g(x)的极大值点2 设 f(x)在0，1连续且非负但不恒等于零，记I1= ，I 2= ，I 3= ，则它们的大小关系为（A） I 1I 2 I
2、3（B） I3I 1I 2（C） I2I 1I 3（D） I 3I 2 I13 设在全平面上有 0，则下列条件中能保证 f(x1，y 1)2，y 2)的是（A）x 12，y 12（B） x12，y 1y2（C） x1x2，y 12（D）x 1 x2y24 下列三个命题设 anxn 的收敛域为(R，R)，则 的收敛域为(R，R)；设幂级数 anxn 在 x=1 条件收敛，则它的收敛半径 R=1；设幂级数 anxn， bnxn 的收敛半径分别为 R1，R 2，则 (an+bn)xn 的收敛半径 R=min(R1，R 2) 中正确的个数是（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个5 已知
3、1， 2， 3， 4 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也是 Ax=0基础解系的是（A） 1+2， 2 3， 3 4， 4 1（B） 1+2， 2 3， 3 4， 4+1（C） 1+2， 2+3， 3 4， 4 1（D） 1， 2， 3， 4 的等价向量组6 已知 P1 AP=B，若 A=，0，则（A）B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P（B） B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P（C） B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P1 （D）B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P1 7 设随机变量 X 的密度函数关于 x= 对称，F(x)为其分布函数，则有（A）F(+x)=F(x
4、)（B） F(+x)+F(x)1（C） 00(或 f(x0)0，g(x 0) 及极限的保号性质 0，当 x(x0，x 0+)，xx 0 时x(x0，x 0+)时 f(x)0)， g(x)0(0，x 0)时 f(x)0(0) x(x0，x 0+)，xx 0 时 f(x)g(x) 0)g(x0) x=x0 是 f(x)g(x)的极大值点因此选 (D)2 【正确答案】 D【试题解析】 通过变量替换，把不同区间上两个连续函数定积分值大小的比较转化为同一个区间上两个连续函数定积分值大小的比较 因此 I 312，故选(B)3 【正确答案】 C【试题解析】 固定时 f(x，y)对 x 单调下降； 固定时f(
5、x，y)对 y 单调上升于是当 x1x2 时 f(x1，y 1)2，y 1)；又当 y12 时 f(x2，y 1)2，y 2)，因此，当 x1x2，y 12 时 f(x1，y 1)2，y 2)故选(C) 4 【正确答案】 B【试题解析】 此类选择题必须逐一判断关于命题：对幂级数 anxn逐项积分保持收敛区间不变，但收敛域可能起变化如 xn 的收敛域为(1，1)，但的收敛域是1，1)关于命题 ：若熟悉幂级数的收敛性特点立即可知该命题正确记该幂级数的收敛半径为 R若 R1，由于 ，x anxn 绝对收敛 An(1) n 绝对收敛，与已知矛盾若 r ，X R， anxn 发散an(1) n 发散，也
6、与已知矛盾因此，R=1 关于命题 ：当 R1R2 时，R=min(R1，R 2)，于是要考察 R1=R2 的情形设有级数，易求得它们的收敛半径均为 R1=R2=1但的收敛半径为 R=2因此命题不正确综上所述，应选(B)5 【正确答案】 A【试题解析】 等价向量组不能保证向量个数相同，因而不能保证线性无关例如向量组 1， 2， 3， 4， 1+2 与向量组 1， 2， 3， 4 等价，但前者线性相关，因而不能是基础解系故(D)不正确 (B)、(C) 均线性相关，因此不能是基础解系故(B) 与(C)也不正确 注意到：( 1+2)( 2 3)( 3 4)( 4+1)=0， (1+2)( 2+3)+(
7、3 4)+(4 1)=0， 唯有(A)， 1+2， 2 3， 3 4， 4 1是 Ax=0 的解，又由( 1+2， 2 3， 3 4， 4 1)=(1， 2， 3， 4)，且 =20，知1+2， 2 3， 3 4， 4 1 线性无关，且向量个数与 1， 2， 3， 4 相同所以(A)也是 Ax=0 的基础解系故选(A)6 【正确答案】 C【试题解析】 因为矩阵 A 与 B 相似，所以它们有相同的特征值，故可排除 (B)、(D)由 P1 AP=B P1 A=BP1 P1 A=BP1 ，于是有 B(P1 )=P1 ()=(P1 )故应选(C) 7 【正确答案】 D【试题解析】 利用分布函数与密度函
8、数的关系及密度函数的对称性，作积分变量替换可导出所需要的结论又 f(u)=f(+u)，u (，+)故选(D)8 【正确答案】 B【试题解析】 由于 XN(， 2)，故有二、填空题9 【正确答案】 a【试题解析】 由积分中值定理知，在 n 与 n+a 之间 ，使得当 n+ 时 +，于是10 【正确答案】 y 2= x+Cx，其中 C 为任意常数【试题解析】 将原方程改写为 以 y 为自变量，x 为因变量，这是伯努利方程两边乘 x2 得 以 1x 为未知函数，这是一阶线性的，两边再乘 (y)= =y2 得 于是通解为 y2= x+Cx，其中 C 为 常数11 【正确答案】 【试题解析】 先求偏导数
9、：12 【正确答案】 【试题解析】 选用柱坐标变换，且选择先对 r 积分的顺序由于 0z2，D(z)：02，0rz，13 【正确答案】 k(1，1，1) T，k0 为任意常数【试题解析】 “特征值不同特征向量线性无关”，已知矩阵 A 只有一个线性无关的特征向量，故特征值 0 必是 3 重根，且秩 r(0EA)=2 由 i=aii 知30=4+(2)+1，得特征值 =1(3 重)又因为秩 r(EA)=2，因此有a= 2此时(EA)x=0 的基础解系是(1，1，1) T故 A 的特征向量为k(1，1，1) T，k0 为任意常数14 【正确答案】 【试题解析】 由题设X，Y 独立，则有 Z=XYN(
10、0，2 2)，于是故三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 求 f(x)，考察 f(x)的单调性区间由于x1 时仅当x=k(k=1，2，)时 f(x)=0于是，f(x)在0，1 单调上升，f(x) 在1，+) 单调下降f(x)16 【正确答案】 () 由条件知 f(x+1)+1+3sin2x=0 f(x+1)+3sin2x=f(1)+0=0 f(1)=0又在 x=0 的某空心邻域内 f(x+1)+3sin2x0，现利用等价无穷小因子替换：当 x0 时， ln1+f(x+1)+3sin 2x f(x+1)+3sin 2x，17 【正确答案】 () 由题设 S+
11、的方程，J 可简化成要将曲面积分 J，化为三重积分，可用高斯公式由于 S+不是封闭曲面，故要添加辅助面 取法向量 n 向下，S + 与 所围的区域记为 它的边界取外侧，于是在 上用高斯公式得其中 上的曲面积分为零，因为 与 yz 平面及 zx 平面均垂直，又在 上 z=0 ()求曲面积分 J 转化为求题()中的三重积分怎样计算这个三重积分：因为 是半椭球体，不宜选用球坐标变换与柱坐标变换我们用先二(先对 x，y 积分)后一(后对 z 积分)的积分顺序求由于 z0，c，与 z 轴垂直的平面截 得区域 D(z)为可以用同样方法计算 但是，由坐标的轮换对称性，有 J1=J2=J3 J=3j1= ab
12、c18 【正确答案】 () 如图，由题设有 y=(1 )n(0x1)，从而()对题()中的 I(n)表达式，令 t=sin，则有将式作如下变形将，两式相加得19 【正确答案】 ()u=u(x，y)=u(rcos，rsin)，由复合函数求导法又 u(rcos，rsin)对 r 在 0，+)上连续 u 作为 r， 的函数，当 固定时 u 作为 r 的函数在0，+) 为常数 (x，y)，有 u(x，y)=u(rcos，rsin)=u(rcos，rsin) r=0=u(0，0)20 【正确答案】 由矩阵 A 的特征多项式可知矩阵 A 的特征值是 1，1，2 因为 A 有 3 个线性无关的特征向量，故
13、A 可化为相似对角矩阵对应重根 1=2=1，应该有 2 个线性无关的特征向量于是 r(1EA)=32=1，即 r(EA)=1又 故 a=1 得基础解系1=(1， 0，1) T， 2=(0，1，0) T得基础解系3=(2， 1， 3)T那么令 P=(1， 2， 3)，有 P1 AP= ，从而 A=PP1 于是 An=P P121 【正确答案】 () 因为 AT=A，则(AP) T(AP)=PTATAP=PTA2P，又故问题化为：求可逆矩阵 P，使 PTA2P 为对角矩阵 构造矩阵为 A2 的二次型则二次型化为标准形 X TA2x= 于是，二次型合同故()由EA =(21)(5)，知矩阵 A 的特
14、征值为：1，5，0，1，进而可知A+kE 的特征值为 k+1，k+5，k，k1于是由 A+kE 正定可知，k122 【正确答案】 X=X 1X4X 2X3，由于 X1，X 2X3，X 4 相互独立，且同分布 故有EX=EX1X4X 2X3=EX1X4EX 2X3=EX1EX4EX 2EX3=0 对于 EX 的计算，需先求出 X 的分布律 X 1X4 与 X2X3 同分布，其取值均为 0，1 PX 1X4=1=PX1=1，X 4=1=0707=049PX 1X4=0=051X1X4X 2X3 的取值为1，0，1PX 1X4X 2X3=1=PX 1X4=0，X 2X3=1=051049 PX 1X4X 2X3=1=PX1X4=1，X 2X3=0=049051 PX 1X4X 2X3=0=12051049=049 2051 2EX =2104905 1=0 499823 【正确答案】 显然，X 1 与 X2 独立且与 X 同分布，因而有 PX 1212()由于 Y1，Y 2 均为离散型随机变量，且都可取值 1，0，则由题设可得其联合概率分布PY1=1，Y 2=0=PY1=0， Y2=1=PX11，X 21于是(Y 1， Y2)的联合概率分布见右表，其中
