1、考研数学（数学一）模拟试卷 431 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=0 处连续，且 ，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)非 f(x)的极值，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点2 设平面 平行于两直线 及 2x=y=z 且与曲面 z=x2+y2+1 相切，则平面 的方程为( )（A）4x+2yz=0（B） 4x2y+z+3=0（C） 16x+8y16z+11=0（D）16x8y+8z1=03 的渐近线的条数为( )（A）2
2、（B） 3（C） 4（D）54 设 D 为 xOy 平面上的有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上连续，在 D 内可偏导且满足，若 f(x，y)在 D 内没有零点，则 f(x，y)在 D 上( )（A）最大值和最小值只能在边界上取到（B）最大值和最小值只能在区域内部取到（C）有最小值无最大值（D）有最大值无最小值5 其中 a1，a 2，a 3，a 4 两两不等，下列命题正确的是 ( )（A）方程组 AX=0 只有零解（B）方程组 ATX=0 有非零解（C）方程组 ATAX=0 只有零解（D）方程组 AATX=0 只有零解6 对三阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*先交换第一行与第三行，然后将第二列的2
3、 倍加到第三列得E，且A0，则 A 等于( )7 设连续型随机变量 X 的分布函数 F(x)严格递增，yU(0，1)，则 Z=F1 (Y)的分布函数( )（A）可导（B）连续但不一定可导且与 X 分布相同（C）只有一个间断点（D）有两个以上的间断点8 设 X1，X 2，X 3，X n 是来自正态总体 N(， 2)的简单随机变量， 是样本均值，记则服从自由度为 n1 的 t 分布的随机变量为( )二、填空题9 _，其中 从 z 轴的正向看， 为逆时针方向10 设 连续，且 x2+y2+z2= ，则 _11 设 f(x)是以 2 为周期的函数，当 x ，时，f(x)的傅里叶级数的和函数为 S(x)
4、，则_12 设 ，f， 分别具有二阶连续导数和二阶连续偏导数，则 _13 设矩阵 不可对角化，则 a=_14 10 件产品中有 3 件产品为次品，从中任取 2 件，已知所取的 2 件产品中至少有一件是次品，则另一件也为次品的概率为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 计算15 设 f(x)=1+x(0z1)16 将 f(x)展开成余弦级数，并求17 将 f(x)展开成正弦级数18 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(0ab )，证明：存在 ， (a，b)，使得19 设 f(x)在1，)上有连续的二阶导数，f(1)=0 ，f(1)=1 ，且二元函数 z=(x2+
5、y2)f(x2+y2)满足 ，求 f(x)在1，+) 的最大值20 计算曲面积分 ，其中为曲面z=1x 2y 2(z0)的上侧21 a，b 取何值时，方程组 有唯一解、无解、有无穷多个解?有无穷多个解时，求出其通解21 设 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3 为三维列向量且 10，若A1=1，A 2=1+2，A 3=2+322 证明：向量组 1， 2， 3 线性无关23 证明：A 不可相似对角化23 有甲、乙、丙三个盒子，第一个盒子里有 4 个红球 1 个白球，第二个盒子里有3 个红球 2 个白球，第三个盒子里有 2 个红球 3 个白球，先任取一个盒子，再从中先后取出 3 个球，以 X 表示红球
6、数24 求 X 的分布律；25 求所取到的红球不少于 2 个的概率26 设总体 X 的密度函数为 其中 0 为未知参数，(X 1，X 2，X n)为来自总体 X 的简单随机样本，求参数 的矩估计量和极大似然估计量考研数学（数学一）模拟试卷 431 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 得 f(0)=0，由极限保号性可知存在 0，当x 时， 当 x(，0)时，因为 ln(1+x)o，所以 f(x)0；当 x(0，)时，因为 ln(1+x)0，所以 f(x)0，于是(0，f(0)为 y=f(x)的拐点，选 C2 【正确答案】
7、C【试题解析】 平面 的法向量为 n=2，2，11，2，2= 32，1，2设平面 与曲面 z=x2+2+1 相切的切点为(x 0，y 0，z 0)则曲面在该点处的法向量为2x0，2y 0， 1， ，因此 的方程为 ，整理得 16x+8y16z+11=0 ，选 C3 【正确答案】 C【试题解析】 4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x，y) 在 D 上连续，所以 f(x，x)在 D 上一定取到最大值与最小值，不妨设 f(x，y)在 D 上的最大值 M 在 D 内的点(x 0，y 0)处取到，即 f(x0，y 0)=M0，此时 矛盾，即 f(x，y)在D 上的最大值 M 不可能在 D 内取
8、到，同理 f(x，y)在 D 上的最小值 m 不可能在 D内取到，选(A) 。5 【正确答案】 D【试题解析】 =(a3a 1)(a3a 2)(a2a 1)0，得 r(A)=3 由 r(A)=3 4，得方程组 AX=0 有非零解，不选(A)； 由 r(AT)=r(A)=3，得方程组 ATX=0只有零解，不选(B)； 由 r(A)=r(ATA)=34，得方程组 ATAX=0 有非零解，不选(C)； 由 r(A)=r(AAT)=3，得方程组 AATX=0 只有零解，应选(D)6 【正确答案】 A【试题解析】 7 【正确答案】 B【试题解析】 因为 YU(0，1)，所以 Y 的分布函数为 FY(y)
9、= ，则Z=F1 (Y)的分布函数为 FZ(z)=P(Zz=PF1 (Y)z)=PYF(z)=FYF(z)，因为0F(z)1，所以 FZ(z)=F(z)，即 Z 与 X 分布相同，选(B)8 【正确答案】 B【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 8【试题解析】 设曲线 所在的截口平面为，取上侧，其法向量为n=0， 3， 1，法向量的方向余弦为 cos=0， 由斯托克斯公式得曲面：z=3y+1，其在 xOy 平面内的投影区域为 Dxy：x 2+y24y，10 【正确答案】 (y)(x)2x(x+y)【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 当 x 为 f(x)的连续点时，f(x)=S(
10、x) ；当 x 为 f(x)的间断点时，于是12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 0 或 4【试题解析】 因为A 不可对角化，所以 A 的特征值一定有重根；从而 a=0 或 a=4 当 a=0 时，由r(0EA)=r(A)=2 得 1=2=0 只有一个线性无关的特征向量，则 A 不可对角化，a=0 符合题意； 由 r(4EA)=2 得 2=3=4 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不可对角化，a=4 符合题意14 【正确答案】 【试题解析】 令事件 A=所取两件产品中至少有一件次品，B=两件产品都是次品，三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 1
11、6 【正确答案】 将 f(x)进行偶延拓和周期延拓，则17 【正确答案】 将 f(x)进行奇延拓和周期延拓，则 an=0(n=0，1，2，)，18 【正确答案】 令 g(x)=cosx， g(x)=sinx0(axb)，由柯西中值定理，存在(a， b)，使得 令 h(x)=sinx，h(x)=cosx0(a xb)，由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得19 【正确答案】 =2xf+2x(x2+y2) f =2f+(10x2+2y2) f +(4x4+4x2y2)厂，根据对称性得 =2f+(10y2+2x2) f+(4y4+4x2y2) f =4f+12(x2+y2) f+4(x2+y2)2
12、f令 x2+y2=r，由 得 f+3rf+r2f=0，令 r=et，整理得 解得 f=(C1+C2t)et ，于是f(r)=( C1+C2lnr) ，由 f(1)=0，得 C1=0，f(r)= ，f(r)= ，由 f(1)=1，得 C2=1，于是 ，得 x=e，当 x(1，e) 时，f(x) 0，当 xe 时，f(x)0，则 x=e 为 f(x)在1，+)上的最大值点，最大值为20 【正确答案】 补充 0：z=0(x 2+y21)，取下侧，由格林公式得21 【正确答案】 当 a1 时，r(A)=4，所以方程组有唯一解；当 a=1，b1 时，r(A) ，所以方程组无解；当 a=1，b=1 时，方
13、程组有无穷多个解，通解为 X=k 1 (1，2，1，0) T+ k2 (1， 2，0，1) T+(1，1，0，0) T (k1，k 2 为任意常数)22 【正确答案】 由 A1=1 得(AE) 1=0， 由 A2=1+2 得(AE) 2=1， 由A3=2+3 得(A E) 3=2 令 k11+ k22+ k33=0， 1) 两边左乘以(A E)得 k 21+ k32=0 2) 两边再左乘 (AE)得 k31=0， 由 10 得 k3=0，代入 2)得 k21=0，则k2=0， 再代入 1)得 k11=0，从而 k1=0，于是 1， 2， 3 线性无关23 【正确答案】 令 P=(1， 2， 3
14、)， 由(A 1，A 2，A 3)=(1， 1l+2， 2+3)得因为r(E B)=2，所以 B 只有一个线性无关的特征向量，即 B 不可相似对角化，而AB，故 A 不可相似对角化24 【正确答案】 令 Ak=所取为第 k 个盒子(k=1 ，2，3)，则 P(A1)=P(A2)=P(A3)=，随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3，由全概率公式得 PX=1=PX=0A 3P A3= PX=1=PX=1A 2P A2+PX=1A 3P A2PX=2=PX=2A 1P(A1)+PX=2A 2P(A2)+PX=2 A 3P(A3) PX=3)=PX=3A 1P(A1)+PX=3A 2)P(A2)=25 【正确答案】 PX2=PX=2+PX=3=26 【正确答案】 E(X)=0，
