1、考研数学（数学一）模拟试卷 469 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 为自然数，则 =( )（A）n（B） 2n（C） 3n（D）4n2 曲面 z= +y2 上平行于平面 2x+2y-z=0 的切平面方程是( )（A）2x+y+z-3=0（B） 2x+2y-z-3=0（C） 2x+2y+z-3=0（D）2x+2y-z+3=03 设 f(0)=0，则 f(x)在点 x=0 处可导的充要条件为( )4 设 是正项级数，下列结论中正确的是( )（A）若 ，则级数 an 收敛（B）若存在非零常数 ，使得（C）若级数（D）若级数 an 发散，则存在非零
2、常数 ，使得5 已知 n 维向量组(i) 1， 2， s 和(ii) 1， 2， ， t 的秩都为 r，则下列命题中不正确的是( ) （A）若 s=t，则向量组(i)与(ii)等价（B）若向量组(i)是(ii) 的部分组，则向量组 (i)与(ii) 等价（C）若向量组(i)能由(ii)线性表示，则向囊组(i) 与 (ii)等价（D）若向量组(iii)： 1， 2， s， 1， 2， t 的秩为 r，则向量组(i)和(ii)等价6 矩阵 与( ) 相似7 设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN(1，2)，Y N(2，2)，Z N(3，7)，记 a=PXY，b=PY Z)，则( )（A）ab（
3、B） ab（C） a=b（D）无法确定8 设一批零件的长度服从正态分布 N(， 2)，其中 ， 2 均未知现从中随机抽取16 个零件，测得样本均值 =20cm，样本标准差 S=1cm，则 的置信度为 090的置信区间是( ) (其中 ta(n 是上侧分位点)二、填空题9 欧拉方程 x2y+xy-4y=x3 的通解为_10 幂级数 的收敛半径为_11 设数量场 ，则 div(gradu)=_12 直线 L1：x-1= 的夹角为_13 设 Dn= ，则 Dn 中所有元素的代数余子式之和为_14 设 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的样本，若估计量 (Xi+1-Xi)2 是总体方差 2 的无偏
4、估计量，则 k=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在a，+)上可导，且当 xa 时，f(x) k0(忌为常数)证明：如果 f(a)0，则方程 f(x)=0 在区间 上有且仅有一个实根16 设 y1=x， y2=x+e2x，y 3=x(1+e2x)是二阶常系数线性非齐次方程的解，求该微分方程的通解及该方程17 设函数 y=f(x)有二阶导数，且 f(x)0，f(0)=0 ，f(0)=0，求 ，其中 u 是曲线 y=f(x)上点 P(x，f(x) 处的切线在 x 轴上的截距18 已知函数 f(x，y)=x+y+xy，曲线 C：x 2+y2+xy=3，求 f(x，
5、y)在曲线 C 上的最大方向导数19 求幂级数 的收敛域及和函数 S(x)20 设 1， 2， 3， 4 为 4 维列向量，满足 2， 3， 4 线性无关，且 1+3=22 令 A=(1， 2， 3， 4)，= 1+2+3+4，求线性方程组 Ax= 的通解21 设 A 是一个 n 阶方阵，满足 A2=A，R(A)=s 且 A 有两个不同的特征值 () 试证 A 可对角化，并求对角阵 A； ()计算行列式A-2E22 设随机变量 X 与 Y 独立同分布，且 X 的概率分布为记 U=maxX，Y ，V=minX，Y( )求(U，V)的概率分布；()求 U 与 V 的协方差 Cov(U，V)23 已
6、知 X1，X n 为总体 X 的一组样本，总体 X 的概率密度为()求 的矩估计量；()求 的最大似然估计量考研数学（数学一）模拟试卷 469 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于注意到sint 是以 为周期的函数，则故应选(D)2 【正确答案】 B【试题解析】 令 F(x，y， z)= +y2-z，则 Fx=x，F y=2y，F z=-1由条件知所求平面的法向量 n=(Fx，F y，F z)=(x，2y，-1)平行于已知平面的法向量，n1=(2，2，-1)，从而有 ，由此得 x=2，y=1 ，z= +y2=3，即点(2
7、，1， 3)为切点，故所求切平面方程为 2(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0，即 2x+2y-z-3=0故应选(B) 3 【正确答案】 B【试题解析】 排除法对于(A)选项，取 f(x)=x，则极限存在，但 f(x)=x在 x=0 处不可导，故排除(A)；对于(C)选项，仍取 f(x)=x，有极限存在，但f(x)在 x=0 处不可导，故排除(C) 项；对于(D)选项，取 f(x)= 则极限存在，但 f(x)在 x=0 不连续，从而f(0)也不存在，故排除(D)项故应选(B)4 【正确答案】 B【试题解析】 取 an= 发散，则排除(A)、(D)项；又取 an= ，排除(C)故应选(B)5
8、 【正确答案】 A【试题解析】 取向量组(i)： 1=则向量组(i)的秩为 2，向量组(ii)的秩也为 2但显然(i) 与(ii)不等价故应选(A)6 【正确答案】 D【试题解析】 令矩阵 A= ，则 A 的特征值为 1 和 2而(A)选项中矩阵的特征值为-1 和-2，故矩阵 A 不与(A) 选项的矩阵相似又因为 =2，而(B)选项中 =0，(C)选项中 =-2，故矩阵 A 不与(B)、(C)选项的矩阵相似所以，矩阵 A 与(D) 选项的矩阵相似事实上， 均与对角阵相似再由相似的传递性， 相似故应选(D)7 【正确答案】 A【试题解析】 因为 X-YN(-1 ，4)，Y-ZN(-1，9)，则
9、a=PXY=PX-Y0=b=PYZ)=PY-Z0)=由于分布函数 (x)单调增加，所以 ab 故应选(A)8 【正确答案】 C【试题解析】 由正态总体抽样分布的性质知， ，故 的置信度为090 的置信区间是故应选(C)二、填空题9 【正确答案】 y=C 1x2+ x【试题解析】 令 x=et，则原方程化为D(D-1)+D-4y=e 3t，即 (D2-4)y=e3t， (*)方程(*) 对应的齐次方程的特征方程为 r2-4=0，有根 r1=2，r 2=-2，故齐次方程的通解为 Y=C1e2t+C2e-2t=C2x2+ 因为 f(t)=e3t，=3 不是特征方程的根，故可令 y*=ae3t 是方程
10、(*)的一个特解，代入原方程x2y+xy-4y=x3 中，解得 a= ，即 y*= e3t，因此原方程的通解为 y=Y+y*=C1x2+x3故应填 y=C1x2+ x310 【正确答案】 或 e-1【试题解析】 利用比值法或根值法先求 l，再由 R= 即可由于则 R=11 【正确答案】 【试题解析】 由题可得12 【正确答案】 arccos【试题解析】 先利用两向量的向量积求出 L2 的方向向量，再由数量积便可得L 1的方向向量 S1=1，2，1，L 2 的方向向量 S2 为 S2= =-i-j+2k，因此所求夹角 a 满足：则a=arccos 故应填 arccos13 【正确答案】 n!【试
11、题解析】 利用公式 D n=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin， 0=ai1Ai1+ai2Aj2+ainAjn(ij) 因第一行元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值，所以 1.A 11+1.A12+1.A1n=Dn=n! 因第一行元素与第 i(i2)行对应元素的代数余子式乘积之和等于零，所以 1.A i1+1.Ai2+1.Ain=0 故所有元素代数余子式之和为 n! 故应填 n!14 【正确答案】 【试题解析】 令 =2，从而得到 k (Xi+1-Xi)2= E(Xi+1-Xi)2= D(Xi+1-Xi)+E(Xi+1-Xi)2= 22=2k(n-1)2，令故应填三、解答题解答
12、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 先证根的存在性由题设知，f(x)在 上满足拉格朗日中值定理条件，故有 即(因为 f(a)0，f()k0)，又 f(a)0，由零点定理知，方程 f(x)=0 在 内有实根再由 f(x)0(xa)且 f(x)在 xa处连续知，f(x)在 上单调减少，故方程 f(x)=0 在 上最多有一个根综上所述，命题得证【试题解析】 先利用拉格朗日中值定理及零点定理证明根的存在性；再利用函数的单调性证明根的唯一性16 【正确答案】 设所求二阶常系数线性非齐次方程为 y+a 1y+a2y=f(x)， (*) y+a1y+a2y=f(x) (*)对应的齐次方程
13、为 y+a1y+a2y=0， (*) y+a 1y+a2y=0， (*)由非齐次方程与齐次方程解的关系，可知 y2-y1=e2x，y 3-y1=xe2x 是方程(*)的解，又因为=xR(常数 )故方程(*) 的通解为 y(x)=C1e2x+C2xe2x=(C1+C2x)e2x由线性微分方程解的结构，非齐次方程通解为 y=(C1+C2x)e2x+x由齐次方程(*)通解的形式可知，=2 为特征方程 2+a1+a2=0 的二重根由根与系数关系可得 a1=-4，a 2=4于是方程(*)为 y-4y+4y=f(x)因为 y1=x 为其解，将其代入得 x-4x+4x=f(x)，则 f(x)=4(x-1)故
14、所求方程为 y-4y+4y=4(x-1)【试题解析】 由二阶线性非齐次微分方程与其对应的齐次微分方程的解之间的关系，先求出微分方程的通解，再由通解形式求出微分方程17 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点 p(x，f(x)处的切线方程为 Y-f(x)=f(x)(X-x)，令Y=0，则有 X=x- ，且有由 f(x)在 x=0 处的二阶泰勒公式【试题解析】 先求出曲线在点 P(x，f(z) 处的切线方程，进而得其在 x 轴上的截距 u；再写出 f(x)在 x=0 处的二阶泰勒展开式，代入表达式求极限即可18 【正确答案】 由条件知 fx(x，y)=1+y，f y(x，y)=1+x，于是梯度为 g
15、radf(x，y)=fx.i+fy.j=(1+y)i+(1+x)j，由梯度与方向导数 的关系，知于是问题转化为求函数H(x，y)= 在约束条件 C：x 2+y2+xy=3 下的最大值为计算方便可将问题转化为求函数 T(x，y)=H 2(x，y)=(1+y) 2+(1+x)2 在条件 C：x 2+y2+xy=3下的最大值，于是由拉格朗日乘法，令 F(x，y，)=(1+y) 2+(1+x)2+(x2+y2+xy-3)则 解得于是得下列可疑点：A 1(1，1)，A 2(-1，-1)，A 3(2，-1) ，A 4(-1，2)所求最大值为 maxH(1 ，1)，H(-1 ，-1)，H(2，-1)，H(-
16、1，2)=max ，0，3，3=3 故 f(x，y)在曲线 C 上的最大方向导数为 3【试题解析】 先求函数 f(x，y)在点(x ，y)处的梯度 gradf(x，y)，再求梯度的模gradf(x， y)；最后求 gradf(x ，y)在约束条件 C：x 2+y2+xy=3 下的最大值19 【正确答案】 由于 I=01xf3(x)dx01f2(x)dx-01f3(x)dx01xf2(x)dx =Dxf3(x)f2(y)dxdy-Df3(x)yf2(y)dxdy =Df3(x)f2(y)(x-y)dxdy 同理，可得 I=Df2(x)f3(y)(y-x)dxdy，其中，D=(x，y) 0x1 ，
17、0y1 将(*)、(*) 相加，并注意到假设及(x-y)f(x)-f(y)0， 故 2I=Df2(x)f2(y)(x-y)f(x)-f(y)dxdy0， 即 I0，由此可推知命题成立20 【正确答案】 设非零公共解为 ，则 既可由 1 和 2 线性表示，也可由 1 和2 线性表示设 =x11+x22=-x31-x42，则x11+x22+x31+x42=0( 1， 2， 1， 2)=r0 x1，x 2，x 3，x 4 不全为零R(1， 1， 1， 2)4 a=0当 a=0 时， 解得令 xt=t，则 x1=2t，x 2=-t，x 3=-t，x 4=t.所以非零公共解为 2t1-t2=t(1，4，
18、1，1) T，t 为非零常数21 【正确答案】 因为 A，B 相似，所以A=B，且 tr(A)=tr(B)，即=(-3)(+5)+16=2+2-15+16=2+2+1=(+1)2故 A 的两个特征值为-1，-1但(-E-A)=因此 R(-E-A)=1，所以不能对角化设 P= ，满足P-1AP=B，即有 AP=PB，从而 整理得解得基础解系为 1= 所以，k 1，k 2 为非零常数令 k1=k2=，则有 P-1AP=B22 【正确答案】 ()(X ， Y)在区域 D 上服从均匀分布，其联合概率密度函数为若区域 D 表示为 D=(x，y)0x1，0yz(x，y) 1x2，x-1y1，则 X 的边缘
19、概率密度函数为若区域 D 表示为D=(x，y) 0y1 ，yxy+1，则 Y 的边缘概率密度函数为所以 f(x，y)=f X(x).fY(y)，即X 与 Y 不相互独立()将 D=(x，y)0y1，yxy+1转化为 yOz 平面的区域，则 D=(y，z)0y1 ，yz+yy+1=(y，z) 0y1，0z1于是由卷积公式可得随机变量函数 Z 的概率密度函数为()因为 E(xy)=01dyxydx=yy+1(y2+ E(X)=-+xfX(x)dx=01xdx+12x(2-x)dx=1；E(Y)= -+xfY(y)dy=01ydy= 所以 Cov(X，Y)=E(XY)-E(X).E(Y)=23 【正确答案】 () 似然函数为解得 所以 的最大似然估计量为 () 而E(X2)=-+x2f(x)dx=0+ =2，所以 故 是 的无偏估计量【试题解析】 先求参数 的最大似然估计量，再利用 判断其无偏性
