1、考研数学（数学三）模拟试卷 263 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 ，在下列哪个区间内有界?( )（A）(-1，0)（B） (0，1)（C） (1，2)（D）(2 ，3)2 当 x0 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更低阶的无穷小量?( )（A）x-tanx（B） 1-cosx（C）（D）tanx3 设函数 f(x)对任意 x 均满足等式 f(1+x)=af(*)，且 f(0)=b，其中 a，b 为非零常数，则( )（A）f(x)在 x=1 处不可导（B） f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=a（C） f(x)在 x=1 处可
2、导，且 f(1)=b（D）f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=ab4 设 f(x)是连续函数，F(x) 是 f(x)的原函数，则( )（A）当 f(x)是奇函数时， F(x)必为偶函数（B）当 f(x)是偶函数时，F(x)必为奇函数（C）当 f(x)是周期函数时，F(x)必为周期函数（D）当 f(x)是单调增函数时， F(x)必为单调增函数5 设 ，其中 A 可逆，则 B-1 等于( )（A）A -1P1P2（B） P1A-1P2（C） P1P2A-1（D）P 2A-1P16 向量组 a1， a2，a s 线性无关的充分条件是( )（A）a 1，a 2，a s 均不为零向量（B） a1，
3、a 2，a s 中任意两个向量的分量不成比例（C） a1，a 2，a s 中任一个向量均不能由其余 s1 个向量线性表示（D）a 1，a 2，a s 中有一部分向量线性无关7 设 A 和 B 是任意两个概率不为 0 的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是 ( )（A） 与 不相容（B） 与 相容（C） P(AB)=P(A)P(B)（D）P(A-B)=P(A)8 设(X 1，X 2，X n)(n2)为标准正态总体，X 的简单随机样本，则( )二、填空题9 极限 =_10 设级数 条件收敛，则 p 的范围是_11 设 ，且 y=(0)=1/2，则 y(x)=_12 星形线 (00)绕 Ox 轴旋转
4、所得旋转曲面的面积为 _13 设 a1，a 2，a 3，是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，r(A)=3，且a1+a2= ，则方程组 AX=b 的通解为_14 若随机变量 X1，X 2，X n 相互独立同分布于 N(，2 2)，则根据切比雪夫不等式得 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 a1=2， ，证明：16 求函数 在区间e，e 2上的最大值17 设 y=sinf(x2)，其中 f 具有二阶导数，求 d2y/dx218 试证明函数 在区间(0，+)内单调增加19 设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，
5、交点为 A，已知MA=OA，且 L 经过点 ，求 L 的方程20 已知线性方程组 ()a ，b 为何值时，方程组有解?( ) 方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系：()方程组有解时，求出方程组的全部解21 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，2，3，矩阵 A 的属于特征值 1，2 的特征向量分别是 a1=(-1，-1，1) T，a 2=(1，-2，-1) T ()求 A 的属于特征值 3 的特征向量；()求矩阵 A22 假设 X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，已知 E(Xk)=ak(k=1，2，3，4) ，证明：当 n 充分大时，随机变量 近似服从正态分布，
6、并指出其分布参数23 设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(0， 2)的简单随机样本，其样本均值为，记 Yi=Xi- ，i=1，2，n(I)求 Yi 的方差 D(Yi)，i=1 ，2，n；( )求 Y1与 Yn 的协方差 eov(Y1，Y n)；()若 c(Y1+Yn)2 是 2 的无偏估计量，求常数 c考研数学（数学三）模拟试卷 263 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查函数极限与有界性的关系，当 ，则 f(x)在 x0 的邻域内无界由题设， 由(1)(4)式可知，(0，1)，(1，2)，(2，3) 内
7、 f(x)都是无界的，所以选(A) 2 【正确答案】 D【试题解析】 当 x0 时，即 与 x2 是同阶无穷小量，而 tanxx， 所以 tanx 是比 x2 更低阶的无穷小量，故应选(D)3 【正确答案】 D【试题解析】 由导数定义知 故应选(D)4 【正确答案】 A【试题解析】 由题设，f(x)连续，则 0xf(x)dt 是 f(x)的一个原函数，因此 F(x)=0xf(t)dt+C，其中 C 为任意常数，当 f(x)是奇函数时，即 f(-x)=-f(x)，则所以 F(x)是偶函数， (A)正确；关于(B)、(C)、(D)，可分别举出反例予以否定；关于(B)，令 f(x)=cosx，则 F
8、(x)=sinx+1 不是奇函数；关于(C) ，令 f(x)=sin2x，则 不是周期函数；关于(D) ，令 f(x)=x，则 不是单调函数综上选(A)5 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查初等变换与初等矩阵的关系由题设知 B=AP1P2，因此P1P2A-1B=P1P2A1AP1P2=(P1P2)1，由已知，P 1P2=(P1P2)1=因此 B1=P1P2A-1，选(C)6 【正确答案】 C【试题解析】 选项(C) 为向量组 a1，a 2，a 4 线性无关的充分必要条件 (A)，(B)，(D)均是必要条件，而非充分条件如向量组(1，0)，(0，1)，(1，1)线性相关，但(A)，(B)，(
9、D)均成立，故应选(C)7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A 和 B 是任意两个概率不为 0 的不相容事件，于是 AB= ，所以 A-B=A，故 P(A-B)=P(A)，故应选(D)8 【正确答案】 D【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 0【试题解析】 因 且 sinx 和 cosx 均为有界函数，故10 【正确答案】 -(1/2) p1/2【试题解析】 由于 因为 条件收敛，所以 0p+(1/2)1，即 p 的范围是-(1/2) p1/211 【正确答案】 1/2(1+x 2)ln(1+x2)-1+1【试题解析】 由 dy/dx=xln(1+x2)，得再由 y(0)=1/2，得
10、C=1，所以y=1/2(1+x2)ln(1+x2)-1+112 【正确答案】 【试题解析】 因旋转曲面的面积为 化成参数方程为13 【正确答案】 【试题解析】 因为 r(A)=3，所以方程组 AX=b 的通解为 k+，其中 =a3-a1=(a2+a3)-(a1+a2)= 于是方程组的通解为 X=k14 【正确答案】 【试题解析】 因为 X1，X 2，X n 相互独立同分布于 N(，2 2)，所以 X-N(，2 2/n)，从而三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (1)因为 所以 是单调减少有下界的数列，根据极限存在准则，(2)由(1)得对级数 (an+an+1)
11、，S n=(a1-a2)+(a2-a3)+(an-an+1)=2-an+1 因为 存在，所以级数 收敛，根据比较审敛法，级数16 【正确答案】 知 I(x)在区间e，e 2上单调增加，故在 x=e2 处取得最大值，其最大值为17 【正确答案】 dy/dx=cosf(x 2)f(x2)*2x=2xf(x2)cosf(x2)， d 2y/dx2=2f(x2)cosf(x2)+4x2f(x2)cosf(x2)-4x2f(x2)2sinf(x2)18 【正确答案】 由 只需证明，对于任意 x(0，+)，方括号中的值大于 0故函数 g(x)在(0， +)上单调减少，由于 可见对于任意 x(0，+) ，从
12、而 f(x)0，x(0 ，+) 于是，函数 f(x)在(0，+)上单调增加19 【正确答案】 设点 M 的坐标为(x，y)，则切线 MA：Y-y=y (X-x)， 令 X=0，则Y=y-xy，故 A 点的坐标为(0，y-xy )，所以 C=3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为20 【正确答案】 () 考虑方程组的增广矩阵因此，当 b-3a=0 且 2-2a=0即 a=1，且 b=3 时，方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等，故 a=1，b=3 时，方程组有解() 当 a=1，b=3，有因此，原方程组的同解方程组为 得导出组的基础解系为()令 x3=x4=x5=0，得原方程组的特解 = 于是原方程
13、组的全部解为 ，其中 c1、c 2、c 3 为任意常数21 【正确答案】 () 由题设，实对称矩阵 A 的三个特征值不同，则相应的特征向量彼此正交，设 A 的属于特征值 3 的特征向量为 a3=(x1，x 2，x 3)T，则 a3Ta3=0 且a2Ta3=0，写成线性方程组的形式为 ，其中 C 为任意非零常数，所以 A 的属于特征值 3 的特征向量为 a3=C(1，0，1) T()由于实对称阵必可对角化，即存在可逆矩阵 P，使 P-1AP= 且由前述可令先求出 P-1= 则22 【正确答案】 依题意 X1，X 2，X n 独立同分布，可知 X12，X 22，X n2，也独立同分布，由 E(XK
14、)=ak(k=l，2，3，4)有 E(Xi2)=a2，D(X i2)=E(Xi4)-E2(Xi2)=a4-a22，i=1，2，n 因此根据独立同分布的(列维一林德伯格) 中心极限定理，当 n 充分大时，23 【正确答案】 根据题意设 X1，X 2，X n 是一个简单随机样本，因此X1，X 2，X n 相互独立，且与总体同分布，从而可知 X iN(0， 2)，E(X i)=0， D(Xi)=2， i=1，2， n()因为X1，X 2，X n 相互独立，所以 cov(X1，X j)若 c(Y1+Yn)2是 2 的无偏估计量，则 c 应满足等式 2=Ec(Y1+Yn)2=cE(Y1+Yn)2=由此解得
