1、考研数学（数学三）模拟试卷 282 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x0)=0，f (x0)0，则必定存在一个正数 ，使得（A）曲线 y=f(x)在(x 0 一 ，x 0+)是凹的（B）曲线 y=f(x)在(x 0，x 0+)是凸的（C）曲线 y=f(x)在(x 0，x 0单调减少，而在x 0，x 0+)单调增加（D）曲线 y=f(x)在(x 0，x 0单调增加，而在x 0，x 0+)单调减少2 设 y=y(x)是由方程 y2+xy+x2+x=0 所确定的满足 y(一 1)=1 的隐函数，则（A）1（B） 2（C）一 2（D）一 13 已知
2、函数 f(x)在区间0， 2上可积，且满足 ，则函数 f(x)的解析式是（A）（B）（C）（D）4 设 a123(x) 则下列不等式成立的是（A）k 1k2k3（B） k1k3k2（C） k2k1k3（D）k 3k1k25 设 A 是 mn 矩阵，则下列 4 个命题若 r(A)=m，则非齐次线性方程组 Ax=b 必有解；若 r(A)=m，则齐次方程组 Ax=0 只有零解；若 r(A)=n，则非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解；若 r(A)=n，则齐次方程组 Ax=0 只有零解中正确的是（A） （B） （C） （D） 6 下列矩阵 中两两相似的是（A）A 3，A 4（B） A1，A 2（C）
3、A1A 3（D）A 2，A 37 在考核中，若学员中靶两次，则认定合格而停止射击，但限定每人最多只能射击三次设事件 A=“考核合格 ”，B=“ 最多中靶一次”，C=“射击三次”，已知学员中靶率为 p(00又 f(x)在 x=x0 连续f(x)在(x 0 一 ，x 0单调下降，在x 0+）单调上升故应选 C2 【正确答案】 D【试题解析】 由 y(x)所满足的隐函数方程知函数 y=y(x)在 x=一 1 的邻城内任意次可导，将隐函数方程求导一次与两次可得 y(x)的一、二阶导函数 y(x)与 f(x)分别满足 2yy+xy+y 十 2x+1=0，2yy +xy+2(y)2+2y+2=0，在以上二
4、式中分别令 x=一1 并利用 y(一 1)=1 可知 y(一 1)=0，y (一 1)=一 2再利用洛必达法则即可得到故应选 D3 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可令 ，代入即知 f(x)满足关系式 f(x)=6x2 一 2Ax+3B 于是又有 从而A，B 满足方程组 解之可得 A=5， 从而函数 f(x)的解析式是故应选 B4 【正确答案】 B【试题解析】 【分析一】 由题设条件知，y=f(x)是(a，b)上的凸函数，且 k1，k 1=2，k 3=3 分别是右图中所示线段 的斜率由 的斜率 的斜率 的斜率，得 k1k3k2，因此选 B【分析二】为比较 k1，k 3的大小关系，考察函数
5、(k1=F(x2)，k 3=F(x3)，由F(x)在(x 1， b)为减函数F(x 2)F(x3)，即 k1k3为比较 k2，k 3 的大小关系，考察函数(k2=G(x2)，k 3=G(x1)，同理由G(x)在(a，x 3)为减函数 G(x 1)G(x2)，即 k3k2综上分析可知，k 1k3k2因此选 B5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 是 mn 矩阵，若 r(A)=m，说明 A 的行向量组线性无关，那么它的延伸组必线性无关所以必有 从而 ，故线性方程组Ax=b 必有解，正确下面只需判断或 正确即可若 r(A)=n，说明 A 的列向量组线性无关，亦即 Ax=0 只有零解，所以正确，
6、故应选 B当 r(A)=m 时，必有 nm如果 m=n，则 Ax=0 只有零解，而 m 有可能是 n+1，方程组 Ax=b可以无解所以不正确，你能举例说明吗 ?6 【正确答案】 C【试题解析】 判断相似应当用相似的必要条件作第一轮判别相似的必要条件是：特征值一样，秩相等，A 3，A 4 虽特征值一样，但秩不相等，所以不相似A 1 与A2 或 A2 与 A3 虽秩相等但特征值不一样，因此不相似用排除法知应选 C实际上，A 1，A 3 的特征值都是 3，0，0，且 r(OEA1)=1，r(OEA 3)=1，则 n 一r(OEA1)=31=2，nr(OEA 3)=31=2，说明齐次方程组 (OEA1
7、)x=0 与(OEA3)x=0 都有两个线性无关的解，即对应于 =0，矩阵 A1 和 A3 都有 2 个线性无关的特征向量，所以矩阵 A1 和 A3 都与对角矩阵 相似从而 A1 与A3 相似7 【正确答案】 A【试题解析】 依题意 A 与 B 为对立事件，因此 ，而不可能事件与任何事件相互独立，故应选 A若进一步分析， P(ABC)=0，而 P(A)，P(B) ，PC)，P(AC) ，P(BC)均不为 0，因此 B、C、D 均不正确8 【正确答案】 D【试题解析】 因 XN(， 2)，所以 ，又因 与 S2 独立，根据 X2 分布的可加性，只需 4 个选项中的第 1 个加项服从 X2(1)分
8、布即可依题意，有 应选 D二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 图形如右图过曲线 点 处的切线方程为 从而 由于切线总在曲线的上方，故由曲线、切线及 x=1，x=3 所围图形面积为由此可见，x 0=2 时，面积S 最小，此时切线方程为10 【正确答案】 【试题解析】 令 ，则 ，且 t+0，于是故11 【正确答案】 【试题解析】 直接计算是不方便的，这是二重积分的累次积分，其中 它是由即(x 一 1)2+_y2=1(y0)与 x 轴围成的区域，如图所示现改用极坐标变换，D 的极坐标表示 于是12 【正确答案】 2e 2x 一 2cosx 一 3sinx【试题解析】 本题中微分方程的特征方程
9、是 2+1=0，特征根是 =i与 =一 i，由方程的右端项 10e2x 即知可设方程具有形式为 y*=Ae2x 的特解，从而方程通解的形式为 y=C1cosx+C2sinx+Ae2x计算可得 y=一 C1cosxC2sinx+4Ae2x把 y 与 y代入方程就有 y+y=5Ae2x令 5A=10 即 A=2 即得方程的通解为y=C1cosx+C2sinx+2e2x分别令 y(0)=C1+2=0 与 y(0)=C2+4=1 又可确定常数 C1=一2，C 2=一 3故所求的特解是 y=2e2x 一 2cosx 一 3sinx13 【正确答案】 【试题解析】 用分块矩阵把已知条件组合起来，有 因为，
10、所以矩阵( 1,2,3)可逆于是14 【正确答案】 【试题解析】 【分析一】利用二维正态分布的标准形式对指数式配方，且该正态分布的相关系数 =0，即 X，Y 独立由于 2x2+y2+8x 一 4y+14=2(x+2)2+(y 一 2)2+2，从而 由二维正态分布的标准式可知 故由 【分析二】利用密度函数的积分等于 1 来定出常数是一种常用的方法根据泊松积分可得 于是有三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 当 x0 时 当 x=0 时，用定义求f(0) 故由于当 x0 时，f (x)连续，故只需讨论 f(x)在 x=0 处的连续性而 所以 f(x)在(一 ，+)内
11、均连续16 【正确答案】 要确定 f(x)的单调，只需讨论 f(x)的符号，当 x0 时，f (x)的分母x20，只需判定分子 g(x)=(x 一 1)ex+1 的符号由于 说明 g(x)在(一 ，0) 上单调减少，在(0，+)上单调增加，又 g(0)=0，故有 g(x)g(0)=0，所以 f(x)在( 一，+)上单调增加17 【正确答案】 用拼接法当 x 当 x0时, 现令 其中 C0 满足因此 其中 C 是一个任意常数18 【正确答案】 其中 C 是一个任意常数19 【正确答案】 将 D 分成第 1，2，3，4 象限中的 4 块，分别记为 D1，D 2，D 3，D 4，用极坐标，先埘 D1
12、 进行积分：根据对称性，被积函数关于 x，y 均为偶函数，且积分区域关于 y 轴，x 轴对称，故20 【正确答案】 令 x=0，得 f(0)=1将方程两端对 x 求导数有 再令 x=0，得 f(0)=2将上式两端再对 x 求导，有 f(x)=一 cosx 一 2sinx 一 f(x)于是，上述问题化为 f(x)的初值问题，即求方程 的特解对应齐次方程通解为 =c1cosx+c2sinx结合方程右端的形式设原方程有特解代入方程可确定常数 A=1， ，从而原方程通解为利用初值条件可确定 c1=1，c 2=1，于是所求函数为.21 【正确答案】 设 F(x)在a，b 上的最大值与最小值分别是 M 与
13、 m，利用 G(x)0且 G(x)0 即知当 xa，b时 mG(x)F(x)G(x)MG(x)，由定积分的性质即知由于 G(x)0 且 G(x)0，故 从而有 再由 F(x)是以 m 与 M 分别为其最小值与最大值的区间a， b上的连续函数即知存在 a，b使得22 【正确答案】 按反对称矩阵定义：A T=一 A，那么A= A T=A=(一 1)n A，即1 一(一 1)nA=0 若 n=2k+1，必有A=0所以 A 可逆的必要条件是 n 为偶数因 AT=一 A，由(A *)T=(AT)*有(A *)T=(AT)*=(一 A)23 【正确答案】 例如 是 4 阶反对称矩阵，且不可逆24 【正确答
14、案】 若 A 是 A 的特征值，有EA=0，那么EA =(一EA)T=EA T=E+A=一(EA)=(一 1)nE 一 A=0，所以一 是 A 的特征值25 【正确答案】 由矩阵 A 的特征多项式得到 A 的特征值是 1=1a， 2=a， 3=a+1由(1 一 a)EAx=0，得到属于 1=1 一 a 的特征向量是 1=k1(1，0，1)T， k10由(EA)x=0， 得到属于 2=a 的特征向量是 2=k2(1，1 一 2a，1) T，k 20由(a+1)EAx=0，得到属于 3=0+1 的特征向量 2=k2(2a，一 4a，a+2)TT，k 20如果 1,2， 3 互不相同，即 1 一 a
15、a，1 一 aa+1，as+1，即 且a0，则矩阵 A 有 3 个不同的特征值，A 可以相似对角化若 即 ，此时 A 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似对角化若 a=0，即1=3=1，此时 A 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似对角化26 【正确答案】 设 Ai 表示第 i 个婴儿是男孩， 表示第 i 个婴儿是女孩，i=1，2 所求的概率为 事件 构成一个完备事件组，记 由已知条件有上述 3 个方程含有 4 个未知数，故还需再建立一个方程由于 P(A1)=PA1(A2A2)=P(A1A2)+P( )=P1+P3=051，于是得方程组 解得 故27 【正确答案】 先求 X 的边缘密度对任意 x0，有对于任意 x0，有一 x于是，X 的边缘密度故对于任意 x，随机变量 Y 关于 X=x 的条件密度为28 【正确答案】 为判断独立性，需再求 Y 的边缘密度由于 fY(x).fY(Y)f(x，y)，故X，Y 不独立 又所以 cov(X，Y)=EXY EX.EY=0从而可知 X 与 Y 既不独立，也不相关
