1、考研数学（数学三）模拟试卷 434 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则 f(x)在 x=0 处（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但 f(0)0（D）可导且 f(0)=02 设函数 y=y(x)由参数方程 确定，则在 x 的变化区间(0，1)内（A）函数 y(x)单调减小，曲线 y=y(x)是凹的（B）函数 y(x)单调减小，曲线 y=y(x)是凸的（C）函数 y(x)单调增加，曲线 y=y(x)是凹的（D）函数 y(x)单调增加，曲线 y=y(x)是凸的3 累次积分 等于（A）（B）（C）（D）4 设数列u n，v n满足 其中 m，M
2、是大于零的常数，vn0(n=1，2，)，考虑以下命题： 若级数 发散，则 必发散；若级数 收敛，则 必收敛；级数 同时收敛或发散；当级数 必收敛，且其和必介于 m 与 M 之间，其中正确的个数是（A）1（B） 2（C） 3（D）45 设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，且 mn，若 AB=E，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则必有（A）矩阵 A 的列向量组线性相关，矩阵 B 的行向量组线性相关（B）矩阵 A 的列向量组线性相关，矩阵 B 的列向量组线性相关（C）矩阵 A 的行向量组线性相关，矩阵 B 的行向量组线性相关（D）矩阵 A 的行向量组线性相关，矩阵 B 的列向量组线性相关6 设
3、 A 是任一 n 阶可逆矩阵(n3)，k 为常数，且 k0，1，则(kA -1)*等于（A）（B）（C）（D）7 设 A，B 为随机事件，且 考虑下列式子 P(A+B)=P(A)；P(AB)=P(B)；P(BA)=P(B)一 P(A)； P(BA)=P(B) ，其中正确的个数为（A）1（B） 2（C） 3（D）48 设 X1，X 2，X n，是取自二项总体 的简单随机样本，是其样本均值，则（A）（B）（C）（D）二、填空题9 10 以 y=C1cosx+C2sinx+e2x(其中 C1，C 2 为任意常数)为通解的二阶线性常系数非齐次微分方程是_11 设 z=f(xy，x 2 一 y2)，其中
4、 f(u，v)具有二阶连续偏导数，则 =_。12 曲线 y=ex 与该曲线过原点的切线及 y 轴所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为_13 设 3 阶矩阵 A 与 B 相似，=1，=一 2 是矩阵 A 的两个特征值，且矩阵 B 的行列式B =1，则行列式A *+E=_14 在区间0 ，上随机取两个数 X 与 Y，则概率 Pcos(X+Y)0)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求不定积分16 设曲线 L2：y=1 一 x2(0x1)，x 轴和 y 轴所围区域被曲线 L2：y=kx 2 分成面积相等的两部分，其中常数 k0 (I)试求 k 的值； ()求(
5、I) 中 k 的值对应的曲线 L2与曲线 L1 及 x 轴所围平面图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积17 试利用变量代换 x=cost 将微分方程 化为关于y，t 的方程，并求原方程的通解18 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 p1 和 p2；销售量分别为 q1 和 q2；需求函数分别为 q1=2402p 1， q 2=10 一 005p 1， 总成本函数为C=35+40(q1+q2) 试问厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大?并求最大利润19 将函数 展开成 x 的幂级数，并求数项级数 的和19 设有非齐次线性方程组 已知 3 阶矩阵 B 的列向量均为此
6、方程组的解向量，且 r(B)=220 求参数 k 的值及方程组的通解；21 若 A 为此线性方程组的系数矩阵，求(AB) n22 设二次型 f(x1，x 2，x 1)=x12+x22+x32 一 2x1x22x 1x3+2ax2x3 通过正交变换化为标准形 f=2y12+2y22+6y32，求常数 a，b 及所用正交变换矩阵 Q22 某商场销售某种型号计算机，只有 10 台，其中有 3 台次品现已售出 2 台某顾客又来到该商场购买此种型号计算机23 若该顾客只买一台，求他买到正品的概率；24 若该顾客买 4 台，以 X，Y 表示 4 台计算机中次品数与正品数，求 4 台中次品数的数学期望，并求
7、协方差 cov(X，Y) 25 设总体 X 的概率密度函数为 其中 0 为未知参数，又 X1，X 2，X n。为取自总体 X 的一组简单随机样本(I)求常数 k；()求 的最大似然估计考研数学（数学三）模拟试卷 434 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 显然 f(0)=0因故 f(x)在 x=0 处连续又可见 f(x)在 x=0 处不可导2 【正确答案】 A【试题解析】 故在区间(0， 1)内，函数 y(x)单调减小，曲线 y=y(x)是凹的3 【正确答案】 A【试题解析】 由题设所给极坐标累次积分可画出积分区域 D 如图
8、所示，其边界曲线分别为 (x+1) 2+y2=1， y=一 x，于是4 【正确答案】 D【试题解析】 由题设条件*可知 un 与 vn 同号，不妨设 un0，v n0，于是有mvnu n，u nMv n 根据正项级数比较判别法可知，若级数必发散从而级数 发散；若级数 收敛，则级数 必收敛，从而级数 也收敛同样，若级数 收敛，则 收敛；若级数 发散，从而级数 发散，可见， ，正确当级数得，mv nu nMv n(不妨设 un，v u0)，进而得由于级数必收敛，故也正确5 【正确答案】 A【试题解析】 显然 r(AB)=n由矩阵“越乘秩越小“性质及矩阵秩的定义可知 n=r(AB)r(A)minm，
9、n， n=r(AB)r(B)minm，n ， 又 mn,故 minm，n)=n，从而可得 r(A nm)=nm， r(B mn)=nm ， 即矩阵 A 的列向量组线性相关，矩阵 B 的行向量组线性相关6 【正确答案】 C【试题解析】 因矩阵 A 可逆，故由 A*=AA -1 可得7 【正确答案】 B【试题解析】 可见，正确，不正确又由条件概率可得 故不正确8 【正确答案】 B【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 e 一 2【试题解析】 因 x0 时，arcsinxx，故10 【正确答案】 y+y=5e 2x【试题解析】 由所给通解可看出对应齐次方程的特征根为i，从而得齐次方程为y+y=0，
10、令 y+y=f(x)，将通解中的非齐次方程的特解 y=e2x 代入，可得 f(x)=5e2x，于是所求的微分方程为 y+y=5e2x11 【正确答案】 f ubxyf uu一(2y 2 一 2x2)fuv一 4xyfvv【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线方程为 yy0=ex0(xx0)因切线过原点，且 y0=ex0，可求得 x0=1，y 0=e故切线方程为 y=ex，于是所求旋转体的体积为13 【正确答案】 一 1【试题解析】 因 A 与 B 相似，故 A 与 B 有相同的特征值，且行列式的值相等，从而有 进而可得 A*+E 的特征值为 ，即
11、14 【正确答案】 【试题解析】 因二维随机变量(X，Y)服从区域 D=(x，y)0x，0y 上的均匀分布，如图所示 当 时(图中阴影部分)，有 cos(X+Y)0，故三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 总收入函数为 R=p1q1+p2q2=24p1 一 02p 12+10p2005p 22，总利润函数为 L=R 一 C=(p1q1+p2q2)一35+40(q 1+q2)=32p102p 12+12p2 一 005p 22 一1395 因驻点唯一，且由问题的实际意义可知最大利润存在，故当 p1=80，
12、p 2=1 20 时，厂家所获得的总利润最大，其最大值为 Lmax(80，1 20)=60519 【正确答案】 20 【正确答案】 由题设可知1， 2， 3 均为 Ax=b 的解又 r(B)=2，即 r(1， 2， 3)=2，不妨设 1， 2 线性无关，于是 1 一 20 是方程组 Ax=0 的解，即齐次方程组 Ax=0 有非零解，故21 【正确答案】 由题设条件可知，A 1=b，A 2=b，A 3=b，将上述三个向量等式合并成一个矩阵等式，得(A 1，A 2，A 3)=(b，b，b)即 A(1， 2， 3)=(b，b，b) 从而有 其中 =(1，2，3)T， =(1，1，1) T，于是22
13、【正确答案】 二次型 f(x1，x 2，x 3)及其经正交变换后的标准形所对应的矩阵分别为 由题设可知 AA ，故有于是矩阵 A 的特征值为 1=2=2， 3=一1求解方程组(2E A)x=0 的基础解系，得 1=2=2 对应的特征向量为 1=(1，0，一 1)T， 2=(1，一 2，1) T求解方程组(一 EA)x=0 的基础解系，得 3=一 1 的特征向量 3=(1，1，1) T因 1， 2 已经正交，故只需将 1， 2， 3 单位化，得23 【正确答案】 记 A=“从剩下的 8 台计算机中任取一台为正品”，B i=“售出的 2 台中恰有 i 台为正品”，i=0，1，2则由全概公式，得24 【正确答案】 以 X、Y 分别表示该顾客购买的 4 台计算机中的次品数和正品数，由(I) 可知XB(4，03)，从而EX=403=1 2，cov(X，Y) 一 cov(X，4 一 X)=一 cov(X，X)=一 DX=一 4 X 0307=一 08425 【正确答案】
