1、研究生入学考试（电磁场与电磁波）模拟试卷 1 及答案与解析1 证明矢量场 F=(ycosxy)ex+(xcosxy)ey+sinzez 为有势场。2 证明：如果 A.B=A.C 和 AB=AC，则 B=C。3 证明：(1) .R=3，(2) R=0，(3) (A.R)=A，其中 R=xex+yey+zez，A 为一常矢量。4 证明5 利用直角坐标，证明6 证明(Cr)=2C ，式中 C 为常矢量，r 为位置矢量。7 给定两个矢量 A=2ex+3ey-4ez 和 B=4ex 一 5ey+6ez，求它们之间的夹角和 A 在 B 上的分量。8 已知 A=3yex+2z2ey+xyez，B=x 2ex
2、-4ez，求 (AB)。9 求标量函数 =x2yz 的梯度及 在一个指定方向的方向导数。此方向由单位矢量定出；求(2，3，1)点的方向导数值。10 已知矢量 E=ex(x2+axz)+ey(xy2+by)+ez(zz2+czx-2xyz)，试确定常数 a、b、C，使 E 为无源场。11 设 S 为上半球面 x2+y2+z2=a2(z0)，求矢量场 r=xex+yey+zez 向上穿过 S 的通量提示：注意 S 的法矢量 n 与 r 同指向。12 设 a 为常矢量， r=xex+yey+zez，r=|r|，求：13 求 F=x(zy)ex+y(xz)ey+z(yx)ex 在点 M(1，2，3)处
3、沿 en= (ex+2ey+2ez)方向的环量密度。14 求曲线 r(t)=tex+t2ey+t3ez 上这样的点，使该点的切线平行于平面 x+2y+z=4。15 如果给定一个未知矢量与一个已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知量。设 A 为一已知矢量，p=A.X 而 P=AX，p 和 P 已知，试求 X。16 给定三个矢量 A、B 和 C 如下： A=e x+2ey 一 3ez B=一 4ey+ez C=5ex 一 2ez 求：(1)eA；(2)|A B|；(3)A.B；(4) AB；(5)AC ；(6)A.(BC)和(AB).C；(7)(AB)C和 A(BC)。17 求 P(一 3
4、，1，4)点到 P(2，-2，3)点的距离矢量 R 及 R 的方向。18 求标量函数 =x2yz 的梯度及 在一个指定方向的方向导数。此方向由单位矢量定出，求(2，3，1)点的导数值。19 三个矢量 A、B、C ，A=sincose r+coscosesine，B=z 2sine+z2cose+2zsinez，C=(3y 2-2x)ex+x2ey+2zez。(1)哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示?哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示?(2) 求出这些矢量的源分布。20 若在标量场 u=u(M)中恒有 ，证明 u=常数。21 利用直角坐标，证明22 求矢量场 A=xyzex-2xy2ey+2
5、yz2ez 在点 M(1，1， -2)处沿矢量 n=2ex+3ey+6ez 方向的环流面密度。23 一径向矢量场用 F=f(r)er 表示，如果 .F=0，那么函数 f(r)会有什么特点呢?24 给定矢量函数 Ex=yex+xey，计算从点 P1(2，1，一 1)到 P2(8，2，一 1)的线积分E.dl。(1)沿抛物线 x=2y2；(2)沿连接该两点的直线，这个 E 是保守场吗?25 已知 R=(x-x)ex+(y-y)ey+(z-z)ez，R=|R|。证明：(1)表示对 x，y 和 z 的运算， 表示对 x，y和 z的运算。26 已知标量函数 u=x2+2y2+3z2 一 2y 一 6z。
6、(1)求 (2)在哪些点上 等于零?27 已知 R=(x-x)ex+(yy)ey+(z-z)ez，R=|R| 。求矢量 在 R0 处的旋度。28 已知圆柱坐标系中某点的位置为 ，试求该点在相应的直角坐标系及球坐标系中的位置。29 已知直角坐标系中的矢量 A=aex+bey+cez，式中 a、b、c 均为常数，A 是常矢量吗?试求该矢量在圆柱坐标系及球坐标系中的表达式。30 已知圆柱坐标系中的矢量 A=ae+be+cez，式中 a、b、c 均为常数，A 是常矢量吗?试求.A 、A 以及 A 在相应的直角坐标系及球坐标系中的表达式。研究生入学考试（电磁场与电磁波）模拟试卷 1 答案与解析1 【正确
7、答案】 “ 有势场” “无旋场” “保守场”。所以 F 是无旋场，即可得出 F 是有势场。【知识模块】 电磁场与电磁波2 【正确答案】 由 AB=AC，则有 A(AB)=A(AC)，即A(A.B)一 B(A.A)=A(A.C)一 C(A.A)由于 A.B=A.C，即B=C证毕【知识模块】 电磁场与电磁波3 【正确答案】 【知识模块】 电磁场与电磁波4 【正确答案】 根据算子的微分运算性质，有由 A.(BC)=C.(AB)，可得：【知识模块】 电磁场与电磁波5 【正确答案】 在直角坐标系中【知识模块】 电磁场与电磁波6 【正确答案】 因为 C 为常矢量，r 为位置矢量，所以，设 C=Cex，r=
8、xe x+yey+zez【知识模块】 电磁场与电磁波7 【正确答案】 |A.B|=(2ex+3ey-4ez).(4ex-5ey+6ez)=-31 故 A 与 B 之间的夹角为A 在 B 上的分量为【知识模块】 电磁场与电磁波8 【正确答案】 =-8z2ex+(12y+x3y)ey-2x2z2ez【知识模块】 电磁场与电磁波9 【正确答案】 点(2，3， 1)处沿 el 的方向导数值为【知识模块】 电磁场与电磁波10 【正确答案】 由 .E=(2x+az)+(2xy+b)+(1-2z+cx-2xy)=0， 即 (2+c)x+b+1+(a 一2)z=0 得 a=2，b= 一 1，c=一 2【知识模
9、块】 电磁场与电磁波11 【正确答案】 = Sr.dS=Sr.ndS=S|r|dS= =aSdS=a.2a2=2a3【知识模块】 电磁场与电磁波12 【正确答案】 根据公式 其中 C 为常矢量，f 为标量函数。【知识模块】 电磁场与电磁波13 【正确答案】 由题意，环量密度 F=x(zy)ex+y(xz)ey+z(yx)ez 则 =ex(zy)+ey(xz)+ez(yx) 故 M 点处环量密度【知识模块】 电磁场与电磁波14 【正确答案】 曲线某点处的切线方程是 平面的法线方向 en=ex+2ey+ez 若过某点的切线平行于平面，则此点处切线与平面的法线垂直。于是 (e x+2tey+3t2e
10、z).(ex+2ey+ez)=1+4t+3t2=0 解得 t=一 1 或 从而得所求点为(一1，1，一 1)和【知识模块】 电磁场与电磁波15 【正确答案】 由 P=AX，有 AP=A(AX)=(A.X)A 一(A.A)X=pA 一(A.A)X 故得【知识模块】 电磁场与电磁波16 【正确答案】 (1) (2)AB=ex+6ey-4ez，|AB|= (3)A.B=一 83=一 11(5)AC= =-4ex-15ey-10ez+2ey=一 4ex 一 13ey-10ez(6)A.(BC)A.(BC)=8+10 一 60=一 42AB=2ex-4ez 一 12ex 一 ey=一 10ex 一 ey
11、-4ez(AB).C=一 50+8=一 42(7)(AB)C= =-2ex-20ey+5ez 一 20ey=2ex-40ey+5ez A(BC)=40ex 一 24ey+5ez 一 20ey+15ex 一 16ez=55ex 一 44ey11ez(AB)C一 CX(A XB)=一A(B.C)-B(A.C) =B(A.C)-A(B.C)=11(-4e y+ez)+2(ex+2ey-3ez) =2ex 一40ey+5ez【知识模块】 电磁场与电磁波17 【正确答案】 矢量 P为 A=一 3ex+ey+4ez；矢量 P 为 A=2ex 一 2ey+3ez 则距离矢量 R 为： R=A-A=5ex-3
12、ey-ez【知识模块】 电磁场与电磁波18 【正确答案】 =2xyzex+x2zey+x2yez 在指定方向的方向导数【知识模块】 电磁场与电磁波19 【正确答案】 (1)证明：A=sincose r+coscose-sine故矢量既可用标量函数的梯度表示，又可用矢量函数的旋度来表示。 A=0 则 A 可由一个标量函数的梯度表示； .A=0 则 A 可由一个矢量函数的旋度表示。圆柱坐标系中 B=z2sinep+z2cose+2zsinez 故矢量B 可用一个标量函数的梯度表示。直角坐标系中： C=(3y 2 一 2x)ex+x2ey+2zez故 C 可以由一个矢量函数的旋度表示。(2)这些矢量
13、的源分布为【知识模块】 电磁场与电磁波20 【正确答案】 标量场的梯度为 如果在标量场u=u(M)中恒有 =0，则 所以 u 与坐标无关，故 u=C为常数。【知识模块】 电磁场与电磁波21 【正确答案】 在直角坐标系中证毕【知识模块】 电磁场与电磁波22 【正确答案】 矢量场 A 沿方向 en 的环流面密度 rotn 等于 rotA 在该方向上的投影 rot nA=en.rotArotA= =2z2ex+xyey 一(2y 2+xz)ez 则沿矢量 n 的环流面密度为：n 方向的单位矢量在 M(1，1，-2)处环流面密度为 rotnA=197。 注意：e n 为 n 方向的单位矢量。【知识模块
14、】 电磁场与电磁波23 【正确答案】 在圆柱坐标系中在球坐标系中，由【知识模块】 电磁场与电磁波24 【正确答案】 (1) cE.dl=c(yex+xey).dl=c(ydx+xdy)=12yd(2y2)+2y2dy=126y2dy=14(2)连接点 P1(2，1，-1)到 P2(8，2，-1)的直线方程为 即 x一 6y+4=0 故 cE.dl=12yd(6y-4)+(6y-4)dy =12(12y 一 4)dy=14 由此可见积分与路径无关，故是保守场。【知识模块】 电磁场与电磁波25 【正确答案】 【知识模块】 电磁场与电磁波26 【正确答案】 (1) =2xex+(4y-2)ey+(6
15、z 一 6)ez(2)时，三个分量分别为 0 得 x=0，y=05，z=1【知识模块】 电磁场与电磁波27 【正确答案】 由 则【知识模块】 电磁场与电磁波28 【正确答案】 (1)设该点在直角坐标系中的位置为(x，y，z)，则由直角坐标系和圆柱坐标系的关系得： 该点在直角坐标系中的位置为 (2)在球坐标系中在球坐标系中的位置为(5 ，531，120)。【知识模块】 电磁场与电磁波29 【正确答案】 在直角坐标系中， 即矢量 A=aex+bey+cez的模为常数。矢量 A=aex+bey+cez 中，a、b、c 均为常数，所以 A 是常矢量。在圆柱坐标系中 在球坐标系中【知识模块】 电磁场与电
16、磁波30 【正确答案】 即矢量 A=ae+be+cez 的模为常数。将矢量 A=ae+be+cez 用直角坐标表示，有 A=cosex+siney+ez =a(cosex+siney)+b(一 sinex+cosey)+cez =(acos 一 bsin)ex+(asin+bcos)ey+cez 由此可见，矢量A 的方向随 变化，故矢量 A 不是常矢量。由直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系，可求得： 又根据矢量在直角坐标与圆柱坐标系中的变换关系为 把上面结果代入，可求得即在圆柱坐标系下的表达式为 由直角坐标系和球坐标系的变换关系，可求得：又根据矢量在直角坐标与球坐标系中的变换关系为 把上面结果代入，可求得即在球坐标系下的表达式为【知识模块】 电磁场与电磁波
