1、研究生入学考试（电磁场与电磁波）模拟试卷 3 及答案与解析1 证明：同轴线单位长度的静电储能 式中 ql 为单位长度上的电荷量，C 为单位长度上的电容。2 一导体球半径为 a，其外罩为内外半径分别为 b 和 c 的同心厚导体壳，此系统带电后内球的电位为 U，外球所带总电量为 Q，求此系统各处的电位和电场分布(假设内球带电量为 q1)。3 一同轴线的内导体半径为 a，外导体的内半径为 b，ab 之间填充两种绝缘材料，arr 0 时为 1，r 0rb 时为 2。若要求两种介质中电场强度的最大值相等，介质分界面的半径 r0 应当等于多少?4 两种介电常数分别为 1， 2 的电介质的分界面上，有密度为
2、 s 的面电荷，界面两侧的电场为 E1 和 E2。证明 E1、E 2 与界面法线 en 的夹角 1、 2 之间有如下关系：5 一平行板电容器的极板面积为 S，电极之间距离为 d，电极之间绝缘材料是由两种电介质 1 和 2 组成，它们的厚度分别为 d1 和 d2。假设电极之间电压为 U0，求每种电介质界面之间电压以及两种电介质中电场能量密度之比。6 验证无限长细线电流 I 所产生的磁场满足 SB.dS=0，其中 S 为： (1)半径为 a 的球面，球心距电流为 D(Da) ； (2)垂直于电流方向、边长为 a 的正方体，中心与电流重合。7 已知无源的自由空间内 E=E0cos(t一 z)ex，其
3、中 E0， 和 为常数，试求 H 和位移电流 Jd。8 已知无源的自由空间内 其中 H0， ， 和 为常数，试求 E 和位移电流 Jd。9 已知介电常数为 ，磁导率为 的空间内 E=E 0cos(tkxx 一 kzz)ey 试求：电荷密度 和电流密度 J，J=0 的条件是什么 ?10 有一半径为 R 的两块圆形平行平板电容器，电场强度增加率为 求：(1)两极板间的位移电流；(2)两极板问磁场分布。11 有一半径为 R=03 cm 的圆形平行平板空气电容器，现对该电容器充电，使阳极板上的电荷随时间的变化率，即充电回路上的传导电流 Ic=dQdt=2 5 A 。若略去电容器的边缘效应，求(1)两极
4、板间的位移电流；(2)两极板间离开轴线的距离为r=20 cm 的点 P 处的磁感应强度。12 在内半径为 a，外半径为 b 的介质(=4 0)球壳空腔内，均匀分布着体密度为 的电荷，球壳内外均为空气，求以下 3 个区域内的电场分布：(1)ra；(2)arb；(3)rb，并求以上 3 个区域内的E 和 .D 。13 一根长度为 L，线电荷密度分别为 l1、 l2、 l3 的线电荷构成一个等边三角形，设 l1=2l2=2l3，试求三角形中心的电场强度。14 媒质 1 的电参数为 1=50、 1=30、 1=0，媒质 2 可视为理想导体( 2=)。设y=0 为理想导体表面，y0的区域(媒质 1)内的
5、电场强度 E=e y20cos(2108t 一258z)Vm 试计算 t=6ns 时：(1)点 P(2，0，03)处的面电荷密度 s；(2)点 P 处的 H；(3)点 P 处的面电流密度 Js。15 两电介质的分界面为 z=0 的平面，已知 r1=2 和 r2=3，如果已知区域 1 中的E1=2yex 一 3xey+(5+z)ez，我们能求出区域 2 中哪些地方的 E2 和 D2?能求出区域 2中任意点的 E2 和 D2 吗?16 自由空间有三个无限大的均匀带电平面：位于点 A(0，0，一 4)处的平面上s1=3n Cm 2，位于点 B(0，0，1)处的平面上 s2=6n Cm 2，位于点 C
6、(0，0，4)处的平面上 s3=-8n Cm 2。试求以下各点的电场强度 E：(1)P 1(2，5，一 5)；(2)P2(一 2，4，5)；(3)P 3(一 1，一 5，2)。17 下面的矢量函数中哪些可能是磁场?如果是，求出其源量 J。 (1)H=ea，B= 0H(圆柱坐标系)； (2)H=e x(-ay)+ey(ax)，B= 0H； (3)H=e xax 一eyay，B= 0H。18 z=0 平面将无限大空间分为两个区域：z0 区域为空气， z0 区域为相对磁导率 r=1，相对介电常数 r=4 的理想介质，若知空气中的电场强度为E1=ex+4ezVm，试求： (1)理想介质中的电场强度 E
7、2； (2)理想介质中电位移矢量D2 与界面间的夹角 ； (3)z=0 平面上的极化面电荷 sp(2009 年西安电子科技大学真题)。19 一个半径为 a 的球体充满密度为 =a2 一 r2 的体分布电荷，用高斯定律求任意点的电场强度。20 假设真空中电位按照下面规律分布 求对应的电荷分布。21 一个半径为 a 的电介质球含有均匀分布的自由电荷 ，证明其中心点的电位是。22 (西安电子科技大学 2004 年考研真题)在真空中，有一半径为 a 的导体球，带电荷为 Q，求这一孤立导体的电容 C。23 如图为球心在两种介质的界面上，半径为 a 的导体球的带电量为 Q，两种介质的介电常数分别为 1 和
8、 2，试求： (1)导体球外的电场强度 E； (2)球面上的自由面电荷密度 s； (3)导体球的孤立电容 C0。(西安电子科技大学2008 年考研真题)24 一半径为 R0 的介质球，介电常数为 r0,其内均匀分布自由电荷 ，试证明该介质球中心的电位为25 无限大导体平板分别置于 x=0 和 x=d 处，板间充满电荷，其电荷密度为 ，极板的电位分别为 0 和 U0，如图所示，求两极板之间的电位和电场强度。26 同轴电缆的内导体半径为 a，外导体内半径为 c；内、外导体之间填充两层损耗介质，其介电常数分别为 1 和 2，电导率分别为 1 和 2，两层介质的分界面为同轴圆柱面，分界面半径为 b。当
9、外加电压为 U0 时，试求： (1)介质中的电流密度和电场强度分布；(2)同轴电缆单位长度的电容及漏电阻。27 如图所示，一个点电荷 q 放在 60的接地导体角域内的点(1，1，0) 处。试求：(1)所有镜像电荷的位置和大小；(2) 点 P(2，1，0) 处的电位。28 (北京理工大学 2003 年考研真题)一个内外半径分别为 a 和 b 的导体球壳位于坐标系原点，壳内任意点(ra) 有一个点电荷 Q，写出 arb、rb 两个区域的电场强度和 r=b 表面上的电荷分布。29 两点电荷 q1=8C，位于 z 轴上 z=4 处，q 2=4 C，位于 y 轴上 y=4 处，求(4，0， 0)处的电场
10、强度。30 求均匀带电的无限大带电平面产生的电场。研究生入学考试（电磁场与电磁波）模拟试卷 3 答案与解析1 【正确答案】 由高斯定律可求得同轴线内、外导体间的电场强度为内外导体间的电压为 则同轴线单位长度的电容为 则得同轴线单位长度的静电储能为【知识模块】 电磁场与电磁波2 【正确答案】 假设内球带电量为 q1，根据高斯定律求解空间电场分布。 ra E=0 对应的空间电位分布可根据 U(r)=rE.d，求得比较 ra，ar b 时的电位表达式可得【知识模块】 电磁场与电磁波3 【正确答案】 以轴线为 z 轴建立柱坐标系，并假设同轴线单位长度带电 l。根据高斯定律，可以求得两介质中距轴线 r
11、处的电场强度 E如要求两种介质中的电场强度最大值相等，则有【知识模块】 电磁场与电磁波4 【正确答案】 由边界条件 把 E1、E 2 分解两边同除以 sin1【知识模块】 电磁场与电磁波5 【正确答案】 设平行板电容器里面电荷密度为 由高斯定律U0=E1dl+E2dl=E1d1+E2d2极板上 Q1=Q2=QS1E1=S2E2 解得【知识模块】 电磁场与电磁波6 【正确答案】 根据比奥一萨伐定律，单个电流元 Idl 产生的磁感线是以 dl 方向为轴线的圆，如图，圆周上微元磁场的数值处处相等：在磁感线穿入处取一面元 dS1，穿出处取另一面元 dS2，Idl 产生的磁场通过两面元的磁通量分别为：d
12、S1*=dS1cos1；dS 2*=dS2cos2 由于磁感应管呈严格的圆环状，其正截面处处相等，故 dS1*=dS2*， 所以 dB1=一dB2，即 dB1+dB2=0。所以高斯定理对单个电流元成立。 根据磁场叠加原理，任意载流回路产生的总磁场 B 是各电流元产生的元磁场 dB 的矢量和，从而通过某一面元 dS 的总磁通量是各电流元产生元磁通的代数和。至此，磁场的“高斯定理”得到了完全证明。【知识模块】 电磁场与电磁波7 【正确答案】 【知识模块】 电磁场与电磁波8 【正确答案】 【知识模块】 电磁场与电磁波9 【正确答案】 (1)在简单媒质中， 所以 =0(2)由麦克斯韦方程 =E0kzs
13、in(tkxx 一 kzz)ex 一E0kxsin(t一 kxxkzz)ez【知识模块】 电磁场与电磁波10 【正确答案】 (1)位移电流密度 位移电流(2)由麦克斯韦方程 Hdl= SJ.dS【知识模块】 电磁场与电磁波11 【正确答案】 (1)位移电流 (2)由麦克斯韦方程 lH.dl=Id【知识模块】 电磁场与电磁波12 【正确答案】 (1)当 ra ，球壳内无电荷分布 1=0 SD.dS=0，E 1=0 E1=0， .D 1=0 (2)当 arb，作一高斯球面半径为 r SD.dS=2dV因为是静电场， E 2=0， .D 2= (3)当rb D 3.ds=3dv 因为是静电场， E
14、3=0 由球坐标系得【知识模块】 电磁场与电磁波13 【正确答案】 【知识模块】 电磁场与电磁波14 【正确答案】 (1) S=80610 9Cm 2；(2)H=e x62310 -3Am；(3)Js=ez62310 -3Am【知识模块】 电磁场与电磁波15 【正确答案】 只能求出 z=0 上的 E2 和 D2。E 2=2y，e x 一 3xey+ ,D2=0(6yex一 9xey+10ez)【知识模块】 电磁场与电磁波16 【正确答案】 (1)E 1=一 ez5649 Vm；(2)E 2=ez5649 V m ；(3)E 3=ez9605 Vm【知识模块】 电磁场与电磁波17 【正确答案】
15、(1)不是；(2) 是，J=e z2a；(3)是，J=0【知识模块】 电磁场与电磁波18 【正确答案】 (1) 分界面上场强 E 的切向连续， E 2x=E1x=ex (Vm) 分界面是理想介质 不存在自由面电荷，即 D 2n 一 D1n=x=0 r0E2z)=0E1z E2=E2x+E2z=ex+ez(Vm) (2)D 2=r0E2z=40(ex+ez)(Cm 2) =arctan1=45 (3)sp=P.n D=0E+P 介质中 P=(r 一 1)0E2=30E2 分界面上 n=一 ez 所以 sp=30E2.(一 ez)=一 30 Cm 2 本题涉及理想介质性质，静电场边界条件，极化电荷
16、 P=一P， sp=P.n，这里要注意区别自由面电荷和极化面电荷的概念；注意公式中的 n 为介质面的外法线方向。 本题涉及理想介质性质，静电场边界条件，极化电荷。【知识模块】 电磁场与电磁波19 【正确答案】 由高斯定律： E.dS=Q 考虑到球的对称性，当 0ra时，高斯定律表示为 4r 2.0Er=0r(a2 一 r2)4r2dr 解得 当 ra 时，4r2.0Er=0a(a2 一 r2)4r2dr 解得 【知识模块】 电磁场与电磁波20 【正确答案】 由静电场泊松方程 得【知识模块】 电磁场与电磁波21 【正确答案】 根据高斯定律求出空间的电场分布球心处的电位可以积分求得|r=0=0E.
17、dr=0aE1dr+aE2dr【知识模块】 电磁场与电磁波22 【正确答案】 由高斯定理：【知识模块】 电磁场与电磁波23 【正确答案】 (1)由分界面边界条件 n(E2 一 E1)=0 知 E2t=E1t 分界面两侧电场强度大小相等。 区域 1 和区域 2 中有：|E 2t|=|E1t|=|E| 由高斯定理得： 2r2D1+2r2D2=Q (2)n.(Dout一 Din)=s，导体球内 Din=0(3)以无穷远处为电势零点，导体球上电势为：导体孤立电容 此类题目一定要注意具体问题具体分析，利用边界条件仔细判断分界面上的变换情况。明确理想导体和理想介质的区别，导体中场量都为零，理想介质面上没有
18、自由电荷和电流，但可以有极化电荷和极化电流。 计算电容时本题中导体内电场强度为零才可以忽略内部而直接从 a 开始积分，若是空心球则还要判断 0a 的部分。【知识模块】 电磁场与电磁波24 【正确答案】 根据高斯定律 SD.dS=q，得则中心点的电位为【知识模块】 电磁场与电磁波25 【正确答案】 两导体板之间的电位满足泊松方程 ,故得解此方程，得 在 x=0 处，=0，故 B=0【知识模块】 电磁场与电磁波26 【正确答案】 (1)设同轴电缆中单位长度的径向电流为 I，则由 SJ.dS=I，得电流密度 介质中的电场则得到两种介质中的电流密度和电场强度分别为(2)同轴电缆单位长度的漏电阻为由静电
19、比拟，可得同轴电缆单位长度的电容为【知识模块】 电磁场与电磁波27 【正确答案】 (1)这是一个多重镜像问题，共有(2n 一 1)=231=5 个像电荷，分布在以点电荷 q 到角域顶点的距离(即 )为半径的圆周上，并且关于导体平面对称，如图所示。 (2)点 P(2，1，0)处的电位【知识模块】 电磁场与电磁波28 【正确答案】 r=b 时金属球壳表面电荷为均匀分布，分布电荷密度为【知识模块】 电磁场与电磁波29 【正确答案】 点电荷 q1 在 P 点处电场强度为点电荷 q2 在 P 点处电场强度为因此，P(4，0，0) 处的电场强度为【知识模块】 电磁场与电磁波30 【正确答案】 将无限大平面与 xOy 平面重合，所以其产生电场的方向为 z 轴方向，做一高斯面(柱面) ，上、下底 E 面相等 电子带电平面可以是正、负，则【知识模块】 电磁场与电磁波
