1、研究生入学考试（电磁场与电磁波）模拟试卷 6 及答案与解析1 试证明电磁能量密度 和 S=EH 在下列变换下都具有不变性：E 1=Ecos+Hsin，2 试证明任意的圆极化波的瞬时坡印廷矢量的值是个常数。3 试证明任何的椭圆极化波均可分解为两个旋转方向相反的圆极化波。4 若真空中正弦电磁场的电场复矢量为试求电场强度的瞬时值 E(r，t) ，磁感应强度复矢量 及复能流密度矢量5 在自由空间存在电磁场 求：(1)磁场强度复矢量 (2)平均能流密度 Sav。6 已知无源自由空间的电场 E(r，t)=E msin(t 一 kz)ey (1)由麦克斯韦方程求磁场强度；(2)证明 k 等于光速 c； (3
2、) 求坡印廷矢量的平均值。7 假设与 yz 平面平行的两无限大理想导体平板之间电场复矢量为 (1)由麦克斯韦方程求磁场强度；(2)求导体板上的分布电荷及分布电流的瞬时值。8 若真空中无源区域有时变电场 E=E 0cos(t 一 kz)ex(1)由麦克斯韦方程求时变磁场强度；(2)证明 以及 E 与 H 的比为9 在横截面为 ab 的矩形波导中，电磁场的复矢量为式中，H 0、 和 都是实常数。试求：(1)瞬时坡印廷矢量；(2) 平均坡印廷矢量。10 在半径为 a、电导率为 的无限长直圆柱导线中，沿轴向通以均匀分布的恒定电流 I，且导线表面上有均匀分布的电荷面密度 s。(1)导线表面外侧的坡印廷矢
3、量；(2)证明：由导线表面进入其内部的功率等于导线内的焦耳热损耗功率。11 电场强度 E(r，t)=e xcos(3108t 一 2z)一 ey4sin(3108t 一 2z)mVm 的均匀平面电磁波在相对磁导率 r=1 的理想介质中传播，求：(1)电磁波的极化状态；(2)理想介质的波阻抗 ；(3)电磁波的相速度 vp。12 电场复矢量振幅 Ei(r)=ex10e-jzmVm 的均匀平面电磁波由空气一侧垂直入射到相对介电常数 r=225，相对磁导率 r=1 的理想介质一侧，其界面为 z=0 平面，求：(1)入射波磁场的瞬时值 Hi(r，t)；(2)反射波的振幅 Erm；(3)透射波坡印廷(Po
4、ynting)矢量的平均值 Sav(r)。13 真空中传播的均匀平面电磁波的电场复矢量振幅为 E r=40(ex+j4ey+j3ez)e-j(0.6y-0.8z)mVm，试求： (1)波传播方向的单位矢量 en； (2)波的频率 f； (3) 波的磁场强度的瞬时值 H(r，t)。14 电场复矢量振幅为 Ei(r)=5(ex 一 jey)e-jzVm 的均匀平面电磁波由 r=1， r=9 的理想介质垂直入射向空气，若界面为 z=0 的平面， (1)试说明反射波的极化状态； (2)试求反射波电场的复矢量振幅 Er(r)； (3)试求当入射角 i 为何值时反射波为线性极化波； (4)试求当入射角 i
5、 为何值时进入空气中的平均功率的 z 分量为零。15 均匀平面电磁波在 r=1 的理想介质中传播，若电磁波的电场的瞬时值为 E(r，t)=ex30cos2(108t 一 05z)+ Vm，试求： (1)该理想介质的波阻抗 ； (2)理想介质中单位体积内电磁能量的平均值 Wav； (3)电磁波坡印廷 (Poynting)矢量的平均值 Sav(r)。16 频率 f=108Hz 的均匀平面电磁波在 r=1 的理想介质中传播，其电场强度矢量Er(r)= Vm，试求： (1)该理想介质的相对介电常数 r； (2)平面电磁波在该理想介质中传播的相速度 vp； (3)平面电磁波坡印廷(Poynting)矢量
6、的平均值Sav。17 有一均匀平面波在 =0、=4 0、=0 的媒质中传播，其电场强度 E=若已知平面波的频率 f=150 MHz，平均功率密度为0265W m2。试求：(1)电磁波的波数、相速、波长和波阻抗；(2)t=0、z=0 时的电场 E(0，0)值；(3) 经过 t=01s 后，电场 E(0，0)出现在什么位置?18 在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为试求：(1)平面波的传播方向和频率；(2)波的极化方式；(3)磁场强度 H；(4) 流过沿传播方向单位面积的平均功率。19 已知自由空间传播的均匀平面波的磁场强度为试求：(1)波的传播方向；(2)波的频率和波长；(3) 与磁场
7、H 相伴的电场 E；(4) 平均坡印廷矢量。20 自由空间的均匀平面波的电场表达式为 E(r，t)=(e x+ey2+ezEzm)10cos(t+3xyz)Vm 式中的 Ezm 为待定量。试由该表达式确定波的传播方向、角频率 、极化状态，并求出与 E(r，t)相伴的磁场 H(r，t)。21 已知在 100 MHz 时，石墨的趋肤深度为 016 mm，试求：(1)石墨的电导率；(2)1 GHz 的电磁波在石墨中传播多长距离其振幅衰减了 30 dB?22 一圆极化波自空气中垂直入射于一介质板上，介质板的本征阻抗为 2。入射波电场为 E=Em(ex+eyj)e-jz。求反射波与透射波的电场，它们的极
8、化情况如何 ?23 均匀平面波从 =0、=4 0 的理想电介质中斜入射到与空气的分界面上。试求：(1)希望在分界面上产生全反射，应该采取多大的入射角；(2)若入射波是圆极化波，而只希望反射波成为单一的直线极化波，应以什么入射角入射?24 在无界理想介质中，均匀平面波的电场强度为 E=E 0 cos(2108t 一 2z)exVm 已知介质的 r=1，求其 r，并写出 H 的表达式。25 无界自由空间传播的电磁波，其电场强度复矢量为写出磁场强度的复矢量以及平均功率流密度。26 在无界理想介质( r=5， r=1)中传播均匀平面波。已知其磁场强度复矢量为 =0 5e-j2(3x+4y)ezAm 试
9、求该平面波的传播方向、电场强度 E 及其坡印廷矢量的平均值，并写出电磁场的瞬时表达式。27 下列表达式中的平面波各是什么极化波?如果是圆或椭圆极化波，判断是左旋还是右旋? (1)E=E 0 sin(t 一 kz)ex+E0 cos(t 一 kz)ey； (2)E=E 0sin(t 一 kz)ex+2E0sin(t 一 kz)ey；28 已知自由空间中传播的电磁波的电场强度为 E=377cos(610 8t+2z)ey(Vm) 。试问：该波是否属于均匀平面波?并求该电磁波的频率、波长、相速、相位常数、传播方向各 H 的大小和方向。29 平面波从空气向理想介质( r1， r=1)垂直入射，在分界面
10、上 E0=10 Vm，H 0=0226 Am 。(1) 求第二媒质的 r；(2)求 Ei0,Hi0,Er0，H r0，E l0，H l0.30 有一频率为 100 MHz、沿 y 方向极化的均匀平面波从空气(x0 区域)中垂直入射到位于 x=0 的理想导体板上。设入射波电场 Ei 的振幅为 10 Vm ，试求： (1) 入射波电场 Ei 和磁场 Hi 的复矢量；(2)反射波电场 Er 和磁场 Hr 的复矢量； (3)合成波电场 E1 和磁场 H1 的复矢量；(4)距离导体平面最近的合成波电场 E1 为零的位置；(5)距离导体平面最近的合成波磁场 H1 为零的位置。研究生入学考试（电磁场与电磁波
11、）模拟试卷 6 答案与解析1 【正确答案】 【知识模块】 电磁场与电磁波2 【正确答案】 设任一圆极化波为 E=e xEx+eyEy由此得证，圆极化波的瞬时坡印廷矢量值为常数，等于【知识模块】 电磁场与电磁波3 【正确答案】 沿+z 方向传播的椭圆极化波的电场可表示为设两个旋向相反的圆极化波分别为 E1=(ex+eyj)E1me-jz E2=(ex 一 eyj)E2me-jz其中 E1m，E 2m 均为复数令 E1+E2=E 即(e x+eyj)E1me-jz+(ex 一 eyj)E2me-jz= 则有 E 1m+E2m= E1m 一 Em2= 由此得解 故得两个旋向相反的圆极化波分别为【知识
12、模块】 电磁场与电磁波4 【正确答案】 【知识模块】 电磁场与电磁波5 【正确答案】 (1)依复数形式的麦克斯韦第二方程，得磁场强度复矢量为：(2)平均能流密度【知识模块】 电磁场与电磁波6 【正确答案】 (1)E=一 j0H(2)因为自由空间中有 H=j 0E【知识模块】 电磁场与电磁波7 【正确答案】 所以得如下结果 s| x=0=0Emcos(t 一 kz) s|x=d=-0Emcos(t 一 kz)【知识模块】 电磁场与电磁波8 【正确答案】 (1)无源场，所以 Js=0，S=0 ，由麦克斯韦方程知：取积分，并忽略与时间无关的常数，得将 E=E0cos(t 一 kz)ex 代入得【知识
13、模块】 电磁场与电磁波9 【正确答案】 【知识模块】 电磁场与电磁波10 【正确答案】 【知识模块】 电磁场与电磁波11 【正确答案】 (1)E=(e x+j4ey)e-j2z，该波沿+z 方向传播所以该波为左旋圆极化波。 对于平面波的极化方向判断常常不易理解容易混淆，其实只要记住：任意向量满足 exey=ez，波沿 ez 正向传播时，当 x 一 y0 时为右旋，否则左旋。此外 ， 0=120 需要记住。【知识模块】 电磁场与电磁波12 【正确答案】 (1) 入射波在空气中传播。反射波振幅 |Enn|=|Eim|=2 mVm(3)透射系数 T=1+=08，|E tm|=|TEim|=8 mVm
14、本题要特别留意介质中的透射波波阻抗、传播常数 k 等已经变化；同时复坡印廷矢量为矢量，不要丢掉方向；注意单位一致。【知识模块】 电磁场与电磁波13 【正确答案】 (1)由场方程知传播方向单位矢量为 en=06e y 一 08e z(2)波在真空中传播， f=1510 8Hz=150 MHz(3)磁场复振幅矢量【知识模块】 电磁场与电磁波14 【正确答案】 (1)波沿+z 方向传播，|E xm|=|Eym| 反射波为右旋圆极化波(2) 介质波阻抗 反射波电场复振幅矢量为： E r(r)=.5(ex 一 jey)e-jz= (3)当入射角 i 等于布儒斯特角时，反射波为线极化波。 (4)全反射时进
15、入空气的波无 z 分量， 时进入空气的波无 z 分量。 本题需注意波是从介质射向空气的。熟悉布儒斯特角和全反射条件。3、4 问也可以直接通过几何光学来解，当入射角为布儒斯特角时反射光线与折射光线垂直，折射角和反射角互为余角，即折射角与入射角也互余。由折射公式 即可求出入射角为 arctan 全反射时可看做折射角定律在折射角为 90时的特例 入射角为 arctan(13)。【知识模块】 电磁场与电磁波15 【正确答案】 电场能量平均值等于磁场能量平均值，(3)坡印廷矢量平均值为：会证明电场能量平均值等于磁场能量平均值，平均坡印廷矢量不要丢掉方向。【知识模块】 电磁场与电磁波16 【正确答案】 坡
16、印廷矢量平均值为： 相速度：t 一kz=const,vp=dzdt=z ，群速度 vg=dd 。定义式：能量传输速度 ，其中 av 为电磁能量密度，S av 为坡印廷矢量的平均值，可以证明对于 TEM 波相速度、群速度、能量传输速度均相等，在空心波导中群速度等于能量传输速度而小于相速度。【知识模块】 电磁场与电磁波17 【正确答案】 (1)由 E 的表达式可看出这是沿+z 方向传播的均匀平面波，其波数为 (2)平均坡印廷矢量为 故得 Em=(2026510 -6)1/210-2 Vm (3)随着时间 t的增加，波将沿+z 方向传播，当 t=01s 时，电场为【知识模块】 电磁场与电磁波18 【
17、正确答案】 (1)传播方向为 ez 由题意知 故(2)原电场可表示为 E=(e x+jey)10-4e-j2z是左旋圆极化波。【知识模块】 电磁场与电磁波19 【正确答案】 (1)波的传播方向由波矢量 k 来确定。由给出的 H 的表达式可知 k.r=kxx+kyy+kzz=一 x+y+05z 故 k x=-，k y=，k z=05 即 k=一ex+ey+ez05 则波传播方向单位矢量为(3)与 H相伴的 E 为 E=(He n)0(4)平均坡印廷矢量【知识模块】 电磁场与电磁波20 【正确答案】 设波的传播方向的单位矢量为 en，则电场的复数形式可表示为 E(r)= 题目中给定的电场的复数形式
18、为 E(r，t)=e x+ey2+ezEzn)10e-j(-3x+y+z)Vm 于是有 E m=ex10+ey20+ez10Ezm k.r=ken.r=一 3x+y+z 又 k.r=k xx+kyy+kzz 可见 kx=一 3，k y=1，k z=1 故波矢量 k=一 ex3+ey+ez波传播方向的单位矢量 en 为波的角频率为为了确定 Ezm，可利用均匀平面波的电场矢量垂直于波的传播方向这一性质，故有 k.Em=0，即 ( 一 ex3+ey+ez).(ex10+ey20+10Ezm)=0 由此得 -30+20+10 zm=0 故得到 E zm=1 因此，自由空间任意一点r 处的电场为 E(r
19、，t)=10(e x+ey2+ez)cos(99510 8t+3xyz)Vm 上式表明电场的各个分量同相位，故 E(r， t)表示一个直线极化波。 与 E(r，t)相伴的磁场 H(r，t)为【知识模块】 电磁场与电磁波21 【正确答案】 (1)由趋肤深度 得到石墨的电导率(2)当 f=109Hz 时要求 20lge -az=-30 dB 故得到【知识模块】 电磁场与电磁波22 【正确答案】 设媒质 1 为空气，其本征阻抗为 0，故分界面上的反射系数和透射系数分别为 都是实数，故 ，T 也是实数。 反射波的电场为 E 1=Em(ex+eyj)ejz 可见，反射波电场的两个分量的振幅仍相等，相位关
20、系与入射波相比没有变化，故反射波仍然是圆极化波。但波的传播方向变为一 z 方向，故反射波变为右旋圆极化波，而入射波是沿+z 方向传播的左旋圆极化波。 透射波电场为 式中，是媒质 2 中的相位常数。可见，透射波是沿+z 方向传播的左旋圆极化波。【知识模块】 电磁场与电磁波23 【正确答案】 (1)均匀平面波是从稠密媒质( 1=40)入射到稀疏媒质( 2=0)，若取入射角 i 大于(或等于) 临界角 c，就可产生全反射。故取 i30时可产生全反射。 (2)圆极化波可分解为平行极化和垂直极化两个分量，当入射角 i 等于布儒斯特角 B 时，平行极化分量就产生全透射，这样，反射波中只有单一的垂直极化分量
21、，即【知识模块】 电磁场与电磁波24 【正确答案】 【知识模块】 电磁场与电磁波25 【正确答案】 (2)平均功率密度为【知识模块】 电磁场与电磁波26 【正确答案】 1)由题意知波的传播方向为：(2)电场强度复矢量 E=一 ekH=Hek(3)坡印廷矢量平均值(4)电磁场瞬时表达式【知识模块】 电磁场与电磁波27 【正确答案】 (1)E=E 0sin(t 一 kz)ex+E0cos(t-kz)ey所以为右旋圆极化波(2)x=y 所以为线极化波可见 所以为右旋椭圆极化波【知识模块】 电磁场与电磁波28 【正确答案】 按定义判断为均匀平面波 (波阵面即等相位为平面且在等相位面上各个场强都相等的电磁波) =610 8=2f f=3108Hz vp=c=3108ms =cf=310 8310 8=1 m k=2 传播方向-z=377 沿 x 方向【知识模块】 电磁场与电磁波29 【正确答案】 【知识模块】 电磁场与电磁波30 【正确答案】 则入射波电场 Ei 和磁场Hi 的复矢量分别为 (2)反射波电场 Er和磁场 Hr 的复矢量分别为 (3)合成波电场 E1 和磁场 H1 的复矢量分别为(4)对于 E1(x)，当 x=0时，E 1(0)=0，而在空气中，第一个零点发生在 处，即 (5)对于 H1(x)， 时为第一零点。【知识模块】 电磁场与电磁波
