1、考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在a ，b上二阶可导，且 f(x)0，则不等式 f(a)(b 一 a) abf(x)dx(b 一 a)成立的条件是( )（A）f(x)0，f“(x)0（B） f(x)0，f“(x)0（C） f(x)0，f“(x)0（D）f(x)0，f“(x)02 设 f(x)=3x3+x2x，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n 为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）33 设 f(x)在( 一，+)可导，x 00，(x 0，f(x 0)是 y=f(x)的拐点，则( )（A
2、）x 0 必是 f(x)的驻点（B） (一 x0，一 f(x0)必是 y=一 f(一 x)的拐点（C） (一 x0，一 f(一 x0)必是 y=f(x)的拐点（D）对任意 xx 0 与 xx 0，y=f(x)的凸凹性相反4 设函数 f(x)=x 31(x)，其中 (x)在 x=1 处连续，则 (1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的( )（A）充分必要条件（B）必要但非充分条件（C）充分但非必要条件（D）既非充分也非必要条件5 设函数 f(x)在(一，+)上有定义，则下述命题中正确的是( )（A）若 f(x)在(一，+) 上可导且单调增加，则对一切 x(一，+)，都有 f(x)0（B）若
3、f(x)在点 x0 处取得极值，则 f(x0)=0（C）若 f“(x0)=0，则(x 0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点坐标（D）若 f(x0)=0，f“(x 0)=0，f(x 0)0，则 x0 一定不是 f(x)的极值点6 已知 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续，且 f(0)=0， =2，则在点 x=0 处f(x)( )（A）不可导（B）可导且 f(0)0（C）取得极大值（D）取得极小值7 设0， 4区间上 y=f(x)的导函数的图形如图 21 所示，则 f(x)( )（A）在0 ，2 单调上升且为凸的，在 2，4 单调下降且为凹的（B）在 0，1，3 ，4单调下降，在1 ，3单
4、调上升，在 0，2 是凹的，2，4是凸的（C）在 0，1，3 ，4单调下降，在1 ，3单调上升，在 0，2 是凸的，2，4是凹的（D）在0 ，2 单调上升且为凹的，在 2，4 单调下降且为凸的8 设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sinx)，则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的( )（A）充分必要条件（B）充分条件但非必要条件（C）必要条件但非充分条件（D）既非充分条件也非必要条件9 函数 y=f(x)在(一，+)连续，其二阶导函数的图形如图 22 所示，则 y=f(x)的拐点的个数是( )（A）1（B） 2（C） 3（D）410 设 f(x)有二阶连续导数，且 f(0)
5、=0， =1，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点11 曲线 y=1 一 x+ ( )（A）既有垂直又有水平与斜渐近线（B）仅有垂直渐近线（C）只有垂直与水平渐近线（D）只有垂直与斜渐近线12 设函数 f(x)满足关系式 f“(x)+f(x)2=x，且 f(0)=0，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，
6、(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点13 设 f(x)=arctanx (x1)，则( )（A）f(x)在1，+)单调增加（B） f(x)在1，+)单调减少（C） f(x)在1，+)为常数 （D）f(x)在1，+)为常数 0二、填空题14 已知 y=ln(x+ )，则 y“=_15 已知 y=x2 sin2x，则 y(50)=_16 设曲线 y=y(x)由参数方程 x= ，y= 01cos(ts) 2ds 确定，则该曲线在 t=对应的点处的曲率 K=_17 已知 xy=ex+y，则 =_18 设 x=et，y= 01ln(1+u2)du，则 =_。19 作变量替换 x=lnt，方程 +
7、e2xy=0 可简化为_20 设 =_。21 设 y=y(x)是由方程 2y3 一 2y2+2xy 一 x2=1 确定的，则 y=y(x)的极值点是_22 设有界函数 f(x)在(c，+) 内可导，且 =b，则 b=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 求24 设 f(x)在( 一，+)内有定义，且对于任意 x 与 y 均有 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，又设 f(0)存在且等于 a(a0)，试证明对任意 x，f(x)都存在，并求 f(x)25 设函数 f(x)在0，+)内二阶可导，且 f(0)=f(0)=0，并当 x0 时满足 xf“(x)+3xf(x)21
8、 一 ex证明当 x0 时，f(x) x226 求极限 I= 27 设 =1，且 f“(x)0，证明 f(x)x(x0) 28 设 g(x)= 其中 f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f(0)=f(0)=1(1)a、b 为何值时，g(x)在 x=0 处连续(2)a、b 为何值时，g(x)在 x=0 处可导29 设 f(x)= 30 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 上可导，且 f(a)=f(b)=1，证明必存在， (a，b)，使得 ef()+f()=1考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】
9、C【试题解析】 不等式的几何意义是：矩形面积曲边梯形面积梯形面积，如图25 所示，要使上面不等式成立，需要过点(a，f(a)平行于 x 轴的直线在曲线y=f(x)的下方，连接点 (a， f(a)和点(b，f(b)的直线在曲线 y=f(x)的上方 当曲线y=f(x)在a，b是单调上升且是凹时有此性质于是当 f(x)0，f“(x)0 成立时，上述条件成立，故选 C【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 3x3 任意阶可导，本题实质上是考查分段函数 x2x=0 处的最高阶导数的存在性 事实上，由 f(x)= ，可立即看出，f(x)在 x=0 处的二阶导数为零，三阶导数不存
10、在，故选 C【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 从几何上分析，y=f(x)与 y=f(一 x)的图形关于原点对称x0，(x 0，f(x 0)是 y=f(x)的拐点，则(一 x0，一 f(一 x0)是 y=一 f(一 x)的拐点故选 B【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 A【试题解析】 由于 且由函数 f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件为 f(1)=f+(1)，可得一 3(1)=3(1)，即(1)=0，故选 A【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 若在(一，+)上 f(x)0，则一定有 f(x)在(一，+)上单调增加，但可导函数
11、f(x)在(一，+) 上单调增加，可能有 f(x)0例如 f(x)=x3 在(一，+)上单调增加，f(0)=0故不选 A f(x) 若在 x0 处取得极值，且 f(x0)存在，则有 f(x0)=0，但当 f(x)在 x0 处取得极值，在 x0 处不可导，就得不到 f(x0)=0，例如 f(x)=x在 x0=0 处取得极小值，它在 x0=0 处不可导，故不选 B 如果 f(x)在x0 处二阶导数存在，且(x 0，f(x 0)是曲线的拐点坐标，则 f“(x0)=0，反之不一定，例如 f(x)=x4 在 x0=0 处 f“(0)=0，但 f(x)在(一 ，+)没有拐点，故不选 C由此选D【知识模块】
12、 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 因当 x0，1cosx =2从而可取 f(x)=x，显然满足题设条件而 f(x)=x2 在 x=0 处取得极小值，故选 D【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 当 x(0， 1)或(3，4)时，f(x)0，那么 f(x)在0，1，3，4单调下降当 x(1，3)时 f(x)0，那么 f(x)在1 ，3单调上升又 f(x)在0，2单调上升，那么 f(x)在0，2是凹的f(x)在2，4单调下降，那么 f(x)在2，4是凸的故选 B【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 A【试题解析】 令 (x)=f(x)sinx，显然
13、(0)=0由于而由 (x)在 x=0 处可导的充分必要条件是 +(0)与 (0)都存在且相等可知，若 f(0)=0，则必有 +(0)=(0)；若 +(0)=(0)，即有 f(0)=f(0)，从而 f(0)=0因此f(0)=0 是 (x)在 x=0 处可导的充分必要条件，也是 F(x)在 x=0 处可导的充分必要条件故选 A【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 C【试题解析】 只需考查 f“(x)=0 的点与，f“(x)不存在的点 f“(x 1)=f“(x4)=0，且在x=x1， x4 两侧 f“(x)变号，故凹凸性相反，则(x 1，f(x 1)，(x 4，f(x 4)是 y=f(x)的
14、拐点 x=0 处 f“(0)不存在，但 f(x)在 x=0 连续，且在 x=0 两侧 f“(x)变号，由此(0，f(0)也是 y=f(x)的拐点 虽然 f“(x3)=0，但在 x=x3，两侧 f“(x)0，y=f(x)是凹的(x 3，f(x 3)不是 y=f(x)的拐点因此总共有三个拐点故选 C【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 B【试题解析】 根据极限的保号性，由 =1 可知，存在 x=0 的某邻域 U(0)，使对任意 xU(0)，都 0，即 f“(x)0从而函数 f(x)在该邻域内单调增加 于是当 x0 时，有 f(x)f(0)=0 ；当 x0 时，f(x)f(0)=0，由极值
15、的第一判定定理可知，f(x)在 x=0 处取得极小值故选 B【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 A【试题解析】 函数 y 的定义域为(一，一 3)(0， +)，且只有间断点 x=一 3，又=+，所以 x=一 3 是由线的垂直渐近线 x0 时，【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 C【试题解析】 在题设等式两端对 x 求导，得f(x)+2f(x)f“(x)=1令 x=0 可得 f(0)=1(因由上式可推得 f(x)连续 )又 f“(0)=0，由拐点的充分条件可知，(0 ，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点故选 C【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 C【试题解析】
16、 按选项要求，先求 f(x)又 f(x)在1，+)连续，则 f(x)=常数=f(1)= 故选 C【知识模块】 一元函数微分学二、填空题14 【正确答案】 【试题解析】 易知【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 2 50(一 x2sin2x+50xcos2x+ sin2x)【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 【试题解析】 设 ts=u，则【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 【试题解析】 在方程两端分别对 x 求导，得【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 0【试题解析】 由题干可得，【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 【试题解析
17、】 【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 x=1【试题解析】 方程两边对 x 求导，可得 y(3y 2 一 2y+x)=x 一 y， (*) 令 y=0，有x=y，代入 2y3 一 2y2+2xy 一 x2=1 中，可得 (x 一 1)(2x2+x+1)=0， 那么 x=1 是唯一的驻点 下面判断 x=1 是否极值点： 对(*)求导得 y“(3y22y+x)+y(3y22y+x)=1一 u， 把 x=y=1，y(1)=0 代入上式，得 y“(1)= 0 故 y(x)只有极值点为x=1，且它是极小值点【知识模块】 一元函数微
18、分学22 【正确答案】 0【试题解析】 因 f(x)在(c，+)可导，且 f(x)在(c，+)内有界，故所以 b=0【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 所以原式等于 6【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 将 x=y=0 代入 f(x+y)=f(x)eyf(y)ex，得 f(0)=0，为证明 f(x)存在，则由导数定义 =f(x)+f(0)ex=f(x)+aex 所以对任意 x，f(x) 都存在，且 f(x)=f(x)+aex 解此一阶线性方程，得 f(x)= =ex(ax+C) 又因 f(0)=0，得 C=0，即 f(x
19、)=axex【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 由泰勒公式及已知条件得 f(x)=f(0)+f(0)x+， 其中，x0，0x 现只需证 f“(x)1(x0)由题设条件有令 F(x)=x 一(1 一 ex)=x+ex 一 1故有 F(0)=0，F(x)=1 一 ex0(x0) 所以 F(x)在0， +)单调增加，故 F(x)F(0)=0(x0)即【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 由 =0，所以 f(0)=0(因为 f“(x)存在，则f(x)一定连续)且因为 f“(x)0，所以 f“()0，所以 f(x)f(0)+f(0)x
20、=x【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 (1)故 b=一 1，a 为任意实数时， g(x)在 x=0 处连续(2)若 g(x)在 x=0 处可导，则 g(x)在x=0 处连续 (b=一 1)，且 g(0)=g+(0)，【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 由【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 设 F(x)=exf(x)，由已知 f(x)及 ex 在a，b上连续，在(a，b)内可导，均满足拉格朗日中值定理条件，因此，存在 ，(a ，b)，使得 F(b)一 F(a)=ebf(b)一 eaf(a) =F()(b 一 a) =ebf()+f()(b 一 a) 及 e b 一 ea=e(b 一 a) 将以上两式相比，且由 f(a)=f(b)=1，整理后有 e f()+f()=1【知识模块】 一元函数微分学
